maliger Betrachtung der Linie ACMB, von der aber nur die Puncte A und B- sichtbar sind, glaubt man in aFällen, dass M zwischen C und B irgendwo liegt (wie es die Wahrheit ist); in bFällen (fälschlich), dass M irgendw. zwischen A und C liegt. Auf dieselben zwei Abschnitte CB und AC beziehen sich aber auch die Gränzen der Integration, als welche für Br Pe 7.
und 00, für ne.» _0O und _h.CM sind. Wird nämlich die Richtun n ACMB für die ki: und M als Anfangspunet genommen, so sind die scissen von C und B= — CM und MB, die Abscissen vn AuddC=— Ah und — CM; AM und MB sind aber gegen CM als unendlich zu betrachten.
Soweit die Möbius’sche Ableitung. Um nun das Beispiel der Linien auf das Beispiel der Gewichte zu redu- ciren, wird man das eine Gewicht P mit AC, das andere P + D mit BC, die Lünge AM = er mit P+ 7 mithin das Stück CM mit 2 zu vergleichen, also 2 für CM in vorige Formeln zu substiluiren haben. Ferner ist R.) = gleich unserem. und 2 gleich unserem dr wodurch sich zur directen n Pe a für unsere Methode die Formeln ergeben: oder wenn wir das Integral Dass wir, wie oben bemerkt, das Präcisions- oder Empfindlichkeitsmass unserer Methode hgleich dem halben Präcisionsmasse der Fehlertheorie neh- ınen, hat auf dieAnwendungen innerhalb unserer Methode keinen Einfluss, da es hier nur aufVerhältnisse von t oder h ankommt; würde aber in Rücksicht kommen, wenn man elwa die Resultate der Methode der richtigen und fal- schen Fälle nach absolutem Werthe mit den durch die Methode der mittle- ren Fehler erhaltenen vergleichen wollte, wozu das Integral © die Vermitte- lung gewährt, so wie auch bei der aprioristischen Berechnung des wahrscheinlichen Fehlers oder der Unsicherheit von - oder!, womit wir uns aber hier nicht beschäftigen.
Wenden wir uns nun zum Praktischen: Die Regel, um die es sich handelt, kommt einfach darauf zu- rück, zu dem durch die Versuche gegebenen Bruchwerthe u in folgender Tabelle, welche ich die Fundamentaltabelle der Methode der richtigen und falschen Fälle nenne, den zugehörigen Werth t= hD aufzusuchen (unter Zuziehung einer Interpolation, wenn der Werth - nicht genau in der Tabelle zu finden) und durch Division dieses Werthes mit D den Werth h zu bestim- men, welcher das verlangte Empfindlichkeitsmass ist, oder auch PR bei constantem D den so gefundenen Werth t= hD selbst unmittel- bar zum Masse zu verwenden, was in vielen Fällen bequem ist.
Diese Regel genügt, wenn ausser dem constanten Gewichts- überschusse D keine anderen constanten Einflüsse vorhanden sind, welche das Urtheil, wohin das Uebergewicht fällt, bestim- men können, oder falls solche durch die Anordnung der Versuche schon bei Gewinn des Werthes r als compensirt angesehen wer— den könnten. Wo nicht, so gehen in den Werth! die constanten Miteinflüsse mit ein; er hängt dann nicht mehr blos von h und D, wenn unter D immer blos das Zusatzgewicht verstanden wird, sondern auch von diesen Miteinflüssen mit ab; die einfache Divi- sion des Werthes! mit Dkann dann natürlich A nicht mehr rich— tig finden lassen, und der Werth { kann, auch bei constantem D, nicht mehr statt h zum vergleichbaren Masse verwandt werden, wenn nicht mit D zugleich die Miteinflüsse constant sind. Doch bietet ein gehörig eingerichtetes Verfahren mit geeigneter Anwen- dung der Fundamentaltabelle auch hier einen einfachen Weg der Abhülfe dar, wovon unten besonders die Rede sein wird.
Fundamentaltabelle der Methode der richtigen und falschen Eine: SARSHREH NEHMEN R ad TE | | VE Bemerkungen. 4) Insofern es nur auf Verhältnisse von t oder h an- kommt, pflege ich die Ziffern in den Werthen £ der Tabelle statt als Deci- malbrüche, als ganze Zahlen zu verwenden. ‘So wird es stets bei künftiger Anführung von nach der Tabelle berechneten Werthen geschehen. 2) Es ist nur nöthig, die Tabelle zu Werthen von _”. über 0,5 aufzustellen. n Kommen, wie diess häufig unter gegebenen Versuchsumständen bei nicht zu grossem D für diesen oder jenen der unten zu besprechenden Haupt- fälle Platz greift, Werthe von " unter 0,5 vor, so hat man statt = viel- n mir arten Spalte der Tabelle aufzusuchen, und den zuge- n n n hörigen Werth t mit negativem Vorzeichen in die später anzuführenden Gleichungen zur Bestimmung von hD, hp, hg einzuführen. 3) Die Tabelle giebt für X = 4, d. i. für den Fall, dass alle Fälle richtig ausfallen, einen unend- n lıchen Werth für t. Hiebei ist aber streng genommen eine unendliche Zahl Beobachtungen vorausgesetzt. Im Allgemeinen muss man D klein genug und n gross genug nehmen, dass jener Fall nicht eintritt.
Am bequemsten wird man sich der vorigen Tabelle bedienen, wenn man bei seinen Beobachtungen ein für allemal n = 100 nimmt, d. b. jedesmal r für 100 Fälle bestimmt, und grössere Versuchsreihen in Fractionen von 100 theilt, um nachher die ein- zelnen daraus erhaltenen?-Werthe zu Summen - oder Mittelwer- then zu combiniren, da die fractionsweise Behandlung ohnehin aus anderen Gesichtspuncten nöthig oder nützlich ist. In der That hat man dann in der Spalte = blos die Null und das Komma vorn wegzustreichen, um die durch den Versuch erhaltenen Zahlen r unmittelbar darin zu finden; und man erspart sich nicht nur die Division zur Bildung der Werthe = sondern bedarf auch keiner Interpolation, da man dann alle Versuchszahlen » unmittelbar ge- nau in der Tabelle findet.
Wofern man ein anderes n als 400 wählt, wird man immer auf Werthe von - stossen, die sich nicht genau in der vorigen Tabelle finden. Dann kann man mit Hülfe der Differenzen in der Differenzspalte die zugehörigen t-Werthe leicht durch einfache Interpolation bestimmen, wobei man bis etwa Z = 0,85 höch- stens um 4 bis 2 Einheiten der letzten Decimale im £-Werthe feh- len kann, was irrelevant ist, da die 4. Decimale bei Beobachtun- gen dieser Art zuzuziehen ohnehin als ein Luxus angesehen wer- den kann. Bei höheren Werthen = jedoch würde man um so mehr bei dieser Interpolation irren, je höher diese Werthe sind; und ich füge daher zur Ergänzung des letzten Theils der Tabelle noch ein paar Zusatztabellen bei, worin die Werthe - enger an einander liegen, und mit deren Zuziehung man für alle Fälle als Unterlage einer weiteren Interpolation ausreichen wird, Zusatztabelle I.
Zusatztabelle II. ea u oo 1 2 an An sich hat die Zahl n = 100 keinen besonderen Vorzug; und ich selbst habe statt n = 100 immer n = 64 zu Grunde ge- legt, alle meine grösseren Versuchsreihen in Fractionen mitn = 64 getheilt, die aus den Fractionen besonders berechneten t-Werthe nachher addirt, und diese Summenwerthe oder die daraus gezo- genen Mittelwerthe verwandt. Der Grund war der, dass 64, als Potenz der 2, einer grösseren Subdivision mit 2 fähig ist, als 100, und ich mir diese anfangs für beliebige Fractionirung offen halten wollte. Später bin ich dabei stehen geblieben, um alle Versuchs- reihen in dieser Hinsicht vergleichbar zu halten, da, wie nachher zu bemerken, die Grösse des n, was man zu Grunde legt, einen gewissen Einfluss auf die Grösse der Masszahlen hat, den man überall vergleichbar halten muss. Die von mir gewöhnlich ge- brauchte Fundamentaltabelle ist daher, um die Uebersetzung des Bruches 7 in einen Decimalbruch und Interpolation eben so zu ersparen, als für obige Tabelle angegeben wurde, gleich für r, zugehörig zun = 64, eingerichtet; und ich füge sie hier noch hinzu, falls sich Andere derselben Grundzahl bedienen wollen.
Um meine grösseren Reihen, die stets Multipla von 64 Fällen enthalten, vergleichungsweise mit der fractionsweisen Behandlung, doch auch im Gan- zen oder in grösseren Abtheilungen gleich bequem behandeln zu können, 12 habe ich noch eine grössere Tabelle fürn = 512, worin 64 8mal enthalten ist, construirt, woraus sich unmittelbar auch Tabellen fürn = 64, = 2.64, =4.64 ziehen lassen. Durch Rückgang aufdie, S. 404 angezeigte, Tabelle des Integrals © und Zuziehung der S. 105 angegebenen Gleichung zwischen de und © wird übrigens der Sachverständige (mit Hülfe von Interpolation) leicht Tabellen für beliebige Grundzahlen n entwerfen können. In jedem Falle aber wird man wohl thun, welche Grundzahl na man auch wählen mag, immer dieselbe für alle Versuche beizubehalten, bei grösserer Versuchszahl im- mer durch Fraetionirung auf dieselbe zurückzugehen und seine Tabelle ein- für allemal darauf einzurichten.
Vorstehender Fundamentaltabellen kann man sich nun auch bedienen, um aus dem Z, was man bei einem gegebenen D und P erlangt hat, auf das D zu schliessen, was bei derselben Em- pfindlichkeit % und mithin demselben P (da A sich mit P, aber nicht mit D ändert) erfoderlich sein würde, irgend ein beliebiges anderes z zu geben, indem man nur nöthig hat, zu dem anderen — in der Tabelle das zugehörige! zu suchen und folgende Proportion anzusetzen: Wie sich das 2 = hD beider — verhält, so verhält sich das D derselben. Umgekehrt kann man nach der Ta- belle zu gegebenen D's die zugehörigen Werthe - finden, wenn ein solcher für ein D gegeben ist, so lange h constant bleibt. Je- doch wird man auf diese Anwendungen nicht leicht praktisch durch unsere Methode geführt, indem die obige Bestimmungsweise von h oder auch nach Umständen blos £ das bleibt, worauf zuletzt Alles ankommt.
Man darf nicht vergessen, dass der angegebene einfache Gebrauch der Tabelle nur unter der angegebenen Bedingung statt— findet, dass das scheinbare Uebergewicht, abgesehen von den Zufälligkeiten, blos von D abhängt; in Wirklichkeit aber hängt es noch von constanten Einflüssen der Zeit- und Raumlage mit ab; und der nach der Tabelle aus re abzuleitende Werth i ist in diesem Falle nicht blos = hD, sondern = h(D+-M), wo M die algebrai- sche Summe aller constanten Miteinflüsse ist, die noch ausser D das scheinbare Uebergewicht bestimmen. Mit Rücksicht darauf besteht die praktische Aufgabe darin, die Versuche und deren Berechnung so zu combiniren, dass M compensirt wird, und man auf denselben Werth AD zurückkommt, welcher ohne das Dasein > der Miteinflüsse nach obigem einfachen Gebrauche der Tabelle er- halten werden würde.
Was nun die Versuchsweise anlangt, so ist unsere normale Ausführungsweise, von der oben die Rede war, gleich für diesen Zweck berechnet. Hier wird nach einem ganz regelmässigen Mo- dus zwischen 4 Hauptfällen entgegengesetzter Zeit- und Raum- lage des Mehrgewichtes gewechselt, nämlich 4) wo dasselbe im linksstehenden Gefässe liegt, und wo dieses zwerst aufgehoben wird; 2) wo es im linksstehenden Gefässe liegt, und wo dieses zu zweit aufgehoben wird; 3) und 4) entsprechend mit dem rechten Gefässe; also, um die 4 Hauptfälle übersichtlich aus ein- ander zu halten, wo es liegt: 4) im linksstehenden zuerst aufgehobenen Gefässe, Kurz bezeichne ich diese 4 Hauptfälle nach voriger Reihen- folge mit EI, Die dabei erhaltenen, für jeden Hauptfall besonders zusammen- gezählten, richtigen Zahlen mit Tj3 Taı Ta, 75 und die, ihren Quotienten durch n zugehörigen Werthe t der Fun- damentaltabelle (welche nicht mehr einfach = hD zu setzen sind) mit buy bay Igı 4 wobei für alle Hauptfälle ein gleiches n vorausgesetzt ist. Der Weg der vollständigen Compensation von M beruht dann, wie leicht zu zeigen, darin, dass man die so erhaltenen s der 4 Hauptfälle addirt und mit 4 dividirt, indem man hat 1D = + ann wonach Division mit D wie früher den reinen Werth von h giebt, statt dessen man wiederum hD oder AhD selbst zum Masse ver- wenden kann, wenn D immer constant gehalten wird.
Dieser Weg der vollständigen Compensation der Mit- einflüsse M gründet sich auf folgende Puncte. Nach S. 90 findet ein von der Zeitfolge der Hebung und ein von der Raumlage der Gefässe abhängiger Miteinfluss auf die Bestimmung des scheinba- ren Uebergewichtes statt. Den von der Zeitfolge der Hebung ab- Fechner, Elemente der Psychophysik. 8 ‚Die Addition dieser 4 Werthe und Division mit 4 giebt AD; auch tractive Gombination die Werthe von hp und hq und in Folge deshängigen Einfluss werde ich p, den von der Raumlage abhängigen q nennen. Bei entgegengesetzter Zeit- und Raumlage haben p und q ein entgegengesetztes Vorzeichen. Welches Vorzeichen wir für eine gegebene Lage verwenden wollen, ist willkührlich, nur dass wir bei der entgegengesetzten das entgegengesetzte verwenden. Setzen wir also bei dem ersten Hauptfalle p und q mit positivem Vorzeichen an, so nimmt M beim ersten Hauptfalle den Werth +p + q, beim zweiten — p + g, beim dritten + p — g, beim vierten —p— gan, und erhalten wir also bei den 4 Hauptfällen folgende Werthe fürt=h(D+M) tw =h(D+p-+4g) 4=h(D+p—-dq n=h(D-p—g reicht die Addition der ersten und vierten, so wie zweiten und dritten Gleichung, mit nachfolgender Division durch 2, für sich allein hin, hD finden zu lassen.
Dieselben Gleichungen sind geeignet, durch additive und subsen von p und q zu geben. Man erhält nämlich so zunächst: osram 4 Dividirt man die so erhaltenen Werthe von hp, hg mit dem vorhin erhaltenen Werthe AD = rarute, so erhält man das Verhältniss von p, q zu D, und durch Multiplication dieses Ver- hältnisses mit D den Werth von p, q in Grammen, wenn D selbst in Grammen ausgedrückt ist. Auch können hp, hq eben so wie hD jedes in doppelter Weise schon durch die!'s zweier Haupt- fälle bestimmt werden, und in der Uebereinstimmung der so er- haltenen Werthe eine Controle gesucht werden. Ik Je nach der Richtung der Einflüsse p, g können dieselben eben so wohl mit negativem als positivem Vorzeichen bei dieser Bestimmungsweise hervorgehen, so dass! man mit der Grösse die Richtung derselben zugleich durch diesen Weg bestimmt findet; wobei das Vorzeichen mit Rücksicht auf die Weise zu verstehen ist, wie p und g in die Grundgleichungen eingeführt sind. 7 Die definitive Lösung der ganzen Aufgabe mit ihren Neben- aufgaben führt also zur Bestimmung von A, p, q durch folgende Gleichungen: we _. a Wobrtbol PT +L+u + Ra u +h— tz -Lı I, + rt Doch wird man häufig für die anzustellenden Massvergleiche bei den Werthen AD, hp, hq oder AhD, Ahp, Ahq, oder, im Falle einer Zusammenlegung der Resultate aus mehreren, nur immer gleich viel, Fractionen bei irgend welchen grösseren Multiplis je- ner Werthe stehen bleiben können, wie der Sachverständige leicht übersieht.
Auf diese Weise, wodurch man zugleich eine vollständige Elimination und genaue Bestimmung der Einflüsse p, g erlangt, sind alle meine später (im 9. und 42. Kapitel) folgenden Massbe- stimmungen über die Unterschiedsempfindlichkeit im Felde der Gewichtsversuche gewonnen, und es können die dort anzuführen- den Resultate in mehrfacher Beziehung zur Erläuterung und zum Belege dessen dienen, was hier über den Gegenstand im Allge- meinen gesagt ist. Vollständigeres und Zusammenhängenderes in dieser Hinsicht werden die »Massmethoden « bieten.
Wenn ich künftig darauf Bezug zu nehmen habe, werde ich, in Ueber- einstimmung mit der S.444 getroffenen Wahl der Vorzeichen, den von der Zeitfolge der Hebung abhängigen Einfluss p als positiv fassen, wenn vermöge desselben das erstaufgehobene, als negativ, wenn das zweitaufgehobene Ge- fäss unabhängig von D als das schwerere erscheint, den von der Raumlage abhängigen Einfluss g als positiv, wenn vermöge desselben das linksstehende, als negativ, wenn das rechtsstehende Gefäss als das schwerere erscheint. Sage ich also z. B., der Einfluss p wog + 40 Grammen, so heisst diess, ab- gesehen vom Mehrgewichte erschien das erstaufgehobene Gefäss um 10 Grammen schwerer als das zweitaufgehobene. Das 12. Kapitel wird Gele- genheit geben, solche Bestimmungen anzuführen.
Auch bei gleichbleibenden Verhältnissen der Zeit- und Raumlage der Gefässe können sich p und g doch durch innere Gründe ändern, da jene ob- jeetiven Verhältnisse nur nach ihrer subjectiven Auffassungsweise in Betracht kommen, die aus unbekannten Gründen sehr veränderlich ist.
So veränderlich aber die Einflüsse p und g nach äusseren und inneren Verhältnissen sind, so hat sich doch aus der Gesammtheit meiner, unter viel- fachen Abänderungen angestellten, Versuche übereinstimmend herausge- stellt, dass der Einfluss p durch vermehrte Schwere der Hauptgewichte oder ’ vorgängige Ermüdung der Arme bei einhändigem wie zweihändigem Verfahren die Tendenz hat, sich in negativem Sinne zu ändern, d. h. geringere positive, oder grössere negative Werthe anzunehmen, oder aus positiven in negative Werthe umzuschlagen, ferner, dass p und g bei einhändigem Ver- fahren und unter sonst gleichen Umständen grössere positive oder kleinere f negative Werthe bei der Rechten als Linken haben; endlich, dass die Grösse und Richtung dieser Einflüsse nicht wesentlich von der Grösse von D abhängt. Auf weitere Details ist hier nicht einzugehen.
Man könnte die Compensation der Miteinflüsse p, q auch da- durch bewirken wollen, dass man das r der 4 Hauptfälle vor der Berechnung der s zusammennähme, und aus dem so erhaltenen gemeinsamen — nach der Fundamentaltabelle ein gemeinsames { ableitete, welches man = hD setzte. Dieses Verfahren kann unter Umständen Dienste leisten, wird aber von mir als das der un- vollständigen Compensation bezeichnet, indem sich wie folgt zeigen lässt, dass man nicht wirklich hiedurch genau auf den Werth AD und mithin A zurückkommt, der ohne das Dasein der Miteinflüsse erhalten worden wäre.
Sei beispielsweise der Einfluss p zu Gunsten des zweitauf- gehobenen Gefässes, und nehmen wir übertreibend an, er sei aus- serordentlich gross, sei unendlich gross, so versteht es sich von selbst, dass die Zufügung eines endlichen D zum einen beider Ge- fässe ganz einflusslos werden würde, das Urtheil zu bestimmen, und stets und jedesmal das zweitaufgehobene Gefäss als das schwerere erscheinen würde; dass daher, wenn das Gefüss mit D eben so oft zuerst als zu zweit aufgehoben wird, wie bei unseren Versuchen geschieht, und wenn die Fälle dieser beiden Zeitlagen zusammengenommen werden, wie man versucht sein könnte, als zulänglich zur Elimination von p zu halten, die Zahl der richtigen Fälle und falschen Fälle eben so gleich ausfallen wird, als wenn die Empfindlichkeit für den Gewichtsunterschied null wäre, wo man auch eine gleiche Anzahl richtiger und falscher Fälle erhält. Die Empfindlichkeit für D erscheint so zu sagen durch den Miteinfluss übertäubt. Wogegen, wenn der Einfluss der Zeitfolge der He- bung gar nicht vorhanden wäre, D sein Uebergewicht gleich sehr bei beiden Zeitlagen geltend machen; und ein seiner Grösse und der vorhandenen Empfindlichkeit angemessenes Uebergewicht der richtigen Fälle für das Gefäss, worin es liegt, begründen wüı A \ Also kann das Zusammennehmen der richtigen Fälle bei entgegen“ gesetzten Zeitlagen nicht äquivalent gesetzt werden dem Falle, dass kein Einfluss der Zeitlage überhaupt vorhanden gewesen. Denn begreiflich nähert man sich jenem vorausgesetzten Extreme um so mehr, je stärker der Miteinfluss wird. Und was in dieser Hin- sicht von p gilt, gilt eben so von q und vom gleichzeitigen Dasein beider. Hiegegen wird man durch unser Verfahren der vollstän- digen Compensation, wo die Zahlen r für die verschiedenen Haupt- fälle getrennt zur Ableitung von £ benutzt werden, wirklich auf dasselbe Resultat bezüglich AD zurückgeführt, als wenn kein Mit- einfluss p und q vorhanden wäre; indem sich derselbe dadurch eliminirt.
Wie leicht zu erachten, muss eben so, wie der Einfluss von D gegen p oder q verschwinden kann, auch das Umgekehrte stattfinden können. Wenn D sehr gross ist, so kann weder der Einfluss der successiven Aufhebung noch der Einfluss der Hand- stellung mehr spürbar werden, sondern das Urtheil richtet sich blos nach der Lage von D, und, sofern D gleich oft entgegenge- setzte Zeit- und Raumlagen annimmt, wie es bei unserer Versuchs- weise der Fall, muss die Zahl der Erst- und Zweitfälle, der rech- ten und linken Fälle gleich gross werden, oder sich doch mit zu- nehmendem D dieser Gleichheit immer mehr nähern.
Obwohl sich diess Alles leicht theoretisch ergiebt, gestehe ich doch, erst durch die Erfahrungen selbst darauf geführt worden zu sein, da bei schweren Hauptgewichten der Einfluss p manch- mal so gross wurde, dass jene Art Uebertäubung des Einflusses von D schon ohne Rechnung bei den Versuchen spürbar wurde und nach der Berechnung die gesetzlichen Abhängigkeitsverhält- nisse der Unterschiedsempfindlichkeit erheblich alterirt erschie- nen, indem ich früher immer die richtigen Fälle der verschiedenen Zeit- und Raumlage vor der Berechnung der t-Werthe zusam- mennalım.
Wie leicht zu erachten, kann das Verfahren mit wiederholtem Hin- und Herwiegen der Gefässe ($. 94), welches keine Sonde- rung der 4 Hauptfälle gestattet, überhaupt nur diesen Erfolg der unvollständigen Compensation gewähren.
Uebrigens wird man vom Verfahren der vollständigen Com- pensation dann absehen können, wenn es nicht auf ein eigent- liches Mass der Unterschiedsempfindlichkeit, sondern nur auf Beurtheilung von Mehr, Weniger und Gleich ankommt, und wenn o man keine oder keine starken Abänderungen der Einflüsse p, q im Laufe der Untersuchung vorauszusetzen hat. Dann wird man allerdings nicht nur die Zahlen aller 4 Hauptfälle zusammenneh- men, sondern auch es unnöthig halten können, von den richtigen Zahlen zu den {-Werthen erst überzugehen, indem eine gleiche, grös- sere oder kleinere Zahlr bei gegebenem n unter Anwendung eines ge- gebenen D, dann eine gleiche, grössere oder kleinere Unterschieds- empfindlichkeit beweist. Doch darf man nicht vergessen, dass diess an die Bedingung der Constanz der Einflüsse p, q geknüpft bleibt. Es hat aber nach Vorigem eine beträchtlichere Grösse regelmässig in entgegengesetztem Sinne wechselnder eonstanter Einflüsse denselben ‘Erfolg als nach $. 77 die beträchtlichere Grösse unregelmässig wechselnder Zufälligkeiten, d. i. die rich- tigen Zahlen r zu verkleinern, so dass bei gleicher oder selbst grösserer Unterschiedsempfindlichkeit die zusammengefassten richtigen Zahlen r der 4 Hauptfälle geringer ausfallen können, wenn die constanten Miteinflüsse grösser sind, somit sich falsche Verhältnisse auf diese Weise herausstellen können, welche nur auf dem Wege der vollständigen Compensation verschwinden. Insofern man nun bei der grossen Variabilität jener Einflüsse aus inneren Gründen (vgl. S. 145) selbst bei sorgfältig vergleichbar gehaltenen äusseren Verhältnissen nie vollkommen dafür einste- hen kann, dass sie in die zu vergleichenden Werthe wirklich vergleichbar eingehen, wird der freilich umständlichere Weg der vollständigen Compensation, hiemit die Sonderung der 4 Haupt- fälle und Rückgang auf die {- Werthe, immer eine grössere Sicher- heit gewähren, und der Vergleich der blossen Zahlen r nur zu mehr oberflächlichen und vorläufigen Bestimmungen dienen können.
Die methodische Einhaltung der gleichen Beobachtungszahl und des regelmässigen Wechsels der 4 Hauptfälle, ohne welche die genaue Elimination und Bestimmung der constanten Einflüsse p, 9 nicht zu erreichen ist, setzt eine regelmässige Abänderung der Lage des Mehrgewichtes und also stete Kenntniss dieser Lage voraus. Diese Kenntniss würde bei dem $S. 94 angegebenen ersten Ver- fahren, wo jede Entscheidung, die einen Beitrag zur Zahl r giebt, als eine Art definitive erst nach wiederholtem Hin- und Herwie- gen der Gefässe gefällt wird, nothwendig einen bestimmend: Einfluss auf das Urtheil gewinnen, den sie bei dem zweiten, wo der Ausfall jeder einzelnen Doppelhebung einen Beitrag zu r lie- fert, verliert, da man weiss, dass dieser Ausfall in nicht bere- chenbarer Weise von Zufälligkeiten und von der Raum- und Zeitlage der Gefässe mit bestimmt wird, dieEinbildungskraft also in der Kenntniss der Lage des D keinen Anhalt findet, einen be- stimmten Erfolg der einzelnen Doppelhebungen danach vorweg zu nehmen, sondern sich nur an die Aussage der Empfindungen wie an etwas Objectives halten kann. Der Anblick meiner Beob- achtungstabellen bestätigt diess. Der Ausfall der einzelnen Ur- theile zeigt sich darin ganz unregelmässig und durch den Werth und die Verhältnisse von p, q im Ganzen eben so sehr und oft noch mehr als durch die Lage von D bestimmt, ja die Zahl der falschen Fälle, entgegen dem, was die bekannte Lage des D fodern würde, in vielen Versuchsreihen bei manchen Hauptfällen überwiegend über die der richtigen.
Hienach wird auch bei dem zweiten Verfahren die Zuziehung des, bei dem ersten Verfahren unentbehrlichen, die Lage des Mehrgewichtes ohne unser Wissen abändernden, Gehülfen ent- behrlich, und ist sogar hier nicht zulässig, da vielmehr eine stete eigene Controle über die Lage des Mehrgewichtes und eine ganz ungestörte gleichförmige Spannung der Aufmerksamkeit während des Laufes der fortgesetzten Hebungen bei diesem Verfahren ganz wesentlich ist.
Nachdem ich einige Monate durch Versuche nach dem ersten Verfahren, unter sorgfältiger Einhaltung der Nichtkenntniss der Lage des Mehrgewichtes, angestellt habe, ehe ich zum zweiten, mit Kenntniss der Lage desselben übergieng, bin ich wohl im Stande, die Verhältnisse beider Verfahrungsarten vergleichungsweise zu beurtheilen, und würde nicht bei dem zweiten stehen geblieben sein, wenn ich mich nicht hinreichend überzeugt hätte, dass die dabei nothwendige Kenntniss von der Lage des Mehrgewichtes auch gefahrlos sei.
Sollte man diese Erklärungen nicht genügend finden, den Verdacht einer Mitwirkung der Einbildungskraft bei meinen, nach diesem Verfahren angestellten, Versuchen auszuschliessen, so muss ich auch hierüber auf die » Massmethoden « verweisen, wo theils die eingehendere Darstellung der Sachlage dieser Versuchsweise, theils die Weise selbst, wie sich ihre Ergebnisse stellen, demsel- ben noch wirksamer begegnen dürfte. Jedenfalls aber würde ich ” Ps ‘de < Einwände aus diesem Gesichtspuncte nur auf Grund sorgfältiger eigener Prüfung des Verfahrens gestatten.
Bei der Berechnung pflege ich die Versuchsreihen nicht blos nach den 4 Hauptfällen, sondern bemerktermassen auch in Fractio- nen nach der Zeit und anderen Umständen in der Art abzutheilen, dass jedem einzelnen {-Werthe eine Fraction von 64 einfachen He- bungen oder Fällen untergelegt wird, und die aus den Fractionen gewonnenen i-Werthe zu Summen - oder Mittelwerthen zu com- biniren, statt die Ableitung des t jedes Hauptfalles aus dem Total- n, was die Reihe dafür giebt, vorzunehmen, aus Gründen, die schon mehrfach im Allgemeinen angedeutet sind und in den » Mass- methoden « näher besprochen werden.
_ Allerdings wird die Berechnung auf diese Weise, namentlich bei grösseren Versuchsreihen, ziemlich umständlich; doch werden Variationen der constanten Einflüsse dadurch weniger schädlich.
Dabei ist zu berücksichtigen, dass der Werth AD bei Ablei- tung aus Fractionen im Durchschnitte etwas grösser als aus der Totalität erhalten wird, um so mehr, je kleiner die Fractionen ge- nommen werden, wovon die Gründe sich theoretisch angeben las- sen, was ich aber für jetzt übergehe. Demnach muss man zur Vergleichhaltung der Werthe die Ableitung immer aus Fractionen mit demselben n vornehmen, und das n angeben, auf welches. fractionirt worden ist. Diess n ist also bei den von mir künftig anzuführenden Resultaten, wo nichts Anderes ausdrücklich an- gegeben ist, stets 64 gewesen, bezüglich auf einfache Hebungen.
Es giebt noch praktisch nützliche Bemerkungen über die Grösse des bei den Versuchen anzuwendenden D, das man zweck- mässig weder zu klein noch zu gross nehmen darf, über die Sicher- heitsbestimmungen der Resultate und manche Nebenpuncte zu machen, deren Erörterung ich auf die Massmethoden verspare.
e) Specielles zur Methode der mittleren Fehler, in An- wendungaufdie Augenmass- und Tastversuche.
Die experimentale Seite betreffend, bemerke ich, dass ı sich bei Augenmassversuchen besser paralleler Fäden oder S oder distanter Puncte als Zirkelweiten unter Anwendung Schenkelzirkeln, zur Herstellung der Distanzen bedient, auf die Schätzung anzuwenden ist, um nicht die Schätzung de kelweite mit ins Spiel zu bringen; es sei denn, dass solche selbst zum Gegenstände der Beobachtung gemacht werden soll.
Zu den Tastversuchen wende ich gestielte Schenkelzirkel mit eingelassenen englischen Nähnadelspitzen an, und fasse die Zirkel bei den Versuchen an den Stielen*). Die Spitzen sind nicht oder kaum merklich abgestumpft, um die Distanzen an einem Massstabe mit Transversalen genau bestimmen zu können, werden aber nur sehr leise aufgesetzt und die Versuche nicht bis zur Rei- zung fortgesetzt. Ich habe die meisten Tastversuche an mir selbst, aber vergleichsweise auch solche mit Application der Zirkel durch einen Gehülfen angestellt, wobei geringere constante, aber, wegen der ungleichförmigeren Application der Zirkel durch eine fremde Hand, wodurch das Spiel der Zufälligkeiten vergrössert wird, viel grössere variable Fehler erhalten wurden, von deren Unterschei- dung und Trennung sofort die Rede sein wirt, Normaldistanz nenne ich die Distanz, welche dem Ver- gleiche bei den Augenmass- und Tantversuchen constant unter- gelegt wird, Fehldistanz die, im Allgemeinen mit einem Fehler behaftete, Distanz, welche ihr gleich geschätzt worden ist. Die Differenz einer Fehldistanz von der Normaldistanz giebt das, was ich den rohen Fehler nenne und mit d bezeichne, zur Unter- scheidung von dem gleich zu betrachtenden reinen Fehler 4.
Wie $.90 bemerkt, weicht die aus vielen Beobachtungen ab- geleitete mittlere Fehldistanz im Allgemeinen von der Normal- distanz um eine oft beträchtliche Grösse ab, und sind die positive und negative Summe der rohen Fehler sich im absoluten Werthe nicht gleich, sondern meist überwiegt die eine beträchtlich über die andere. Um diesen Umstand erfoderlich zu berücksichtigen, betrachte ich die Abweichung der mittleren Fehldistanz von der Normaldistanz als constanten Fehler, und die Abweichung einer einzelnen Fehldistanz von der mittleren als reinen varia- bein Fehler, und substituire die Betrachtung dieser beiden Feh- ler der Betrachtung der rohen Fehler. Indem sich der rohe Fehler algebraisch aus dem constanten und reinen variabeln Fehler zu- sammensetzt, nenne ich beide die Componenten des rohen vi *) Die Anwendung ungestielter Zirkel mit Fassung der Zirkel an den 'Schenkeln und Selbstapplication derselben giebt nach vergleichenden Ver- suchen, die ich angestellt habe, grössere constante sowohl als variable Fehler.
ki Fehlers. Den constanten Fehler bezeichne ich mit c, den reinen veriablen Fehler mit 4, und die Summe der durch eine gegebene Beobachtungsreihe oder Fraction gewonnenen reinen Fehler mit 24. Nur die reinen Fehler sind zum Masse der Unterschieds- empfindlichkeit zu verwenden, und nur aus ihnen, nicht den ro- hen, Fehlern der zu diesem Masse dienende mittlere Fehler zu ziehen. Der constante Fehler beruht auf constanten Einflüssen der Zeit- und Raumlage der verglichenen Grössen und der durch subjective Verhältnisse mitbestimmten Weise, wie durch sie das Urtheil aflieirt wird, Die Nothwendigkeit, den rohen Fehler in seine Componen- ten aufzulösen, ruht eben so auf mathematischen wie experimen- talen Gründen, die ich in den »Massmethoden« erörtere; auch giebt es zwischen dem rohen Fehler und seinen Componenten mathematische Beziehungen, die es nützlich ist, bei der Handha- bung der Methode zu kennen, was ebenfalls ein Gegenstand spe- cieller Erörterungen in den »Massmethoden« sein wird, indem ich mich überall hier darauf beschränke, das Wesentlichste der Methode zu besprechen.
_ Von fundamentaler Wichtigkeit für die Methode ist die we- sentliche Unabhängigkeit des reinen variablen Fehlers vom con- stanten, die sich durch die Experimente herausgestellt hat, so dass man bei entgegengesetzter Raum- und Zeitlage der vergli- chenen Distanzen, womit der constante Fehler sich in entgegen- gesetztem Sinne ändert und die rohe Fehlersumme oft sehr ver- schieden ausfällt, merklich dieselbe reine Fehlersumme erhält; wofern nicht die entgegengesetzte constante Raum- und Zeitlage zugleich ein Spiel unregelmässiger Zufälligkeiten von anderer Durchschnittsgrösse mitführt, was doch nach Erfahrung nicht leicht der Fall ist. Hienach erscheint es auch für Ermittelung der Verhältnisse des reinen variablen Fehlers oft nicht nöthig, die Versuche darüber bei entgegengesetzter Raum- und Zeitlage der verglichenen Distanzen zu wiederholen, wohl aber, wenn es sich darum handelt, die des constanten Fehlers zu ermitteln. Indem man die bei entgegengesetzter Raum- und Zeitlage erhaltenen Werthe desselben in geeigneter Weise combinirt, kann man ihn in verschiedene Bestandtheile nach seinen Abhängigkeitsver-. hältnissen trennen, wie ich in den »Massmethoden« näher z und der Backwersiundige von selbst übersieht; ein Verfahren, wa; wesentlich mit dem übereinkommt, das bei der Methode der rich- tigen und falschen Fälle zur gesonderten Bestimmung der Einflüsse p, q diente.
Bei den Augenmassversuchen wird man hiebei (je nachdem es horizontale oder verticale Distanzen gilt) Rechts- und Links- lage oder obere und untere Lage der Normaldistanz gegen die Fehldistanz zu unterscheiden haben; bei den Tastversuchen Fas- sung des Normalzirkels mit rechter, des Fehlzirkels mit linker Hand und umgekehrt, oder, falls man mit einer Hand Versuche an der anderen anstellt, und daher beide Zirkel in derselben Hand fasst, Fassung des einen Zirkels mit dem oberen, des anderen mit dem unteren Theile der Hand und umgekehrt. Ausserdem habe ich bei den Tastversuchen auch einen Gegensatz nach der Zeit ge- macht, je nachdem der Normalzirkel oder Fehlzirkel bei jedem Vergleiche zuerst applicirt wird.
Bei der Bildung des mittleren Fehlers aus dem reinen va- riablen Fehler hat man die Wahl zwischen zwei Arten mittleren Fehlers. Der eine, welchen ich mittleren Fehler schlechthin oder zur besonderen Unterscheidung vom folgenden einfachen mitt- leren Fehler nenne und mit & bezeichne, wird durch einfache Mittelziehung aus der reinen Fehlersumme, nach der Gleichung