LEIPZIG, “ DRUCK UND VERLAG VON BREITKOPF UND HÄRTEL. = ic Y ar a worin ich die Präcedenzien, den Ursprung und Gang dieser Unter- suchungen verzeichnet habe, einigen Zusätzen und einem Register der in dieser Schrift gebrauchten neuen oder besonders definir- ten Ausdrücke, — in drei Hauptabtheilungen: 4) Formeln und Folgerungen des psychischen Masses; 2) specielle Untersuchungen über einige Sinnesgebiete; 3) innere Psychophysik.
Die erste dieser Abtheilungen enthält wesentlich nur die mathematische Darstellung und Verknüpfung dessen, was von Ge- setzen und Thatsachen im ersten Theile vorliegt, und wird sonach dem Physiologen und Psychologen keinen neuen sachlichen Inhalt VORWORT ZUM ZWEITEN THEILE. Da allgemeinen Vorbemerkungen im Vorworte zum ersten Theile halte ich nützlich, noch einige orientirende Bemerkungen über den Inhalt dieses zweiten Theiles im Besonderen zuzufügen. Derselbe enthält, — abgesehen von einem historischen Kapitel, bieten. Auch wird man, nach einem Blicke auf die Masse Formeln, welche in dieser Abtheilung enthalten sind, wahrscheinlich fragen, was überhaupt damit eigentlich gewonnen ist. Ich habe diess KL bezüglich einer der Hauptformeln, der Massformel, kurz auf h S. 28 dargelegt, und bei den anderen Formeln nicht verfehlt, auf ' die Anwendungen hinzuweisen, die sie versprechen oder schon r gewähren. So geben die Vertheilungsformeln der Empfin- dung im 21. Kapitel zu manchen interessanten Folgerungen An- lass, die Anwendung der Unterschiedsmassformel auf die vi Schätzung der Sterngrössen und der Lagenformeln auf die Beurtheilung der Verhältnisse constanter Fehler sind in besonde- ren Kapiteln (25. und 27.) besprochen, und die Auflösung, welche in Kap. 30. S.179 ff. von dem Räthsel der Octave in der Tonlehre gegeben worden ist, darf vielleicht ein besonderes Interesse in Anspruch nehmen.
Das Hauptinteresse aber, was sich an diese Formeln für jetzt knüpft, bleibt immer das theoretische, ein bisher vermisstes Mass nicht nur für einfache Empfindungen begründet, sondern auch zur Repräsentation functioneller Verhältnisse derselben in Anwen- dung gesetzt zu sehen, und die Prineipien der Behandlung dieses Gegenstandes sind viel wichtiger, als die Formeln, welche nur Specialfälle der Anwendung der Prineipien sind. Die Principien, wie sie im Kap. 6. 7. 18. 22. 30. 31 und 32 dargelegt sind, dürf- ten nach ihrem Wesentlichen auch für den der Mathematik wenig f Kundigen verständlich sein, und auf ihrer Haltbarkeit beruht die Haltbarkeit der in dieser Schrift vorgetragenen Lehre. Was die Formeln anlangt, so können sie noch mancherlei Abänderungen unterliegen. Dass sie, so wie sie hier aufgestellt sind, überall nur eine Approximation sind, so lange man im Gebiete der äusseren Psychophysik davon Gebrauch machen will, habe ich schon frü- her, so wie gleich im Eingange dieses Theils erklärt, und hebe es hier nochmals mit besonderem Gewichte hervor. Diese Formeln werden für verschiedene Sinnesgebiete, ja für verschiedene An- wendungsweisen der Sinne verschiedener Modificationen oder Corretionen bedürfen, die aber, auch wenn sie schon mit grös- serer Sicherheit festgestellt wären, als zur Zeit der Fall, bei der allgemeinen Behandlung des Gegenstandes hier nicht Platz finden konnten, nicht nur, weil sie für verschiedene Gebiete verschieden z sein müssten*), sondern auch, weil sie für die innere Psychophy- *) So zeigt das Weber'sche Gesetz in seiner Anwendung auf die Em- pfindlichkeit für Gewichtsunterschiede nach Th. I. S. 200. 497 eine Abwei- chung an der unteren Gränze, welche mit der bei Lichtunterschieden nach Th. 1. 8.465 stattfindenden nicht gleicher Natur ist, und eine andere Berückah vu sik unstreitig überhaupt wegfallen müssten. Aber auch für die äussere und hiemit experimentelle Psychophysik werden meines Erachtens die hier gegebenen Formeln das bleiben, an was die weitere Entwickelung und genauere Feststellung des mathemati- schen Theiles der Empfindungslehre anzuknüpfen hat, wie denn ein, bezüglich der Lichtempfindung jüngst schon gemachter Fort- schritt, dessen ich in den Zusätzen zu gedenken habe, wirklich daran angeknüpft hat.
Dass ich den wichtigsten Formeln besondere Namen gegeben habe, kann man vielleicht als eine anspruchsvolle Spielerei tadeln; und in der That, wenn in allen mathematischen Untersuchungen jeder Formel ein besonderer Name gegeben werden sollte, würde die Mathematik bald mit der Botanik und Zoologie an Reichthum der Namen wetteifern; aber bei dem vielfältigen Rückbezuge, den ich auf die Hauptformeln zu nehmen hatte, und der künftig ander- wärts wird darauf zu nehmen sein, falls die hier vorgetragene Lehre Platz greift, wird man den dadurch erlangten Vortheil der Kürze und Ersparung von Verweisungen nicht unerheblich finden.
Die zweite Abtheilung kann leicht Anlass geben, zu fragen, warum einige Gegenstände so ausführlich darin behandelt, und so Vieles, was gleichen Anspruch hätte, in einer Psychophysik be- handelt zu werden, ganz übergangen ist. Meine Antwort ist ein- fach. Ich habe die Gegenstände, auf die sich von der hier vorge- tragenen Lehre aus ein neues Licht werfen liess oder deren Be- handlung in das Allgemeine dieser Lehre wirksam eingriff, so gründlich, als es mir möglich war, zu behandeln gesucht, wie denn diese Schrift ausgesprochenermassen im Ganzen mehr den Cha- rakter der Untersuchung als des Lehrbuches trägt; im Uebrigen geglaubt, dass man es mir keinen Dank wissen würde, ander- wärts behandelte Kapitel der Physiologie und Physik hier noch einmal wiederzufinden. Unstreitig lässt sich aus gewissem Gesichtigung in den Formeln der äusseren Psychophysik fodern würde, um dadurch gedeckt zu werden.
vu sichtspuncte die ganze Nervenlehre und Sinneslehre in die Psy- chophysik hineinziehen, und wahrscheinlich werden Physiologie und Physik bei ihrem stets wachsenden Umfange künftig gern ei- ner selbstständig constituirten Psychophysik manche Gränzgebiete überlassen, die sie jetzt noch in ihr Bereich ziehen; immer aber wird es für diese Lehre besser sein, sich auf jene zu stützen und sie zu ergänzen, als zu wiederholen.
An die Darstellung einiger Tastversuchsreihen in der zwei- ten Abtheilung habe ich eine vorgreifliche Vervollständigung des- sen, was im ersten Bande über die Methode der mittleren Fehler gesagt worden ist, betrefls einiger Puncte geknüpft; da ich doch wohl erst werde abzuwarten haben, ob das Publicum überhaupt ein hinreichendes Interesse an dem ganzen Kreise dieser Unter- suchungen nehmen wird, um die »Massmethoden«, auf die ich früherhin über das Detail der Methoden verwiesen und noch in so mancher Beziehung zu verweisen habe, erscheinen lassen zu können.; In der dritten Abtheilung würde man vergebens ein voll- ständiges und abgerundetes System der inneren Psychophysik suchen; ganze Hauptgebiete, die dereinst hinein gehören, fehlen. Hauptsächlich war es nur vorerst darum zu thun, allgemeine Ge- sichtspuncte für dieselbe und erste Eingangspuncte in dieselbe zu gewinnen, von welchen aus eine Forschung mit wachsender Sicher- heit der Resultate möglich ist. Wenn ich nicht irre, tragen dieje- nigen, welche an die Spitze der inneren Psychophysik gestellt sind (Kap. 36. 37. 38. 39), diesen Charakter, und auch hier lege ich das Hauptgewicht auf die Principien. Von den Ausführungen, in denen ich mich versucht habe, habe ich nach und nach immer mehr weggelassen, und besorge auch jetzt noch, eher zu viel als zu we- nig gegeben zu haben. Aber die Sache musste angegriffen werden, um zu zeigen, dass sie angriffsfähig ist, sollten auch manche An- griffspuncte sich durch passendere und manche Angriffe durch geschicktere oder triftigere in Zukunft ersetzen lassen. Aus die- IX IX sem Gesichtspuncte bitte ich die wenigen Ausführungen der inne- ren Psychophysik zu betrachten. So ist die schematische Darstel- lung einiger der allgemeinsten und wichtigsten psychophysischen Verhältnisse, von der ich insbesondere im 42. und 45. Kapitel Gebrauch gemacht habe, von gewisser Seite nur ein Rahmen, von anderer ein Surrogat. Ich halte diese Darstellung für nützlich, ja für sehr nützlich, einer sonst in dieser Hinsicht bestehenden Leere gegenüber; doch muss dieser Rahmen einst mit Bestimmtheiten ausgefüllt, das Surrogat durch directere Darstellungen, die es bis jetzt zu vertreten hat, ersetzt werden.
Denjenigen, deren Interesse hauptsächlich ein empirisches ist, bietet dieser Band nur etwa im 34. 35 und 44. Kapitel einiges neue Erfahrungsmaterial. Die Beobachtungen über Contrastver- hältnisse, auf welche Th. II. S. 106 verwiesen worden ist, haben, theils weil sie noch nicht vollständig redigirt waren, theils einen etwas zu grossen Umfang gewonnen haben, hier nicht mehr Platz finden können, sind aber ziemlich gleichzeitig mit diesem Bande in den Berichten der sächs. Soc. 1860 unter der Ueberschrift » Ueber die Contrastempfindung« erschienen. Ueber die, leider erfolglos gebliebene, nachträgliche Anstellung eines, Th. Il. S. 174 in Aussicht gestellten, wichtigen akustischen Versuches berichte ich in den Zusätzen, welche ausserdem die Bezugnahme auf einige neuere wichtige Untersuchungen von Helmholtz enthalten.
Will man, so kann man als eine Ergänzung dieser Schrift eine demnächst erscheinende, den Inhalt einiger früheren Schriften theils resumirende, theils erweiternde, kleine populär gehaltene Schrift » Ueber die Seelenfrage « betrachten, welche die im 45. Ka- pitel vorliegender Schrift zum Schlusse nur kurz angedeuteten N Aussichten, die sich von einer allgemeinsten Fassung der Psycho- ) physik aus ins Gebiet der Religion und Naturphilosophie eröffnen, E behandelt. Die Gesichtspuncte, aus denen es geschieht, ohne nach Form und Sache eine Exactheit zu beanspruchen, die hieher noch k nicht reicht, dürften den exacten doch so nahe stehen, als es die AA se Natur der Aufgaben und unsere Erkenntnissmittel seither gestatten, | und ich habe sie unter dem Namen Erfahrungsprineipien des Glau- bens genauer zu formuliren versucht. Wenn nun schon die da- selbst resumirten Ansichten bei ihrem Widerspruche gegen die jetzt | herrschende gemeine sowohl als theologische und philosophische Weltansicht sich seither keines sonderlichen Anklanges zu erfreuen gehabt haben, und eben so wenig hoflen dürfen, einen solchen demnächst zu finden, lässt sich doch aus den Erörterungen des 45. und 46. Kapitels vorliegender Schrift leicht übersehen, dass sie nur die Vorwegnahme des dereinstigen Zieles einer auf der Grundlage der Prineipien dieser Schrift sich entwickelnden Psy- chophysik sind. Sie wird keine allgemeine werden können, ohne den geistigen Stufenbau der Welt über die jetzt angenommenen Gränzen hinaus zu erweitern, zu vertiefen und zu erhöhen.
Diess sage ich zwar mit der Ueberzeugung, dass der Widerstand der Zeit gegen derartige Ansichten auch auf die Aufnahme dieser Psychophysik zurückwirken wird, welche dieselben als Folgerungen im Keime in sich trägt, aber eben so mit der Ueberzeugung, dass dieser Widerstand an dem festen Grunde und der künftigen \ Entwickelung dieser Lehre endlich scheitern wird. i Leipzig, den 18. August 1860.
% INHALT.
Seite Fortsetzung der äusseren Psychophysik. Formeln und Folgerungen des psychischen Masses. XIV. Allgemeine Vorerinnerung. Erinnerung an die wichtigsten Ei- genschaften der Logarithmen „rm nnent A XV. Ein mathematisches Hülfsprineip » » er ron 6 XVI. Die Fundamentalformel und Massformel. 2.» +...++ 9 XVII. Mathematische Ableitung der Massformel.. » +++ +. 3 XVIII. Die negativen Empfindungswerthe insbesondere. -Repräsenta- tion des Gegensatzes von Wärme- und Kälte-Empfindung.. 39 XIX. Bezugsweiser Gang von Reiz und Empfindung. «++ + 47 xXX. Summation von Empfindungen.. cr re * EEE; XXI. Vertheilungsverhältnisse der Empfindung vr...+ Nic, 08 XXI. Unterscheidung zwischen zwei Arten von Empfindungsunter- XXI. Die Unterschiedsformel...+ +» a ee 89 XXIV. Die Unterschiedsmassformel. rum nn 96 XXV. Anwendung der Unterschiedsmassformel auf die Schätzung der Sterngrössen. oe. een nn ale 17) DES BERUBE XXVI. Die höheren Unterschiedsmassformeln. «+.» + sunsE ar XXVII. Die Lagenformeln. Anwendung derselben auf die Beurtheilung der Verhältnisse constanter Fehler. „rer ren. 122 XXVII. Bemerkungen zu den Massmethoden der Empfindlichkeit.. 442 XXIX. Beziehung von Contrastempfindungen und Empfindungssum- Denn. VER EN BRETTEN 09 454 XXX. Frage nach Empfindungsproducten. Beziehung zwischen Höhe, Stärke und periodischem Element in der Tonskala. x...163 XXXI. Verallgemeinerung des Massprincipes der Empfindung...19 XXXII. Die oscillatorischen Reize im Allgemeinen. Versuch einer Elementarconstruction des Empfindungsmasses.. » «+ 198 c) Uebersicht der gebrauchten Bezeichnungen..»...» 210 d) Gleichungen für dieSchwingungen, aufdenen gefusstwird 212 u) Formeln und Resultate, welche aus der Untersuchung herf) Herleitung der Formeü!...0...+ A Br re Specielle Untersuchungen über einige Empfindungsgebiete. XXXIH. Ueber Licht- und Schallempfindung ih Beziehung zu einander 238 a) Ueber die Gränzen der Sichtbarkeit der Farben und die Ursachen der Beschränkung dieser Sichtbarkeit...238 b) Puncte der Uebereinstimmung und Verschiedenheit zwi- schen den Empfindungsgebieten von Licht und Schall. 267 Pu: E Tr xu c) Annahmen, welche nöthig scheinen, die vorigen Puncte der Uebereinstimmung und Verschiedenheit zu erklären XXXIV. Ueber die extensiven Empfindungen insbesondere...XXXV. Da Tastversuchsreihen nach der Methode der mittleren NK) u? 4. Zusatz. Herleitung ‚der Correction wegen des endli- BEE ae. ehe Hohen: rt ae Re Mr, nal ERTIN 2. Zusatz. Herleitung der Correction wegen der Grösse BGE IBESEVAUO N 9.7. 4 10.5 0 ae an er.
Innere Psychophysik. XXXVI. Uebergang von der äusseren zur inneren Psychophysik. EERVINUober.dem'Sitz;der.Beale', „im. Ti. u EL Tr a) Sitz der Seele im weiteren Sinne. ». 2 2 222.0. b) Sitz der Seele im engeren Sinne...c) Frage nach dem einfachen oder ausgedehnten” (engeren) RER in: arena eite 47% ee d) Fragenach derErstreckung.d. nusgoÄCHIBER Seelensitzes e) Resume und Schluss...XXXVII. Uebertragung des Weber’schen Qdsetken Er dee Thatsache der Schwelle in die innere Psychophysik...XXXIX. Allgemeinere Bedeutung der Thatsache der Schwelle i in der inneren Psychophysik...N XL. Verhältniss zwischen dem Allgemeinbewusstsein und seinen Sonderphänomenen. Das Wellenschema...XLIN. Verhältniss zwischen den sinnlichen und Vorstellungsphänomenen im Allgemeinen...DEREN er XLIV. Beobachtungen und Bemerkungen über das Verhältniss zwischen Nachbildern und Erinnerungsbildern insbesondere.
Erinnerungsnachbilder, Phänomene des Sinnengedächtnisses, Hallucinationen, Illusionen, Träume...a) Erinnerungsbilder und FREIE in Beziehung zu ein- ander.: va bisaeia WERDEN EEE c) Erscheinungen des Sinnengedächtnisses und Reactions- erscheinungen nach Anschauung von Bewegungen..
d) Unwillkührliche Hallucinationen und Illusionen...» e) Allgemeine Betrachtungen...» 2.2...ka; 2 -—f) Einige Bemerkungen über Träume...XLV. Psychophysische Continuität und Discontinuität. Percho- physischer Stufenbau der Welt. Anknüpfungspuncte der Psychophysik an Naturphilosophie und Religion...»
XLVI. Frage nach der Natur der psychophysischen Bewegung.. Historisches und Zusätze. XLVU: Historische”...u...3-1adeı anna 10) Se KLVIU.; ZUBBIEO, „o.14:0:,8% 15%.0r, 540 agent 1 Tara) ae eelie a) Zusatz bezüglich eines im 30. Kapitel vorgeschagenen EOEBUOBBE 0.;. e..n 0 ar 0 sn un EEE ie b) Zusatz über einige in die Psychophysik einschlagende neuere Untersuchungen von Helmholtz.. » ». » » a4 Fortsetzung der äusseren Psychophysik.
Formeln und Folgerungen des psychischen Masses.
XIV. Allgemeine Vorerinnerung. Die wichtigsten Eigenschaften der Logarithmen.
Indem ich daran gehe, die Formeln zu entwickeln, mittelst deren das psychische Mass vollziehbar ist, habe ich im Allgemei- nen vorzubemerken, dass hiebei (abgesehen von einem Kapitel, worin beispielsweise eine andere Voraussetzung unterliegt) überall die Gültigkeit des Weber’schen Gesetzes und die Thatsache der Schwelle vorausgesetzt wird. Insofern erstere Voraussetzung nicht überall oder nur innerhalb gewisser Gränzen oder nur mit gewis- ser Annäherung im Sinnesgebiete zutrifft, wird diess natürlich auch von den darauf gegründeten Formeln gelten; inzwischen ist in Be- treff der beschränkten Anwendbarkeit, welche diesen Formeln hienach nur zuzusprechen ist, an Folgendes rück - und vorzuer- innern.
4) Die Hauptverhältnisse, welche es im Gebiete der Sinnes- empfindung beim gewöhnlichen Gebrauche der Sinne zu betrach- ten gilt, werden immer unter der Herrschaft der genauen oder angenäherten Gültigkeit des Weber’schen Gesetzes stehen, und von Abweichungen kleiner Ordnung oder unter exceptionellen Fäl- len des Gebrauches der Sinne Anfangs, wo es eben nur gilt, die Hauptverhältnisse zu übersehen, abstrahirt werden können, wie diess schon Th. I. S. 66f. geltend gemacht ward.
2) Die Abweichungen vom Weber’schen Gesetze an dessen unterer Gränze, welche vom Dasein innerer Ursachen der Empfin- Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 1 dung abhängen, und manche andere Abweichungen machen die auf das Gesetz gegründeten Formeln nicht ungültig, sondern las- sen sich in solcher Weise in dieselben mit einführen, dass sie selbst ihrem Effecte auf die Empfindung nach durch diese Formeln repräsentirt werden können; was weiter zu erörtern in der Folge | Gelegenheit sein wird. ( 3) Wo die auf das Weber'sche Gesetz gegründeten Formeln für die äussere Psychophysik gültig zu sein aufhören, verlieren sie doch nicht ihre Bedeutung für die innere, insofern die Gültigkeit des Weber'schen Gesetzes für die psychophysischen Thätigkeiten | unstreitig weiter reicht, als für die Reize, von welchen dieselben ausgelöst werden, wie Th. I. S. 67. 68 besprochen worden, und künftig Gegenstand weiterer Besprechung werden wird.
4) Auch wohin das Weber'sche Gesetz nicht reicht, viel- mehr eine andere Beziehung zwischen constanten Empfindungs- zuwüchsen und variabeln Reizzuwüchsen im Aufsteigen von Em- pfindung und Reiz besteht, als welche durch das Weber’sche Gesetz ausgedrückt ist, reicht doch das, im 7. Kapitel des ersten Theiles erörterte, Princip, nach dem sich eben so gut auf jede an- dere Beziehung zwischen jenen Zuwüchsen Formeln des Masses gründen lassen würden; die folgenden Formeln aber können nun jedenfalls als das wichtigste Beispiel der Anwendung dieses all- \ gemeinen Prineips gelten; wie schon Th. I. S. 65 besprochen ist.
Da wir im Folgenden beständig mit Logarithmen zu thun ha- ben, und hiebei manche Verhältnisse in Rücksicht und Anwen- dung kommen werden, die beim gewöhnlichen Gebrauche der Logarithmen nicht vorkommen, so dürfte Manchem, dem diese Verhältnisse nicht mehr geläufig sind, eine kurze Recapitulation derselben willkommen sein.
Wenn man eine ein- für allemal festgesetzte Zahl, welche die Grundzahl des logarithmischen Systems heisst, succes- siv zu verschiedenen Potenzen erhebt, so entstehen daraus ver- schiedene Zahlen. Die Potenz, auf welche die Grundzahl erhoben werden muss, um eine gegebene Zahl zu erhalten, heisst der Lo- garithmus dieser Zahl.
Im Systeme der gemeinen oder sog. Briggi’schen Logarith- men, für welches die gewöhnlichen Tafeln eingerichtet sind, ist nn A 40 die Grundzahl und hienach z. B. 4 der Logarithmus von 10; 2 der Logarithmus von 400; 3 der Logarithmus von 1000 u. s. f.
Je nach der Wahl anderer Grundzahlen erhält man andere logarithmische Systeme; und während man zum praktischen Ge- brauche beim Systeme der gemeinen Logarithmen stehen bleibt, ist in der mathematischen Analyse vielfach nöthig und wird sich auch im Folgenden vielfach nöthig machen, auf ein davon ver- schiedenes, das sog. natürliche, logarithmische System Bezug zu nehmen, dessen Grundzahl die, folgends stets mit e zu bezeich- nende, Irrazionalzahl ist. In diesem Systeme ist nicht 2, sondern 4,605170 der Loga- rithmus von 100, indem e, zu dieser Potenz erhoben, 400 giebt.
Ungeachtet die Logarithmen im gemeinen und natürlichen Systeme für dieselbe Zahl sehr verschieden sind, bleibt doch das Verhältniss derselben immer dasselbe, für welche Zahl man es auch in Betracht ziehen möge. Dieses constante Verhältniss log comm, log nat, stimmt mit dem gemeinen Logarithmus der Grundzahl des natür- lichen Logarithmus e überein; es wird der Modulus des gemeinen logarithmischen Systems genannt und soll künftig immer mit M bezeichnet werden. Sein Werth ist 0,434294481...Man hat also og nat.
zwischen dem gemeinen und natürlichen Logarithmus und hienach:: logcomm. = Mlognat.; und lognat. = pi ee En Demgemäss kann man den gemeinen Logarithmus irgendwelcher Zahl aus dem natürlichen erhalten, wenn man diesen mit M mul- tiplieirt, und den natürlichen aus dem gemeinen, wenn man diesen mit M dividirt oder mit F multiplieirt. Da bei einer solchen Verwandlung die gemeinen Logarithmen von M und m von Nutzen sein können, setzen wir sie her: Eine Tafel natürlicher Logarithmen, welche die Uebersetzung aus den gemeinen Logarithmen dureh Division mit M erspart, fin- + 4 det sich u. a. in Hülsse Sammlung mathematischer Tafeln. Tafel Aus der allgemeinen Definition des Logarithmus folgt, dass man, um aus dem Logarithmus einer Zahl die Zahl zu finden, die _ Grundzahl zu der Potenz zu erheben hat, welche durch den Loga- rithmus der Zahl bezeichnet ist. Sei allgemein # die Zahl, y ihr Logarithmus, mithin y=logß so hat man, wenn a die Grundzahl ist, ß = ar.
Die Gleichungen y = logß und # = a? fodern sich also wechsel- seitig; und unterscheiden sich nur dadurch, dass in der ersten y als Function von #, in der zweiten $ als Function von y ausge- drückt ist; eine Beziehung, die zu beachten ist, da künftig wird darauf Rückgang zu nehmen sein.
In jedem logarithmischen Systeme ist der Logarithmus von 4 gleich Null, der Logarithmus der.Grundzahl gleich 1, und hat der Logarithmus von 0 einen negativ unendlichen, der Logarithmus von +00 einen positiv unendlichen Werth.
In jedem logarithmischen Systeme haben die Logarithmen von Zahlen, die 4 übersteigen, positive Werthe, die Logarithmen von Brüchen, welche kleiner als I sind, negative Werthe.
Der Logarithmus einer Zahl und der Logarithmus des reciproken Werthes der Zahl, also z. B. log& und log. lög 3 und log + allgemeiner log $ und log 4 sind dem absoluten Werthe nach überall gleich gross und nur von entgegengesetztem Vorzeichen. Daher kann man auch statt log — setzen — log und statt Eben so sind der Logarithmus eines Bruches £ und der Logarithmus des reciproken Werthes dieses Bruches 2 ‚ welches auch die Zahlen #, b sein mögen, einander im absoluten Werthe gleich und nur von entgegengesetztem Vorzeichen, so dass man auch statt log £ setzen kann — log 5 und statt 1085; setzen kann Bekanntlich ferner kann man statt der Summe der Logarithl N nn gi 5 men zweier Zahlen den Logarithmus ihres Productes setzen und umgekehrt; statt der Differenz der Logarithmen zweier Zahlen den Logarithmus ihres Quotienten und umgekehrt; statt des nfachen Logarithmus einer Zahl den Logarithmus der nten Potenz der Zahl und umgekehrt; statt des Logarithmus der nten Wurzel einer Zahl den nten Theil des Logarithmus der Zahl 4 log 8 und umgekehrt.
Transformationen dieser Art werden im Folgenden unauf- hörlich wiederkehren, und es ist daher nöthig, sich dieselben ge- läufig zu machen. Hier folgt die Zusammenstellung der Formeln, welche den Ausdruck derselben enthalten: logß +logb=logßb (k) logß — lgb= log & (5) Dabei ist wichtig, einen Ausdruck, wie log & nicht mit dem Ausdrucke log 8 log b R zu verwechseln. Ersterer kann nach vorigen Sätzen in log® — logb transformirt werden, letzterer lässt keine solche Transformation zu. Eben so ist log 8’ nicht mit log@logß’ zu verwechseln. Er- sterer Ausdruck kann in log -+1ogß’ transformirt werden, letz- terer nicht.
Wenn eine Zahl sich nur wenig von 4 unterscheidet, und « die kleine positive oder negative Differenz derselben von 1 ist, so kann man, insofern sich die höheren Potenzen von « gegen die erste vernachlässigen lassen, im Falle gewöhnlicher Logarithmen setzen log(I+«) = Ma, wo M der Modulus ist, oder im Falle natürlicher Logarithmen einfach 5 ee lgli+o)=a.
— 6 Die hieraus fliessende Substitution von Ma oder « für log (1 + «) ist oft von nützlicher Anwendung. Allgemein hat man, auch bei nicht sehr kleinen Werthen von «, im Falle gewöhnlicher Loga- rithmen welche Formel durch Vernachlässigung der höheren Potenzen von « in die obige übergeht, und durch Substitution von 4 für M auch für natürliche Logarithmen anwendbar wird.
XV. Ein mathematisches Hülfsprineip.
Bei unserer Ableitung der psychischen Massfunction aus dem Weber’schen Gesetze wird uns ein mathematisches Hülfsprineip von Nutzen sein, was ich vor seinem allgemeinen Ausspruche zuerst an einigen Beispielen erläutern will*).
Logarithmen und zugehörige Zahlen schreiten einander nicht proportional vor. Wenn man aber die Differenz zweier einander nahen Zahlen und die Differenz der zugehörigen Logarithmen nimmt, so besteht merkliche Proportionalität zwischen den zu ein- ander gehörigen Theilen der Differenz oder kleinen Zuwüchsen der einen Zahl und des zugehörigen Logarithmus, worauf bekanntlich das Interpolationsverfahren durch Hülfe der in den Logarithmen- tafeln beigefügten Differenzen beruht.
Eine Curve schreitet im Allgemeinen ihrer Länge nach nicht proportional mit der Abseisse vor...Nimmt man aber einen so klei- nen Theil der Curve, dass er merklich mit einer Geraden über- einstimmt, so besteht für diesen kleinen Theil merkliche Propor- tionalität zwischen den zu einander gehörigen Zuwüchsen der Ab- scisse und der Länge der Curve.
Die Bewegung der Erde um die Sonne ist nicht gleichförmig, sondern in der Sonnennähe werden in derselben Zeit grössere Räume zurückgelegt, als in der Sonnenferne; kurz, der Fortschritt der Zeit und der zugehörige Fortschritt der Erde im Raume gehen einander im Ganzen nicht proportional. Aber in einem Drittel- und halben Tage wird merklich das Drittel und die Hälfte des Raumes zurückgelegt, der in einem ganzen Tage zurückgelegt wird.
*) Man findet dasselbe u. a. in Cournot’s Traite des fonctions (I. p. 49) erläutert und mit besonderem Gewichte hervorgehoben or ee ; Yy ng Es ist nur dieses Drittel, diese Hälfte eben so wie der ganze an einem Tage durchlaufene Raum in der Sonnennähe grösser als in der Sonnenferne.
Das Licht erleuchtet eine Fläche in dem doppelten Abstande blos mit 4 der Intensität, als im einfachen Abstande. Also die Stärke der Beleuchtung nimmt im Ganzen nicht im einfachen, son- dern im quadratischen Verhältnisse des Abstandes des Lichtes von der beleuchteten Fläche ab. Fasst man aber nur eine kleine Ver- rückung des Lichtes ins Auge, so wird die Aemderung der Be- leuchtung zur Aenderung des Abstandes nicht im quadrati- schen, sondern einfachen Verhältnisse stehen, das quadratische Verhältniss aber sich wieder insofern geltend machen, als bei doppeltem Lichtabstande die Beleuchtungsänderung für eine gege- bene kleine Lichtverrückung weniger beträgt, als bei einfachem Lichtabstande.
Allgemein endlich: die beziehungsweisen Aenderungen, Zu- wüchse zweier von einander abhängiger continuirlicher Grössen, von einem constanten Ausgangswerthe an oder innerhalb irgend eines Theiles der Grössen verfolgt, gehen einander merklich pro- portional, so lange sie sehr klein bleiben, wie auch das Abhängig- keitsverhältniss zwischen den Grössen beschaffen sein mag, und wie sehr der beziehungsweise Gang der Grössen im Ganzen und nach grösseren Theilen von dem Gesetze der Proportionalität ab- weichen mag.
Dabei hat man nicht ausser Acht zu lassen, dass, während die zu einander gehörigen Aenderungen zweier Grössen, von einem gegebenen Ausgangswerthe an verfolgt, einander proportional ge- hen, so lange sie sehr klein bleiben, doch das Grössenverhältniss dieser bezugsweisen Veränderungen sehr verschieden sein kann, je nachdem man dieselben von diesem oder jenem Ausgangswerthe, oder innerhalb dieser oder jener zusammengehörigen Theile bei- der Grössen verfolgt, wie schon oben bei den letzten Erläuterungs- beispielen geltend gemacht wurde.
Fragt man, was heisst sehr klein im Ausspruche des Prin- eipes? — sehr klein ist doch ganz relativ — so ist die hienach allerdings noch übrige Unbestimmtheit im Ausspruche des Prin- eipes durch folgende Erläuterung zu heben: Es lassen sich in je- dem Falle die zu einander gehörigen Theile so klein nehmen, dass das Gesetz der. roportionalität zwischen den noch kleineren 8 8 Theilen derselben merklich besteht; oder, insofern auch der Aus- druck merklich noch eine Unbestimmtheit einschliesst, dass es so weit besteht, dass die Abweichung unter eine beliebige Gränze fällt. Wie klein sie aber dazu zu nehmen sind, kommt einerseits auf die functionelle Beziehung der Grössen, anderseits die Approximation an, die man verlangt, und Beides lässt keine allgemeine Regel zu. Absolut genau freilich wird die Proportionalität, abgesehen von specialen Fällen, nur innerhalb unendlich kleiner Theile sein, und die Approximation daran um so grösser sein, je mehr man sich dem Unendlichkleinen nähert.
Man habe Acht, dass das ausgesprochene Prineip nicht nur an kein bestimmtes Abhängigkeitsverhältniss zwischen den gegebenen Grössen, sondern auch an keine bestimmte Natur die- ser Grössen, d. h. der Objecte, auf welche der Grössenbegriff Anwendung findet, sondern nur an den allgemeinen Begriff con- tinuirlicher Grössenabhängigkeit gebunden ist. Wo sich also eine stetige Grössenabhängigkeit vorfindet, da gilt es. Nun aber findet sich eine solche zwischen der Reizgrösse und Empfindungsgrösse vor. Wir wissen zwar bis jetzt noch kein bestimmtes Verhältniss anzugeben, nach welchem die Empfindung sich mit der Reizeinwirkung ändert, so lange wir noch kein Mass der Empfindung haben; aber wir wissen doch, dass die Empfindung sich in steti- ger Abhängigkeit von der Reizeinwirkung ändert, dass die Licht- empfindung, Schallempfindung zu- und abnimmt nach Massgabe als der physische Lichteinfluss, Schalleinfluss zu- und abnimmt, gleich viel, in welchem Verhältnisse, und diess genügt, um unser Princip darauf anzuwenden.
Wir können daher unbedenklich den Satz aussprechen: die Aenderungen der Empfindung sind den Aenderungen der Reiz- grösse merklich proportional, so lange die Aenderungen beiderseits sehr klein bleiben.
Gesetzt z. B. zwei Gewichte haben einen gewissen kleinen Unterschied, und dieser wird mit einer gewissen Stärke, Intensi- tät, Deutlichkeit empfunden, so können wir nach unserem Prin- eipe sagen, dass ein doppelt so grosser Unterschied, von derselben Ausgangsgrösse an verfolgt, als merklich doppelt so gross,” ein dreifacher als merklich dreimal so gross empfunden wird; was aber nur so lange gültig bleibt, als der Unterschied der Gewichte klein bleibt, und was nicht ausschliesst, dass ein gleich grosser .
3 ven ’ YF f BE 9 Gewichtsunterschied zwischen Gewichten von anderer Grösse mit ganz anderem Werthe empfunden wird, worüber das mathemati- sche Prineip keine Auskunft giebt, indess hier das Weber'sche Gesetz von der Erfahrungsseite her ergänzend eintritt.
Einen directen experimentellen Beweis, dass dem so sei, kann man nicht verlangen, da vielmehr die Aufgabe, die Grössen- abhängigkeit zwischen Reiz und Empfindung im Sinne mathema- tischer Principien festzustellen, die Anwendung der, ohne Rück- sicht auf alles Experiment gültigen, mathematischen Prineipien der Grössenabhängigkeit, wozu das eben angeführte gehört, von selbst voraussetzt. Einen indirecten Beweis für die Anwendbar- keit dieses Prineipes auf psychische Grössen aber kann man darin finden, dass die mit Hulfe desselben festgestellte Abhängigkeit zwischen psychischen und physischen Grössen, zu deren Darle- gung wir uns jetzt wenden, zu erfahrungsmässig bewährbaren Resultaten führt, wie sich im Verfolge zeigen wird.
XVI. Die Fundamentalformel und Massformel.
Ohne noch ein Mass der Empfindung zu haben, kann man doch den durch das Weber’sche Gesetz ausgesprochenen Fall, dass der Empfindungsunterschied sich gleich bleibt, wenn der re- lative Reizunterschied sich gleich bleibt, und den durch das ma- thematische Hülfsprinsip begründeten Satz, dass kleine Empfin- dungszuwüchse den Reizzuwüchsen proportional gehen, in Ver- bindung durch einen scharfen mathematischen Ausdruck dar- stellen.
Nehmen wir an, wie es bei den Versuchen zur Bewährung des Weber’schen Gesetzes im Allgemeinen der Fall, dass der Unterschied zweier Reize, oder, was dasselbe sagt, der Zuwuchs zum einen Reize sehr klein im Verhältnisse zu diesem sei. Der Reiz, zu welchem der Zuwuchs erfolgt, heisse #, der kleine Zu- wuchs heisse d®, wo man den Buchstaben d nicht als eine beson- dere Grösse, sondern blos als Zeichen zu betrachten hat, dass dß ein kleiner Zuwuchs zu # sei; schon jetzt kann man an das Differenzialzeichen dabei denken. So ist der relative Reizzuwuchs 4 Die Empfindung anderseits, die von dem Reize # abhängt, heisse y, der kleine Zuwuchs der Empfindung, welcher bei Wachsthum 10 des Reizes um dß entsteht, heisse dy, wo d wieder nur als Zeichen kleinen Zuwuchses zu verstehen. dß und dy sind jede auf eine Einheit ihrer Art, die willkührlich ist, bezogen zu denken.
Nach dem erfahrungsmässigen Weber’schen Gesetze bleibt dy constant, wenn 2 constant bleibt, welche absolute Werthe auch d# und 8 annehmen; und nach dem a priori gültigen mathe- matischen Hülfsprincipe bleiben die Aenderungen dy und dß ein- ander proportional, so lange sie sehr klein bleiben. Beide Ver- hältnisse lassen sich im Zusammenhange durch folgende Gleichung ausdrücken wo Keine (von den für y und # zu wählenden Einheiten abhän- gige) Constante ist. In der That, man multiplieire d? und 8 beide mit beliebigen, nur immer beide mit denselben Zahlen, so bleibt das Verhältniss ungeändert, mithin auch der Empfindungsunter- schied dy constant. Diess ist das Weber’sche Gesetz. Man ver- doppele, verdreifache den Werth der Aenderung dß allein, ohne den Ausgangswerth 8 zu ändern, so nimmt auch die Aenderung dy den doppelten, dreifachen Werth an. Diess ist das mathemati- sche Princip. Die Gleichung dy = I genügt also vollständig zu- gleich jenem Gesetze und diesem Principe; und zwar genügt keine andere Gleichung beiden zusammen. Sie soll die Fundamen- talformel heissen, indem die Ableitung aller weiter folgenden Formeln auf ihr beruhen wird.
Die Fundamentalformel setzt noch kein Mass der Empfindung voraus, gewährt aber auch kein solches, sondern drückt blos die gesetzliche Beziehung aus, welche zwischen kleinen relativen Reiz- zuwüchsen und Empfindungszuwüchsen statt hat. Sie ist mit ei- nem Worte nichts Anderes, als der in Eins gefasste Ausdruck des Weber'schen Gesetzes und des mathematischen Hülfsprineipes durch mathematische Zeichen.