Nachdem wir anstatt der von der Lage abhängigen Fehler- schwellen und Lagenfactoren die constanten Fehler in unsere For- meln eingeführt haben, werden wir auch zweckmässig anstatt der von der Lage unabhängigen Normalschwelle A den von der Lage unabhängigen, normalen, eben merklichen Unterschied, d. i. den Werth von D, wo der empfundene Unterschied, abgesehen vom Einflusse derLage, auf die Schwelle tritt, welcher Werth d heisse, einführen, indem wir setzen Pi mi pP Ziehen wir dazu in Rücksicht, dass bei den Versuchen, die wir bier im Auge haben, D und c, so wie die Summe beider, im- mer nur klein gegen P ist, so lässt sich die Formel (5) noch wie folgt vereinfachen.
Sei der Kürze halber D > =Euwd$=o, so sind E und ® kleine Brüche, und die Formel (5) geht mit Rück- sicht hierauf successiv über in u= klog = (a) Es folgt nämlich (b) aus (a), wenn wir die Division —_ ausführen, und höhere Potenzen von & im Quotienten vernachlässi- *) Indem man nämlich P+ D anstatt P als grossen Werth in Betracht zieht..
ee gen, wo sich ir = 1 — w ergiebt. Es folgt (c) aus (b), wenn wir die Multiplication ((— ®) (1+E) ausführen, und das Product der kleinen Grössen » und E vernachlässigen; es folgt (d) aus (c), insofern E— w klein gegen 1 ist, so dass die Regel (S. 5) anwend- bar wird, wenn wir für @ setzen E—w; es folgt endlich (e) aus (d), indem wir kM in die Constante X zusammenziehen. Lösen wir nun die so definitiv gefundene Formel u=K(E—uo) wieder auf, indem wir für E und ® ihre Werthe setzen, so finden wir em welche Formel sich in die, den verschiedenen Hauptfällen ent- sprechenden, Lagenformeln dadurch auseinanderlegt, dass wir für c die den verschiedenen Lagen zugehörigen Werthe und Vor- zeichen substituiren.
Unter diesen Formeln haben wir dann auch stets diejenige anzuwenden, wo D-+c positiv ist, um allgemein positive Werthe von u bewussten, negative unbewussten Werthen der Empfindung zugehörig zu erhalten; und auch hier entsprechen dann verkehrt empfundene Unterschiede dem Falle, wo D negativ ist, indess D-+-c positiv ist, d. i. wo der an sich kleinere Reiz durch seinen constanten Fehler das Uebergewicht erhält.
Auf S. 103 hatten wir als Unterschiedsmassformel für den Fall, dass ein empfundener Unterschied den nur eben merklichen wenig übersteigt, was ein kleines D voraussetzt, und dass der eben merkliche Unterschied, d. i. d selbst klein ist, die Formel gefunden. Berücksichtigt man nun, dass nach der Bedeutung von + und w o=Bio=f so geht diese Formel über in u wonach man sieht, wie sie als der besondere Fall unter die La- genformel tritt, wo c gleich null; und unmittelbar übersieht, wie sich c eben sowohl als eine Abänderung von D wie von d fassen lässt. Wenn die Fehlerschwellen und Lagenfactoren F, 5 bei ver- „e K(D-d) schiedener absoluter Grösse des Reizes P constant blieben, so würde der Einfluss der Lage nicht hindern, dass sich das We- ber’sche Gesetz durch Versuche über Unterschiedsempfindlichkeit mit verschiedenem P bei Festhaltung einer und derselben Lage direct bestätigte. Aber nach meinen Gewichts-Versuchen ändern sich im Allgemeinen z, r, hiemit F, % und hiemit der Factor, wel- cher den Werth P+D im Ausdrucke des constanten Fehlers (nach S. 136) multiplieirt, mit der Grösse von P, und diess macht nö- thig, einmal, dass man, um bei solchen Versuchen mit abgeänder- tem P eine Bestätigung des Weber’schen Gesetzes zu erhalten, die constanten Fehler eliminiren, und so durch Rechnung den Fall herstellen muss, als wenn die empfundenen Unterschiede blos von der Unterschiedsmassformel, nicht den Lagenformeln, abhin- gen; zweitens, dass man, um die Lagenformeln triftig zum Masse empfundener Unterschiede zu verwenden, die Werthe z, r, F, so wie die davon abhängigen Werthe in den constanten Fehlern bei veränderten Werthen von P mit veränderten Werthen, all- gemein als Function von?, einführen muss, in welcher Beziehung es wichtig ist, die Abhängigkeitsverhältnisse dieser Werthe von P näher zu untersuchen, wozu ich in meinen, in den »Massmetho- den « specieller mitzutheilenden, Versuchen zwar manche Beiträge liefern kann, in der Hauptsache aber doch auf noch anzustellende Untersuchungen zu verweisen habe.
Mit Vorigem hängt zusammen, dass, wenn schon nach S. 136 in den constanten Fehler c allgemein der Factor P-+D eingeht, doch c im Allgemeinen nicht proportional mit P+D. gefunden wird, indem der andere Factor $ — 1 oder zE ebenfalls davon abhängt.
Seither habe ich immer blos eine Abhängigkeit der Fehler- schwellen, Lagenfactoren und hienach auch constanten Fehler von der Zeit- und Raumlage der verglichenen Grössen in Betracht gezogen; aber auch die Weise, wie man die Grössen zum Vergleiche herstellt, d. i. die Weise der Manipulation bei den Versuchen, kann die verglichenen Grössen ungleich treffen, und hieraus ein Einfluss entstehen, der unter ganz dieselben Ge- sichtspuncte tritt, als der von der Lage abhängige, nur dass der Grund hier weniger leicht, und zum Theil gewiss nicht, in Abänderungen der absoluten Empfindlichkeit für die Reize gesucht werden kann.
In der That kommt sicher unter Umständen eine Abhängig- keit des constanten Fehlers c ausser von der Lage der Grössen auch von der Herstellungsweise der Grössen vor. So kann bei der Methode der eben merklichen Unterschiede ein constanter Fehler entgegengesetzten Vorzeichens entstehen, je nachdem wir den grösseren Reiz durch Verkleinerung oder den kleineren Reiz durch Vergrösserung bis zur scheinbaren Gleichheit mit dem an- deren bringen; und bei der Methode der mittleren Fehler ein con- stanter Fehler darauf beruhen, dass wir stets die Fehlgrösse, aber nicht die Normalgrösse der Abänderung bis zur scheinbaren Gleichheit mit der anderen unterwerfen.
Mehrere meiner Tastversuchsreihen nach der Methode der mittleren Fehler mit Selbstapplication der Zirkel zeigen einen sehr beträchtlichen constanten Fehler, welcher nach Elimination des Zeit- und Raumfehlers noch übrig bleibt, und nur diesem Grunde scheint zugeschrieben werden zu können; bei Applica- tion der Zirkel durch einen Gehülfen aber fehlte oder doch zwei- deutig blieb.
Wo nun überhaupt noch andere Abhängigkeitsverhältnisse der eonstanten Fehler, als von der Zeit- und Raumlage stattfin- den, ändert diess nichts in den Prineipien, aus denen die vori- gen Formeln entwickelt sind, und hienach auch nichts in den Formeln, welche c enthalten, es explicirt sich blos c anders, was sich leicht nach blosser Analogie übersehen lässt, und die Zahl der Lagenformeln. wächst.
Zweckmässig lässt sich an das Vorige die Betrachtung der Wirkungsweise der Zufälligkeiten anknüpfen, welche, wie Th. I. S. 76 geltend gemacht wurde, bei allen Massmethoden der Un- terschiedsempfindlichkeit eine grosse Rolle spielen, und zugleich hiemit die Regel rechtfertigen, welche ebenda gegeben ward, Masse der Untersehiedsempfindlichkeit nur insofern vergleichbar zu hal- ten, als man einen gleichen Spielraum von Zufälligkeiten dabei voraussetzen kann.
Kurz gesagt repräsentirt sich die Wirkung der Zufälligkeiten als eine, mit der Grösse des Spielraums derselben wachsende, Ver- grösserung der Normalschwelle A, welche im Mittel einer Mehrzahl von Versuchen hervorgeht, und sich nicht in diesem Mittel ausam gleicht, und als eine Abänderung der Fehlerschwelle F oder des Lagenfactors } in jedem einzelnen Versuche, die durchschnittlich eben so oft und stark im Plus als Minus stattfindet, und sich im % Mittel ausgleicht, oder was dasselbe sagt, als eine mit dem Spiel- raume der Zufälligkeiten wachsende Vergrösserung des Werthes d und als eine im Mittel sich ausgleichende abwechselnde Vergrösse- rung und Verkleinerung des Werthes c. In der That, je grösser der Spielraum der Zufälligkeiten bei den Versuchen ist, um so kleiner fällt factisch das aus einem Mit- ä tel vieler Versuche zu gewinnende Mass der Unterschiedsempfind- lichkeit aus, wie schon Th. I. S. 77 geltend gemacht wurde, aus- serdem aber kann der Grössenunterschied in jedem einzelnen Versuche durch Zufälligkeiten vergrössert oder verkleinert erschei- nen, und diese Wirkungen compensiren sich nothwendig, indem sie, sofern es nicht der Fall ist, nicht mehr als Sache von Zufäl- ligkeiten, sondern constanten Fehlern angesehen werden. Des Näheren lässt sich diess so erläutern: a4 Geht man von dem idealen Falle aus, dass ein Unterschied ’ unter den günstigst möglichen Verhältnissen in die Empfindung fällt, so würde doch, da ein absolut kleiner Unterschied überhaupt nicht als besonderer empfunden werden kann, sondern in der Empfindung aufgeht, ein gewisser Werth d als eben merklicher Unterschied stattfinden, den übrigens nichts hindert, im Gränz- falle der Empfindlichkeit null zu setzen, ohne dass diess in der folgenden Betrachtung etwas ändert. Der günstigste Fall lässt sich aber überhaupt nicht absolut treffen, weil die Zufälligkeiten bald in diesem, bald jenem Sinne Abweichungen von den günstigsten Verhältnissen hervorbringen. Welchen Sinn nun aber auch diese Abweichungen haben, so kann ihr Einfluss als Abweichung vom günstigsten Zustande immer nur der einer Verkleinerung der Em- pfindlichkeit, mithin Vergrösserung von A oder von d sein, welche mit der Vergrösserung des Spielraums der Abweichungen zu- nimmt; aber vermöge der Schwankungen der Zufälligkeiten um einen mittleren Werth auch um einen mittleren Werth schwankt, welche Schwankungen als Vergrösserungen oder Verkleinerungen von A oder von c bei den einzelnen Versuchen gefasst werden können.
nd a kn A \ 12 XXVII. Bemerkungen zu den Massmethoden der Empfindlichkeit.
Ohne hier in alle Ausführungen eingehen zu wollen, zu denen dieser Gegenstand Anlass geben könnte, knüpfe ich Einiges, was zur Erläuterung und in gewissem Sinne selbst Erweiterung der früher besprochenen Massmethoden der Empfindlichkeit dienen kann, an die Erörterungen und Formeln des vorigen Kapitels, unter Beibehaltung der darin gebrauchten Bezeichnungen, indem ich je- doch dabei zu zeigen suchen werde, dass die Gültigkeit der Prin- cipien, um die es sich hier handeln wird, und der daraus fliessen- den Regeln über die Gültigkeit dieser Formeln hinausreicht, was insofern zu bemerken ist, als die Massmethoden der Empfindlich- keit auch für Fälle zu dienen haben, wo das Weber’sche Gesetz, auf das sich die bisherigen Formeln stützen, nicht oder nicht mit hinreichender Approximation gilt.
Wie S.125 bemerkt, kann der Einfluss der Zeit- und Raum- lage der verglichenen Reize bei den Versuchen über Unterschieds- empfindlichkeit doppelt gedeutet werden. Gewiss ist, dass’ ver- schieden gelegene Reize mit verschiedener absoluter Empfindlich- keit aufgefasst werden können (absoluter Grund): fraglich, ob nicht die zeitliche oder räumliche Relation der Reize noch einen anderen Grund (relativen Grund) ins Spiel bringe.
In der That kann ein Einfluss der Zeitlage sehr wohl darauf beruhen, dass der zu zweit eintretende Reiz das empfindende Or- gan durch den ersten Reiz schon verändert trifft, sofern einerseits eine gewisse Nachdauer jeder Reizwirkung stattfindet, anderseits eine Abstumpfung durch jede Reizwirkung*), Einflüsse, welche in entgegengesetztem Sinne wirken, und aus deren Conflicte und respectivem Ueberwiegen nach Umständen sich die proteusartige Variabilität des Zeitfehlers nach Umständen erklären. dürfte, die ich bei meinen Gewichts- und Tastversuchen beobachtet habe. Beide Einflüsse aber lassen sich bei allgemeinster Fassung des Be- *) Was man Ermüdung nach Heben von Gewichten nennt, wird viel- mehr auf ersteren als letzteren Umstand zu rechnen sein, da man im ermü- deten Zustande selbst ohne Last die ermüdeten Gliedmaassen als schwer spürt und dieselben Lasten schwerer als sonst findet; wogegen das, was man Ermüdung des Auges nach Sehen ins Helle nennt, vielmehr auf letzteren Umstand zu schreiben sein wird, sofern ein durch Licht ermüdetes Auge minder hell sieht, als ein nicht ermüdetes.
u u griffes absoluter Empfindlichkeit als auf diese gehend ansehen. Denn, wenn eine Reizwirkung in einem Organe nachdauert, so bedarf es nachher nur eines geringeren Reizes als sonst, um noch dieselbe Empfindungsgrösse hervorzurufen; der Begriff und das Mass der absoluten Empfindlichkeit kann aber nur darauf gestützt werden, dass sie im umgekehrten Verhältnisse des Reizes steht, der dieselbe Empfindungsgrösse hervorruft. Bezüglich der Ab- stumpfung leuchtet die Zurückführbarkeit auf eine Abänderung der Empfindlichkeit von selbst ein. Was beides übrigens nicht hindert, da man jede Abänderung der Empfindlichkeit in eine Abänderung der Reizwirkung übersetzen kann, diess auch hier zu thun, und was die Untersuchung nicht nur nicht ausschliesst, sondern in jedem Falle noch übrig lässt, inwiefern der eine oder andere Umstand Schuld an der Aenderung der Empfindlichkeit oder Reizwirkung sei.
Den Einfluss der Raumlage anlangend, so ist selbstverständ- lich, dass verschiedene Organe oder Theile eines empfindenden Organes oder auch dieselben Theile in verschiedenen Raumlagen, wenn diese mit Zustandsänderungen der Theile verbunden sind, mit verschiedener Empfindlichkeit behaftet sein können; und dass daher, wenn die zwei verglichenen Reize nicht immersgleich- mässig mit denselben Theilen und im selben Zustande derselben aufgefasst werden, hieraus ein Einfluss auf ihre Schätzung her- vorgehen kann, so, wenn ich bei den Gewichtsversuchen ein Ge- wicht mit einer, das andere mit der anderen Hand hebe, oder im Uebergange von einem zum anderen Gewichte mit derselben Hand das Handgelenk links oder rechts drehe, je nachdem ich in diese oder jene Richtung übergehe, kurz der Hand bei den zwei verschiedenen Gewichten eine verschiedene Stellung gebe.
So wie jeder Reiz in dem Organe, auf das er wirkt, eine ge- wisse Nachdauer hat und eine Abstumpfung hinterlässt, die in Confliet kommen, so wirkt auch jeder Reiz in einer gewissen Weise um sich, irradiirt einerseits auf andere Theile und stimmt anderseits die Empfindlichkeit anderer Theile antagonistisch herab, Einflüsse, die sich mit den vorigen compliciren können, wenn die Reize von verschiedenen Organen oder Organtheilen aufgefasst werden.
Insofern nun in einer oder der anderen Weise die verschie- dene Zeit- und Raumlage der verglichenen Reize Einfluss auf die absolute Empfindlichkeit gewinnt, mit der sie aufgefasst werden, werden dadurch die Schwellenwerthe b, b’, deren reciproker Werth das Mass der absoluten Empfindlichkeit für diese Reize ist, ab- geändert; und die Bedeutung dieser Abänderungen soll demnächst auf Grund unserer bisherigen Formeln, dann allgemeiner, in Be- tracht gezogen werden, Die auf S. 95 aufgestellte Unterschiedsschwellenformel giebt uns den Werth eines wahren Empfindungsunterschiedes in Ab- hängigkeit von der Verschiedenheit der Schwellenwerthe b, b', wodurch diese Verschiedenheit auch hervorgegangen sein mag; die Lagenformeln des vorigen Kapitels geben uns den Werth eines empfundenen Unterschiedes in Abhängigkeit von derselben Verschiedenheit der Schwellenwerthe b, b’, unter Voraussetzung, dass der Einfluss der Lage nur auf dieser Verschiedenheit, mithin dem absoluten Grunde, beruht, eine Voraussetzung, die folgends als bestehend angenommen wird. Setzen wir hienach in den La- genformeln A=1, welches der Gränze der Unterschiedsempfind- lichkeit entspricht, so empfinden wir den Unterschied so wie er ist, und müssen also hiemit von den Lagenformeln auf die Unter- schiedsschwellenformel zurückkommen.
Ziehen wir nun zuvörderst blos eine einfache Abhängigkeit des empfundenen Unterschiedes von der Lage in Betracht, so er- halten wir durch Setzung von A=1 in den demgemässen La- genformeln u= klog 5. Bt e®B indess die Unterschiedsschwellenformel in der früheren Aufstel- lung, je nachdem wir 8’ oder $ in den Zähler setzen, giebt: 4) u = klog Der Vergleich der Formeln (14) und (2) zeigt somit, dass b 4 b PETE woraus das wichtige Resultat fliesst, dass wir in den Fehler- schwellen 3, + der Lagenformeln oder den damit reciproken La- genfactoren das Verhältniss der absoluten Empfindlichkeit haben, mit welchem die Reize je nach ihrer Lage aufgefasst werden; wo- bei ein Werth B= £ > 1 bedeutet, dass die Empfindlichkeit für den Reiz ß grösser als für ° ist, ein Werth von B < 1 aber, dass umgekehrt die Empfindlichkeit für 8° grösser als für # ist.
Im Falle einer zusammengesetzten Abhängigkeit der Fehler- schwellen von der ve und Bngpirin a können wir auch für das einfache Verhältniss F und % ein zusammengesetztes Verhältniss von der Form IE mit Afach ee Stellung der Werthe darin substituiren, welches das Verhältniss der absoluten Empfind- lichkeiten nach dieser zusammengesetzten Abhängigkeit bezeichnet, und an die Stelle der Werthe F,, F,, F,, F, oder a Arge nannt, so dass 2 mit dem Werthe F, und © 3 - mit 5 Weist By Im F u einer’einfachen Abhängigkeit ER sich 3 und ® 3 auf rn und? ae und was gene für 5 „7, bewiesen < a da- . her von selbst auch für I 2 Sofern bei grösserer Empfindlichkeit für einen Reiz dieser grösser als der andere erscheint, wenn schon er ihm gleich ist, entsteht daraus für ihn ein positiver constanter Fehler, bei klei- nerer Empfindlichkeit hingegen ein negativer constanter Fehler. Nun lassen sich die constanten Fehler durch unsere Massmethoden der Empfindlichkeit sehr genau bestimmen; die Abhängigkeit des ten der Reize von den constanten Fehlern ist im vorigen Kapitel S.136 ebenfalls bestimmt, und hienach können die bei Versuchen über die Unterschiedsempfindlichkeit gewonnenen constanten Feh- ler dienen, das Verhältniss der absoluten Empfindlichkeiten für verschieden gelegene Reize finden zu lassen, insofern der absolute Grund des Lageneinflusses allein als gültig angesehen werden kann, was, wenn auch nicht überall, doch in vielen Fällen statthaft sein wird. Hienach haben wir zu dieser Bestimmung: B P+D,„® _P+D+ec WS — P+D+c'8 P+D und in Fällen, woD= 0 ist pP % P+ec Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 10 zu Constante Fehler, welche diese Anwendung gestatten, werden gelegentlich theils durch die Methode der richtigen und fal- schen Fälle, theils die Methode der mittleren Fehler gewonnen.
“ Wo man aber die Emp6ndlichkeitsverhältnisse zweier verschiede- nen Organe oder Organtheile absichtlich vergleichen will, wird man zweckmässig die Methode der Aequivalente anwenden, welche Th. I. S. 431 auseinandergesetzt ist, und welche sich wie folgt durch unsere Formeln erläutert. Nehmen wir die Lagenformel (4) u=klgl sB so wird nach $. 128 f. og Unterschied empfunden, so lange Werthe ulm A = und — _ ne hat, oder der Werth f zwischen 7 4 und 2 fällt. Sn ieh wir bei der Methode der Aequiva- Br u Verhältniss - stets in diese Gränzen herab, und stellen eine grössere Anzahl Versuche der Art an, wobei die Wahrscheinlichkeit, nach Zufall getroffen zu werden, für alle Werthe von 5 Be jenen en gleich u ist, so dass der Werth — 4 und - der Werth 4? = 5 durchschnittlich gleich 4 getroffen werden wär, wenn a a eine Grösse, die kleiner als A ist, bezeichnet. Multiplieiren wir nun alle Werthe von E, die wir so erhalten, und ziehen das geometrische Mittel aus diesen Werthen, so heben sich die Factoren A—x und Fr und wir behalten den Werth £ = + = Hr allein übrig, welcher uns sagt, dass sich die Schwellenwerthe direet, mithin die Empfindlichkei- ten umgekehrt wie die einander äquivalenten Reize ß, ß', zu de- nen sie gehören, verhalten, was in der That die Aussage der Me- thode der Aequivalente ist. Hieraus erhellt zugleich, dass princi- piell nicht das arithmetische, sondern geometrische Mittel zwischen den verschiedenen Verbältnissen £ zu nehmen ist, bei welchen Aequivalenz gefunden wurde; bei nicht zu weit abweichenden Werthen # ist aber der Unterschied zwischen beiden Mitteln zu vernachlässigen.
Sollte bei den Aequivalenzversuchen ausser der Raumlage auch die Zeitlage und Herstellungsweise der Grössen einen Ein- A, ..
fluss gewinnen, so wird man das von der Raumlage abhängige Verhältniss 2 oder S doch immer auf die vorige Weise rein ge- winnen, Ri £ man gleich viel Versuche mit verwechselter Zeit- lage und Herstellungsweise der Grössen auf beiden Theilen an- stellt, und das geometrische Mittel aus dem Producte aller so er— haltenen Aequivalenzverhältnisse zieht, indem sich die von der Zeitlage und Herstellungsweise abhängigen Factoren hiebei eben- falls compensiren.
Obwohl der vorige Nachweis der Benutzbarkeit der constan- ten Fehler und Aequivalenzen zum Vergleiche der absoluten Em- pfindlichkeiten sich an Formeln geknüpft hat, welche die Gültig- keit des Weber'schen Gesetzes voraussetzen, so ist doch diese Benutzbarkeit ganz unabhängig von der Gültigkeit dieses Gesetzes; und auch bei jedem anderen Gesetze besteht noch dieselbe Abhängigkeit des Verhältnisses F oder ni Formeln S. 445 gegeben ist, und kann die Methode der Aequiva- lente in derselben Weise verwendet werden. Diess übersieht sich des Näheren so: Zwei an sich gleiche, aber verschieden angebrachte Reize, welche hier P, P’ heissen mögen, würden ohne den Einfluss der Lage auch als gleich empfunden werden. Durch den Einfluss der Lage erscheint der eine, z. B. P grösser, als der andere; aber wir vermögen nach dem Principe S. 123 dadurch die Gleichheit der Empfindung wiederherzustellen, dass wir P’ um einen gewissen Werth c vergrössern, welcher zugleich das Mass des constanten Fehlers bei P ist, sofern er zu dessen Compensation dient. Nun erwecken P und P'+c gleich starke Empfindung. Nach dem Be- griffe der absoluten Empfindlichkeiten aber stehen diese im reci- proken Verhältnisse und die zugehörigen Reizschwellen ®, ®’ im directen Verhältnisse der Reizgrössen, welche eine gleiche Em- pfindung geben; also haben wir von c, welche durch die wo c als constanter Fehler des Reizes anzusehen ist, auf den sich DB bezieht. Da diese Formeln allgemein gültig für jeden Werth? sind, so u kann man darin auch für P setzen P+D. So erhält ‚man alle Ausdrücke für n und 3 wieder, welche $. 148 gegeben wurden, ohne nöthig zu haben, auf die Lagenformeln zurückzugehen.
Was die Methode der Aequivalente anlangt, so ruht sie, eben- falls unabhängig vom Weber’schen Gesetze, im Wesentlichen nur darauf, dass, wenn zwei Reize von zwei Theilen mit verschiedener Empfindlichkeit aufgefasst werden, und man bei wiederholtem Versuche ihr Verhältniss £ immer auf den Punct bringt, wo der Unterschied für die Empfindung verschwindet, dieses Verhältniss um ein gewisses mittleres Verhältniss;- schwankt, welches durch die Zufälligkeiten eben so oft und in gleichem Verhältnisse erhöht als vermindert auftritt, und als geometrisches Mittel aller Werthe &; die man so erhält, gefunden werden kann. Dieses mittlere Verhältniss wird als das der Reizgrössen angesehen, welche unabhängig von Zufälligkeiten gleich erscheinen würden, und nach dem Begriffe der absoluten Empfindlichkeiten liegt hierin zu- gleich das Verhältniss der absoluten Empfindlichkeiten für diese Reizgrössen.
Durch die Massmethoden der Unterschiedsempfindlichkeit er— halten wir bei gegebenen Zeit- und Raumlagen der Reize immer nur den aus Raum- und Zeitfehler complieirten constanten Fehler c, entweder für sich, wie nach der Methode der mittleren Fehler, oder selbst noch mit D complieirt, in der Form h(D+c*), bei der Methode der richtigen und falschen Fälle; und es gilt dann, hier- aus die einfachen Zeit- und Raumfehler abzuleiten.
Wie diess bei der Methode der richtigen und falschen Fälle zu geschehen habe, ist schon Th. I. S. 113 f. erörtert, womit das Verfahren bei der Methode der mittleren Fehler wesentlich über- einstimmt, Doch mag die Analyse des constanten Gesammtfehlers bezüglich dieser Methode hier nachträglich noch etwas näher er- läutert und dabei Rücksicht auf den in der Erfahrung wirklich vorkommenden Fall genommen werden, dass c ausser von p, q auch noch von einem dritten Werthe in Abhängigkeit steht.
Legen wir dabei zum Anhalt unsere, Th. 1. S. 120 ff. im *) Das M Th. I. S. 442 stimmt nämlich mit dem, was hier ce heisst, überein.
Allgemeinen besprochenen, und Th. 1. S. 211 theilweis mitge- theilten, Augenmass- und Tastversuche unter.
Bei diesen Versuchen würde die Fehldistanz mit der Normal- distanz, welche hier den Werth P vertritt, im Durchschnitte der Versuche, und abgesehen vom constanten Fehler gleich gefunden werden, so dass man im Durchschnitte D=0 zu setzen hat”). Die Abweichung, welche die mittlere Fehldistanz von der Normal- distanz zeigt, kommt ganz auf Rechnung des constanten Fehlers c, und stellt diesen selbst dar, welcher nun aber nach den Lagen- verhältnissen der Normaldistanz und Fehldistanz gegen einander verschieden ausfällt, indem er sich verschieden aus p, q und nach Umständen noch einem dritten Werthe s zusammensetzt.
Soll eine gesonderte Bestimmung dieser Componenten des Gesammtfehlers c stattfinden, so müssen die Versuche mit stren- ger Sonderung und methodischem Wechsel entgegengesetzter Zeit- und Raumlage angestellt, und die dabei erhaltenen verschiedenen Werthe von c durch Rechnung in der gleich anzuzeigenden Weise combinirt werden.
Eine respectiv mit I und II zu bezeichnende entgegengesetzte Zeitlage, womit der Zeitfehler + p und — p als Componente des constanten Gesammtfehlers c in Beziehung zu setzen, geht bei. Tastversuchen hervor, wenn man bei der Lage I jedesmal zuerst den Normalzirkel aufsetzt, dann den Feblzirkel, und hienach die Abänderung des Fehlzirkels vornimmt, falls seine Spannweite als verschieden von der des Normalzirkels empfunden wird, bei der Lage II aber jedesmal zuerst den Fehlzirkel aufsetzt, dann den Normalzirkel, und hienach den Fehlzirkel abändert, falls der Nor- malzirkel dem vorher aufgesetzten Fehlzirkel nicht entsprechend erscheint. Dieses methodische Verfahren mit Sonderung der dabei erhaltenen Fälle habe ich bei meinen Tastversuchen im Allgemei- nen eingehalten. Auch bei den Augenmassversuchen könnte man so verfahren, indem man, statt die Abänderung der Fehldistanz nach unregelmässigem Hin- und Herblicken vorzunehmen, wie es bei den bisherigen Versuchen immer geschehen ist, jedesmal bei I zuerst die Normaldistanz, bei II die Fehldistanz zuerst ins Auge fasste, und diese Fälle sonderte.
*) Das D der Augenmassversuche Th. I. 8.214 folg. ist, als die Normal- distanz bedeutend, nicht mit dem D dieses und des vorigen Kapitels zu ver- wechseln, sondern vergleicht sich vielmehr dem P, Be Als entgegengesetzte Raumlage R und Z, oder O und U, wo- mit der Fehler +q und —g in Beziehung zu setzen, kann man einführen: bei Tastversuchen das Halten des Normalzirkels ein- mal in rechter, das anderemal in linker Hand, oder mit oberem und unterem Theile der Hand*), indess der Fehlzirkel jedesmal in der entgegengesetzten Weise gefasst wird; bei den Augenmass- versuchen Lage der Normaldistanz rechts und links, oben und unten gegen die Fehldistanz, wovon erstes Verhältniss bei hori- zontaler, letztes bei verticaler Distanz in Betracht kommt.
Vielleicht zwar ist die verschiedene Haltungsweise der Zirkel bei Tastversuchen vielmehr als eine in räumlicher Hinsicht ver- schiedene Herstellungsweise als verschiedene Raumlage der ver- glichenen Grössen zu fassen; indess ändert diess nichts in der mathematischen Behandlung der davon abhängigen Fehler.
Gesetzt nun, wir haben in den 4 Hauptfällen, welche sich so bei unseren Versuchen ergeben, IZ,UZ, IR, 1IR oder die vier constanten Fehler c,, C,, 3, c, als Specialwerthe des Feh- lers c gefunden, so haben wir, falls diese Fehler blos von p, q abhängen — ob es aber der Fall sei, wird sich aus der folgenden Behandlung selbst ergeben — die Gleichungen dafür wie S. 1434 anzusetzen: s=+rr+r3;;Ga=-P+T hr Kedbe.) ml. Di ba he und können nun (respectiv durch Addition oder Subtraction je zweier dieser Gleichungen von einander und Division mit 2) p und q, jeden beider Werthe auf ifache Weise, wie folgt bestimmen: *) Eine derartig verschiedene Haltung kommt in Rücksicht, wenn man beide Zirkel in derselben Hand fasst, um z. B. Versuche damit an der ande- ren Hand anzustellen. Des Näheren verstehe ich hiebei unter 0, wenn man den Stiel des Normalzirkels zwischen Daumen und Zeigefinger (was ich den oberen Theil der Hand nenne), den des Fehlzirkels zwischen den übrigen drei Fingern und der Vola der Hand (was ich den unteren Theil der Hand nenne) fasst; unter U, wenn das umgekehrte Verhältniss der Fassung statt- findet.
+ A er a - Zei _ Ga _ tmlı ta _6&+% Be a a et BER Zr ST ee 5 Diese 4 Bestimmungsweisen dürfen nicht weiter von einan- der abweichen, als nach Wahrscheinlichkeit auf unausgeglichene Zufälligkeiten geschoben werden kann; wenn wirklich blos eine Abhängigkeit von p, g stattfindet, und die Versuche bei allen 4 Lagen vergleichbar geblieben sind. Wofern sich erheblichere Ab- weichungen zwischen jenen 4 Bestinmungsweisen zeigen, hat man entweder anzunehmen, dass eine hinreichende Vergleichbarkeit nicht stattgefunden hat, vielmehr bei gewissen Lagen die Zufällig- keiten einen anderen Spielraum oder der Zeit- und Raumeinfluss eine andere Grösse gehabt haben, als in anderen Lagen, oder dass ausser jenen constanten Einflüssen, wovon p, q abhängen, noch ein anderer eingewirkt hat, welcher sich dann, wie anzugeben, bestimmen lässt.
Dabei übersieht man leicht, dass das Mittel der Werthe (1) und (2) mit dem Mittel der Werthe (3) und (4) übereinkommt; so dass man, wo es nur auf mittlere Bestimmung von p, q ankommt, mit den Gleichungen (1) und (2) nur dasselbe erreicht, als mit den Gleichungen (3) und (4), so wie umgekehrt.
Wie S. 140 bemerkt, kommt nun bei der Methode der mitt- leren Fehler mitunter noch ein constanter Fehler in Anschlag, welcher daraus hervorgeht, dass blos die Fehlgrösse, auf welche wir den constanten Fehler beziehen, aber nicht die Normalgrösse der Abänderung unterworfen wird. Dieser Fehler, welcher s heisse, behält bei entgegengesetzter Zeit- und Raumlage der Feh- lergrösse denselben Werth und dasselbe Vorzeichen. Obschon ich ihn nicht immer von erheblicher Grösse gefunden habe, ist doch, wo man sich überhaupt auf eine Analyse der constanten Fehler einlässt, in jedem Falle zu untersuchen, ob er einen solchen hat, und mit Rücksicht hierauf die Gleichungen für den constanten Fehler bei der Methode der mittleren Fehler allgemeiner so zu stellen: Diess giebt: v5 ara _ Gt6% Es bleiben also in diesem Falle blos zwei Gleichungen für die Bestimmung jeder Componente übrig, welche hinreichend ein- stimmige Werthe geben müssen, wenn die Annahme dieser Ab- hängigkeitsverhältnisse genügen soll, oder hinreichende Vergleich- barkeit der Versuche stattgefunden hat.
Zur Unterscheidung der beiden Werthe von p, g, s, die man nach (1) und (2) erhält, können dieselben durch die entsprechen- den Indices, als p,, p, etc. unterschieden und für ihr Mittel oder nach Umständen ihre Summe der Buchstabe ohne Index gebraucht werden.
Allgemeine Bemerkung verdient nun, dass, wenn die Werthe Pı> Pa gut unter einander stimmen, diess auch nothwendig mit den Werthen q,, 9, und's,, s, der Fall ist, wie umgekehrt, und eben so hängt die Nichtzusammenstimmung der Doppelwerthe aller dreier solidarisch zusammen, Die nahe Zusammenstimmung klei- ner Doppelwerthe muss aber nicht darin gesucht werden, dass ihr Verhältniss nahe das der Einheit ist, sondern dass beide wenig von 0 abweichen; indem, wenn ein constanter Fehler p, q oder s sehr klein gegen einen der anderen oder die zwei anderen ist, er nur eben in so weit sicher bestimmbar ist, dass seine ge- ringe Grösse überhaupt hervortritt.
Die Werthe der constanten Fehlercomponenten p, q, s, welche man aus obigen Gleichungen erhält, bleiben überhaupt durch Zu- fälligkeiten um so mehr aflieirt, je weniger durch Zahl und Ver- gleichbarkeit der Versuche deren Ausgleichung bewirkt ist.
Wo ein Fehler p, q oder s der Natur der Sache nach nicht be- steht, findet er sich daher wegen solcher unausgeglichenen Zufäl- ligkeiten doch im Allgemeinen nicht null durch obige Gleichun- gen, aber so klein, dass sein durch diese Gleichungen ausgewor- fener Werth nach Wahrscheinlichkeit eben nur auf Zufälligkeiten geschoben oder als ganz unsicher angesehen werden muss. Die Wahrscheinlichkeitsrechnung giebt Regeln zu einer genaueren Beurtheilung in dieser Beziehung, auf die jedoch hier nicht näher ein- gegangen werden kann.
Bei nicht wenigen meiner Tastversuche mit Selbstapplication der Zirkel habe ich nicht nur die Doppelwerthe von p, q, sondern auch von s so gross und übereinstimmend erhalten, dass an der Exi- stenz sämmtlicher drei Fehler unter den Umständen dieser Versuche nicht zu zweifeln, indess unter anderen Umständen der eine oder andere Fehler zweideutig blieb. Näheres darüber in den »Mass- methoden. « Die Augenmassversuche sind bisher nicht so ange- stellt worden, um eine vollständige Analyse der constanten Fehler zu gestatten, sondern blos so, dass sich der Raumfehler besonders herausstellte, indem der constante Fehler in einen von der Raum- lage abhängigen und einen davon unabhängigen, dessen Zusam- mensetzungsweise unbekannt blieb, zerlegt ward.
Wenn man nämlich keine vollständige Analyse der:constanten Fehler beabsichtigt, sondern nur die eine oder andere Componente derselben, z. B. die von der Raumlage abhängige q, bestimmen will, so reicht es hin, Versuche bei verwechselter Raumlage anzu- stellen, indess die Zeitlage und Herstellungsweise der vergliche- nen Grössen durchschnittlich dieselbe bleibt. Dann erhält man blos zwei constante Febler c,, c,, für die man die Gleichungen so ansetzt: woraus sich ergiebt gt + Hierin ist q die von der Raumlage abhängige, C die von der Raum- lage unabhängige, möglicherweise noch zusammengesetzte Com- ponente der constanten Fehler.