*) Vergl. über diesen Punct in theoretischer Beziehung insbesondere Seebeck in Pogg. Ann. LXVII. S, 458.
**) Philos. transact. 1820. p. 307. »I remarked that, when the mouth and nose are shut, the tympanum may be so exhausted by foreible attempt to take breath by expansion of the chest, that the pressure of the external air is strongly felt upon the membrana tympani, and that, in this state of Ausserdem ist nicht unwahrscheinlich, dass die Nerventasten, die von den Tönen angeschlagen werden, oder accessorischen Apparate, mittelst deren sie nach neueren Untersuchungen angeschlagen zu werden scheinen, nur bis zu einer gewissen Höhe reichen. In der That liegen viele Gründe vor, wor- auf ich im 33. Kapitel näher eingehe, zu vermuthen, dass zur Apperception von Tönen verschiedener Höhe verschiedene Nervenfasern gehören.
Viele Menschen vermögen hohe Töne überhaupt nicht wahrzunehmen. Bekannt sind in dieser Beziebung die Beobachtungen von Wollaston*), wonach gewisse hohe pfeifende Töne der Insecten, ja wohl selbst das Zir- pen von Spatzen von manchen Personen nicht mehr gehört werden, welche aber tiefere Töne vernehmen. Ich selbst war sehr frappirt, als ich einst eine Fussreise mit Prof. Ch. H. Weisse, welcher auf einem Ohre sehr schwer- hörig ist, machte, dass er von dem an einem heissen Sommerlage uns um- gebenden, höchst lebhaften Gezirpe der Grillen und anderer Insecten nicht das Geringste vernahm, auch sonst nie dergleichen zu vernehmen ver- sicherte, indess er doch das mir weit schwächer erscheinende Rollen eines fernen Wagens hörte. Uud Bonafont**) zieht das allgemeine Resultat aus seinen Beobachtungen über Taube, »dass in dem Masse, als die Em- pfindlichkeit des Obres abnimmt, dasselbe die Hörbarkeit für die hohen Töne verliert, während es die tieferen noch deutlich wahrnimmt.« Eine Person konnte weder h!! noch all (h noch a) hören, nahm aber el! ziemlich und c!! sehr deutlich wahr. Bonafont glaubt sogar, danach die Heilbarkeit verschiedener Grade von Taubheit beurtheilen zu können. Auch Wolla- ston***) bemerkt vonSchwerhörigen: »that they usually hear sharp sounds much better than lower ones.« Diess Resultat scheint indess doch einer Beschränkung zu bedürfen, und bei gewissen Arten der Schwerhörigkeit vielmehr hohe Töne besser als tiefe gehört zu werden; indem ich in der »rationellen Oliatrik« von Erhard (1859) S. 65 folgende Stelle finde: »Ich habe die Bemerkung gemacht, dass fast alle nervös Schwerhörigen, relativ hohe Töne besser, leichter hören, als tiefe Töne von gleicher Intensität, ohne dafür einen besonderen Grund aus- findig gemacht zu haben. Bei acustisch Schwerhörigen findet sich bei Com- bination des Tensor tympani relativ ein auffallend besseres Auffassungsver- mögen für hohe Töne als für tiefe, und zwar aus dem sehr einfachen Grunde, weil ein gespanntes Trommelfell mehr den Eigenton für hohe Töne hat...Ferner ergeben meine pathologischen Beobachtungen, dass beim Fehlen des Trommelfelles tiefe Töne relativ besser gehört werden, vielleicht weil der Stapedius leichter auf tiefe Töne resonirt.« Nicht ohne Interesse ist folgende Bemerkung von Wollaston#+): »From the numerous instances in which I have now witnessed the limit to tension from external pressure, the ear becomes insensible to grave tones without losing in any degree the perception of sharper tones.« *) Philos. transact. 4820. p. 306. **) Compt. rend. T. XX. p. 1498. Pogg. Ann. LXV. S. 448, *#%) Philos. transact. A820. p. 306. +) Philos. transact. A820. p. 312.
7A 7A acuteness of hearıng, and from the distinet succession of steps that I might enumerate in the hearing of different friends, as the result of various trials that I have made among them, I am inclined to think, that at the limit of hearing, the interval of a single note between two sounds, may be sufficient to render the higher note inaudible, although the lower is heard distinctly.« Im Uebrigen hat sich die obere Gränze der hörbaren Töne durch die successiven Beobachter mehr und mehr ausgedehnt, und es fragt sich, ob schon die Gränze erreicht ist. Vergl. in dieser Hinsicht Th. I. S. 258.
Man kann bemerken, dass die Form log a + logn, oder, um die Schwellenwerthe wieder mit einzuführen, log — + log — mit der, in der Summenformel sich darbietenden Form log £ + log 5 ganz übereinstimmt, welche stattfindet, wenn wir zwei Reizgrössen 8, 8’ auf zwei verschiedene Puncte mit ver- schiedenen Empfindlichkeiten wirken lassen. Die Bedeutung die- ser Form verallgemeinert sich also dahin, dass nicht blos das, was derselben Seite der Empfindung angehört, auf zwei verschiedenen Puncten, sondern auch das, was zwei verschiedenen Seiten ange- hört, auf demselben Puncte sich unter dieser Form verbinden. Und diess bat beidesfalls den übereinstimmenden Erfolg: dass, so wie die Reizgrössen auf zwei verschiedenen Puncten einer ge- sonderten Auffassung unterworfen werden können, indess sie doch in einer gemeinsamen Raumanschauung begriffen bleiben, so Stärke und Höhe auf demselben Puncte, indess sie in einer gemeinsamen Tonempfindung begriffen bleiben.
Bei der übrigens stattfindenden gänzlichen Uebereinstimmung der Form log r* + log — mit der Form log £ + log 14 ist jedoch der Unterschied nicht zu übersehen, dass in letzter Form b, b’ unabhängig von einander sind, indess in erster a, und n, durch die Gleichung a,n, = Const. verknüpft sind. Diess führt mit sich, dass der empfundene Höhenunterschied der Töne durch ihre verschiedene Stärke eben so wenig abgeändert wird, als die Höhe selbst. Denn es sei der eine Ton log ar der andere log am so ist a, zwar von a’, und n, von n’, verschieden, aber a’,n’,=a,n, und der gesammte Tonunterschied an a n log = log 7 + log Ungeachtet ein tiefer schwacher und ein hoher starker Ton einen Massausdruck von gleicher Grösse haben können, so ist doch der qualitative Eindruck oder Charakter beider nach der Zusammensetzung dieses Massausdruckes verschieden. Der erste er- scheint uns verhältnissmässig ernst, würdig, er breit, der zweite spitzig, dünn, schrillend.; Die Triftigkeit der Form log an vorausgesetzt, so ist der Schwellenwerth der Stärke eines Tones nur insoweit constant, als die Höhe constant ist, und der Schwellenwerth der Höhe nur in soweit, als die Stärke constant ist, und es steht, allgemein ge- sprochen, der Schwellenwerth ‘der Schwingungszahl, wovon die Höhe abhängt, im umgekehrten Verhältnisse der Amplitude der Schwingung, und umgekehrt der Schwellenwerth der Amplitude der Schwingung im umgekehrten Verhältnisse der a zahl, im directen der Schwingungsdauer.
Wahrscheinlich bestehen in Betreff der Gränzen der Hörbar- keit der Töne grosse Verschiedenheiten zwischen verschiedenen Geschöpfen (wie diess Wollaston specieller ausgeführt hat), in- dem jedes Geschöpf je nach seiner Lebensweise mit Aufnahms- organen und Nerventasten für einen gewissen grösseren oder klei- neren, höheren oder niederen Theil der Tonscale versehen sein mag, wobei wir immer vorauszusetzen haben werden, dass schnel- lere Schwingungen und kleinere Amplituden zusammengehören. Wenn das, was für Tonschwingungen gilt, sich auf alle Schwin— gungen, von denen Empfindungen abhängen, verallgemeinern las- sen sollte, so haben wir gewissermassen schon in Auge und Ohre zwei so verschiedene Geschöpfe, da die Lichtschwingungen bei ungeheurer Kleinheit ungeheuer schnell, die Schallschwingungen bei viel grösserer Langsamkeit viel grösser sind, insofern es als wahrscheinlich gelten kann, dass diess Verhältniss der äusseren Schwingungen sich ins Innere übersetzt. Freilich kann, wie als- bald erörtert werden soll, die Form logan auf Farben keine di- recte Anwendung finden, wenn wir die Abhängigkeit der Empfin- dung vom äusseren Farbenreiz danach messen wollen; doch ist damit die Möglichkeit noch nicht ausgeschlossen, dass, wenn uns eine letzte Analyse der inneren Schwingungsbewegungen, die der Lichtempfindung unterliegen, zu Gebote stände, die Massform logan auch hier massgebend sein würde.
Man könnte sich Systeme denken, in welchen Bewegungen von so langer Periode als die Bewegung der Erde um die Sonne doch noch Empfindungsphänomene vermittelten, wenn zugleich die Amplitude entsprechend gross wäre; auch können wir nicht Be une an FE -. ra wissen, ob die Welt selbst nicht ein solches System ist. Nur wäre es nutzlos, solchen Möglichkeiten hier weiter nachzugehen.
Das Vorige zusammengefasst, so hängt die strenge Begrün- dung der Form log an als Massausdruck für die Intensität der Ton- empfindung und die etwaige Uebertragbarkeit dieser Form auf andere Empfindungen an zwei Bedingungen: 4) dass das Weber'- sche Gesetz für Stärke und Höhe insbesondere gilt, wie es sich wirklich bei Tönen so gefunden hat; hieran hängt die logarithmi- sche Form des Massausdruckes und seine Zerlegbarkeit in zwei unabhängige Glieder; 2) dass die Intensität des Toneindruckes dieselbe bei gleichbleibender lebendiger Kraft an? und mithin gleichem Schwingungsproduct an bleibe, mithin die Verringerung der Hörbarkeit bei verminderter Amplitude durch eine entspre- chende Vermehrung der Schwingungszabl und umgekehrt die Verminderung der Hörbarkeit bei verminderter Schwingungszahl durch eine entsprechende Vermehrung der Amplitude compen- sirt werden könne, was man ebenfalls bei Tönen in soweit als be- stätigt ansehen kann, als man nach dem allgemeinen Ausfalle von Erfahrungen, wie solche S. 168 angeführt wurden, gehen kann.
Inzwischen reicht Letzteres freilich zu einer genauen Be- währung noch nicht hin, und in dieser Beziehung ist folgende Be- merkung wichtig. Sowohl die Gültigkeit des Weber'schen Ge- seizes für Stärke und Höhe insbesondere, als die Compensirbar- keit der Stärke durch Höhe und umgekehrt in Betreff der Hörbar- keit des Tones im Allgemeinen, soweit sie bis jetzt durch all- gemeine und unbestimmte Erfahrungen constatirt ist, würden sich ebensowohl mit Formen des Massausdruckes von der Form log an? oder log a’n, als der Form logan vertragen. So dass durch Er- fahrung noch nicht zwischen diesen verschiedenen Formen ent- schieden ist, und die Form log an nur wegen ihrer grösseren Ein- fachheit und einfacheren Beziehung der Empfindungsgrösse zur Grösse der lebendigen Kraft so lange vorgreiflich zu bevorzugen sein dürfte, als eine directe Entscheidung nicht vorliegt.
Eine solche Entscheidung, liesse sie sich durch das Experi- ment gewinnen, wozu, wie ich unten zeige, nicht alle Aussicht fehlt, würde aber von äusserster Wichtigkeit sein. Aus den Erör- terungen eines künftigen (des 32.) Kapitels geht nämlich hervor, dass die Form log. an gefodert wird, wenn die Intensität der Em- pfindung von der Grösse der Geschwindigkeiten, die Form log an?
—- 1Tk ” —- 1Tk ” aber, wenn sie von der Grösse der Geschwindigkeitsänderungen (Geschwindigkeiten zweiter Ordnung), die 'm Laufe einer Schwin- gung stattfinden, im Sinne der Massformel abhängt, welches eine ganz fundamentale Frage für die Psychophysik ist, über die auf diese Weise entschieden werden könnte. Und ungeachtet ich beim bisherigen Mangel einer solchen Entscheidung die Form log an als die einfachere bevorzugt habe und demnächst bevorzugen werde, stelle ich es doch noch ganz dahin, ob dieser Vorzug sich bewäh- ren wird*). Der Unterschied zwischen beiden Formen macht sich übrigens nicht sowohl in allgemeinen Folgerungen als den Verhält- nissen der Masswerthe von Stärke und Höhe, an die sie sich knü- pfen, geltend.
Das Experiment, was ich, als möglicherweise zur Entschei- dung führend, im Auge habe, ist dieses: Gesetzt, man lässt denselben Hammer immer aus derselben Höhe auf dieselbe horizontale Saite, aber bei verschiedener Span- nung derselben, fallen, oder dasselbe Pendel immer bei Erhebung um denselben Elongationswinkel gegen dieselbe aber verschieden gespannte verticale Saite schlagen, so wird sich die Saite immer mit gleicher lebendiger Kraft bewegen, aber je stärker sie gespannt wird, desto mehr wird a abnehmen, n zunehmen, d. i. sie wird in immer kleinerer Amplitude schwingen, indess sie zugleich eine immer grössere Tonhöhe erlangt. Das Product a?n?, mithin auch an wird gleich bleiben.
Gilt nun der Massausdruck log an, so wird auch der Ton im- mer bei derselben Fallhöhe hörbar zu werden anfangen und auf- hören, wie man auch die Spannung der Saite abändere; oder, falls man den Versuch mit zwei gleichen aber verschieden gespannten Saiten und zwei dazu gehörigen gleich construirten Hämmern oder Pendeln bei gleicher Fallhöhe (unter Umkehr des Versuchs mit beiden) anstellt, was unstreitig den Vergleich erleichtern würde, der Ton beider bei derselben Entfernung des Hörenden anfangen und aufhören bemerklich zu werden.
Ist hingegen die Form log an? triftig, so wird die Hörbarkeit *) In Th. II. S. 32 habe ich selbst schon vorgreiflich eine Bevorzugung der Voraussetzung, auf welche sich die Form log an? stützt, ausgesprochen, kann jedoch nach genaueren Erwägungen die Gründe dafür auch nicht mehr durchschlagend finden und stelle die Entscheidung ganz dem Erfolge künf- tiger erfahrungsmässiger Untersuchungen anheim, durch Vergrösserung von n mehr zunehmen, als durch Vergrös- serung von Q.
Sollte die Form log a?n gelten, was vorauszusetzen jedoch kein theoretischer Grund vorliegt, so würde das Umgekehrte gelten.
Für den Augenblick bin ich nicht in der Lage, diesen Versuch genau genug mit den erfoderlichen Abänderungen anzustellen, was mir vielleicht künftig möglich sein wird; wenn nicht inzwischen, wie ich wünsche, Andere sich desselben angenommen haben. Un- streitig würde sich noch mehr von demselben erwarten lassen, wenn nicht ein Umstand wäre, der seine entscheidende Kraft sehr beeinträchtigen muss. Sein Resultat würde einfach und unzwei- deutig sein, wenn der Gehörapparat jedes n gleich leicht aufnähme, d.h. der Amplitude der äusseren Schwingungen mit proportliona- ler Amplitude der inneren correspondirte, aber nach den mitge- theilten Thatsachen ist diess nicht der Fall; und je mehr das n sich den Gränzen der Hörbarkeit nähert, desto mehr muss bei gleichbleibendem Werthe an die Hörbarkeit abnehmen, - selbst wenn die Form logan bezüglich der inneren Bewegungen richtig sein sollte, was zu untersuchen das Hauptinteresse ist. Es wird die Frage bleiben, inwiefern die etwa bemerkten Ab- änderungen in der Hörbarkeit verschieden hoher Töne bei glei- cher lebendiger Kraft vielmehr davon abhängen, dass die Gleich- heit der lebendigen Kraft der äusseren Schwingungen sich nicht ins Innere überträgt, oder davon, dass der innerlich gleichen lebendigen Kraft bei verschiedenem n und a keine gleiche Inten- sität der Empfindung zugehört, Inzwischen liesse sich doch viel- leicht durch Combination der Resultate von Versuchen 1) gegen die untere, 2) gegen die obere Gränze der Hörbarkeit, 3) um die Mitte zwischen beiden ein bindender Schluss ziehen; zumal nicht unwahrscheinlich eine derartige Accommodationsfähigkeit der Spannung des Trommelfelles stattfindet, dass die Perception ver- schieden hoher Töne innerhalb gewisser Gränzen gleich leicht erfolgt.
Sollte jedoch der Versuch wegen nicht lösbarer Complication der Bedingungen kein hinreichend entscheidendes Resultat in Betreff der, die innere Psychophysik angehenden, Hauptfrage liefern, so würde es immerhin nützlich sein, sein zusammengesetztes Resultat für die äussere Psychophysik festgestellt zu haben.
Mag nach Allem der Massausdruck logan oder log an? sich als der triftigere erweisen, so lässt er sich doch nach den bisher vorliegenden allgemeinen Erfahrungen nur für das Gebiet der Töne, nicht der Farben in Anspruch nehmen. Denn für Farben besteht nach der schon Th. I. S. 475 gemachten Bemerkung das Weber'sche Gesetz nicht eben so wie für Tonhöhen, also schon die erste Bedingung der Form log an oder log an? trifft hier nicht zu; und es gibt eine Thatsache, wonach auch die zweite nicht zutrifft. Diese, wenn ich nicht irre, zuerst von Purkinje*) bemerkte, von Dove**) seinerseits selbstständig aufgefundene und genauer verfolgte, von Grailich***) gelegentlich constatirte, von Helm- holtz}) am schärfsten bestimmte und formulirte Tbatsache, zu- folge deren man in der Dämmerung das Blau länger als das Roth erkennt, wäs am Tage einen stärkeren Eindruck macht, wird von Letzterem in folgendem Satze oder Gesetze ausgesprochen. »Zwei farbige Lichtmengen, welche bei einer gewissen absoluten Licht- intensität. gleich hell erscheinen, thun es im Allgemeinen nicht mehr, wenn die Lichtmengen beider verdoppelt oder halbirt wer- den. Und zwar wird im ersten Falle die minder brechbare der beiden Farben, im letzten die brechbarere die hellere werden. « »Die erwähnte von Dove aufgefundene Erscheinung liess sich — sagt Helmholtz — bei meinen Versuchen an den homogenen Farben sehr gut beobachten. Ich liess zwei farbige Lichimengen durch die Spalten des Schir- mes in solcher Menge dringen, dass sie gleich-dunkle Schatten warfen, und brachte zwischen den Heliostaten und den ersten Spalt eine einfache oder mehrfache Lage eines dünnen weissen Gewebes, welches einen Theil des Sonnenlichtes zurückhält, ohne das Verhältniss seiner verschiedenartigen Bestandtheile zu verändern. Es erschien dann der Schatten der minder brechbaren Farbe dunkler als der der brechbareren. Uebrigens waren die Unterschiede sehr gering, so lange ich beide Farben aus der minder brech- baren Hälfte des Spectrum, Roth bis Grünblau, nahm, viel auffallender zwi- schen denen der brechbareren Hälfte, und am stärksten, wenn man Violet mit einer der minder brechbaren Farbe verband. « Man darf diese Thatsache nicht, wie es wohl geschehen ist, mit der Thatsache gleichgeltend halten, dass eine grössere Schwin- gungszahl eine kleinere Amplitude für die Wahrnehmbarkeit com- **) Berichte der Berl. Akad. 4852, 69 oder Pogg. LXXXV. 397. *%*) Sitzungsber. der Wien. Akad. 4854. XIII. 251.
+) Pogg. XCIV. 49.
P%r Bauen u Do si ae A Du u. p*; pensiren kann; denn während letztere, bei Tönen hinreichend eonstatirte, Thatsache in die Form log an oder log an? hineintritt und dadurch gefodert wird, widerspricht die im Helmholtz'- schen Satze enthaltene Thatsache, die bis jetzt blos bei Farben, nicht bei Tönen constatirt ist, dieser Form, wie jeder Form, welche eine gleiche Wahrnehmbarkeit an eine gleiche lebendige Kraft oder an die Gleichheit eines Productes wie an? oder a?n knüpft. Denn wenn bei zwei Tönen oder Farben a?n? = a’?n’?, mithin an=a’n' ist, so wird auch 2an = 2a’n’ bleiben müssen; und also weder die logarithmische noch irgend welche Function von a®n? oder an als Massausdruck für die Intensität der Empfindung sich mit dem Helmholtz’schen Satze vertragen. Entsprechend bei Functionen von an? oder an. Wenn also Blau bei Dämmerung das Roth überwiegt, so müsste es nach solcher Form des Mass- ausdruckes auch noch bei grösster Tageshelligkeit dasselbe über- wiegen; wogegen die Dove’schen Erfahrungen und der Helm- holtz’sche Satz das Gegentheil besagen.
Untersucht man, ob etwa die Form logalogn geeigneter wäre, den Helm- holtz’schen Satz als Folgerung herzugeben, so zeigt sich, dass man vielmehr noch schlechter damit fahren würde; indem, wenn man bei zwei an Grösse gleichen Intensitäten loga logn und loga’logn’ die Amplitude a und a’ in demselben Verhältnisse vergrössert, nicht nur keine Gleichheit der Intensi- täten bleiben kann, sondern dem Helmholtz’schen Gesetze gerade entge- gen die Farbe mit der grösseren Schwingungszahl in Uebergewicht kom- men muss, > In der That gehen die Intensitäten loga logn und loga’logn’ durch Multiplication der Werthe a und a’ mit demselben Werthe m über in logmalogn und log ma’ log n’ = (logm + loga)logn und (log m + log a’) log n wonach der Werth loga logn um logmlogn, der Werth loga’ logn um log m log n’, mithin der Werth mit der grösseren Schwingungszahl um mehr als der andere vermehrt erscheint.
Also kann man die unstreitig stattfindende Gemeinsamkeit der Thatsache für Farben und Töne, dass kleinere Schwingungs- zahlen eine grössere Amplitude fodern, um wahrnehmbar zu sein, doch nicht mit einer Gemeinsamkeit des Helmholtz’schen Ge- setzes für beide verwechseln, welche keineswegs damit gesetzt ist*), und ich halte es für nicht unwahrscheinlich, dass das *) Hierauf macht auch schon Grailich in den Sitzungsber. d. Wien. Akad. XIIl. 1854. S. 253 aufmerksam.
Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 12 Helmholtz’sche Gesetz bei Farben mit so vielen anderen Ab- weichungen, welche die Verhältnisse der Farben von denen der Töne darbieten und welche ich im 33. Kapitel besonders zusam- menstellen werde, zusammenhängt, und also nur für Farben, nicht für Töne gilt, in welcher Beziehung freilich directe Versuche, in Verbindung mit dem oben S. 174 vorgeschlagenen, noch sehr wünschenswerth wären.
Nicht zu übersehen ist übrigens, dass das im Helmholtz’- schen Satze enthaltene Erfahrungsresultat nur an getrennten Far- ben sich bestätigt, und dass es sich anders verhält, wenn die Farben zum weissen Lichte gemischt sind, als welches weiss bleibt, wenn man die Stärke aller seiner Componenten in demselben Verhältnisse schwächt, so wie auch, dass das Resultat selbst bei getrennten Farben nicht sehr deutlich wird, so lange beide Farben aus der minder brechbaren Hälfte des Spectrum genommen wer- den, was beweist, dass hier kein für alle Werthe von n gleich gül- tiges Verhältniss vorliegt. Wahrscheinlich hängt die Anomalie, die sich hier für brechbarere Farben, d. i. hohe Werthe von n, zeigt, mit der anderen Anomalie zusammen, welche Helmholtz be- merkt hat, dass die brechbareren Farben vorzugsweise vor den minder brechbaren bei veränderter Stärke zugleich die Nuance ändern *); indess nicht bekannt ist, dass höhere Töne vorzugs- weise vor tieferen einer Abhängigkeit der Schwingungszahl von der Amplitude unterliegen. Schliesslich bleibt der Gegenstand noch aufzuklären.
Hienach bleiben zwei sehr wichtige Fragen übrig.
Erstens. Es hat sich theils als gewiss, theils als wahrschein- lich gezeigt, dass die Farbenempfindungen nicht in gleicher Weise von den Schwingungszahlen abhängen, als die Tonempfin- dungen, denn sonst müsste sich für sie gleicherweise das We- ber'sche Gesetz bestätigen. Was kann der Grund des Unterschie— des sein, nachdem sie doch factisch überhaupt davon abhängen? Auf diese Frage gehe ich näher im 33. Kapitel ein, worin sich, wenn nichts schlechthin Gewisses, doch manches von vorwiegen— der Wahrscheinlichkeit über diesen Gegenstand wird sagen lassen.
Zweitens. Nach den früheren Untersuchungen über Stärke und Höhe der Töne (Th. I. Kap. 9) hängt der Eindruck beider *) Pogg. XCIV. 48.
vr Di a Are re ee. ur 5 PER nach gleichem Gesetze, der der Stärke von der Amplitude, der der Höhe von der Zahl der Schwingungen ab, und hienach schiene es, dass alle Verhältnisse sich für die Empfindung der Stärke und Höhe gleichstellen müssten. Aber so ist es doch nicht. Die Skala der Höhen trägt einen natürlichen Massstab für das Gefühl in sich, welchen die Skala der Stärken nicht in sich trägt, und ausser dem Eindrucke der Progression bei dem Aufsteigen in der Skala der Höhen haben wir auch den Eindruck einer Periodicität, den wir beim Aufsteigen in der Skala der Stärke nicht haben. Denn bei jedem Fortschritte um eine Octave in der ersten Skala sagt uns das Gefühl zugleich,. dass wir um ein Gleiches fortgeschritten und in gewissem Sinne zum früheren Eindrucke zurückgekehrt sind, wo- von beim Fortschritte in der Skala der Stärken nichts Analoges stattfindet.
Mit dem Gefühle für die Octave hängt natürlicherweise das Gefühl für die Untereintheilungen der Octave zusammen. Die Skala der Stärken ist eine für das Gefühl schlechthin unendliche, wovon es keine endlichen Verhältnisstheile überhaupt gibt, wogegen das auf der Skala der Höhen abgegränzte endliche Intervall der Octave auch endliche Verhältnisstheile zulässt. Den- ken wir uns beide Skalen als Säulen, die ins Unendliche verlaufen. Aber auf der Säule der Höhen sind die Fusse abgetheilt und hie- nach schätzen wir dann leicht die Zolle. Auf der Säule.der Stär- ken ist nichts abgetheilt, und so haben wir auch keinen Anhalt, Unterabtheilungen durch Schätzung zu bestimmen.
Woher dieser Unterschied zwischen der Empfindungsskala der Stärken und Höhen der Töne bei gleicher mathematischer Re- präsentation? womit man gleich die, in die vorige Frage mit hin- eintretende, Frage verbinden kann, woher der Unterschied, den die Töne in dieser Hinsicht von den Farben, die doch eben so wie sie an der Schwingungszahl hängen, darbieten? Denn die Farben bieten doch nichts dem musikalischen Eindrucke des Octaveninter- valles und seiner Unterabtheilungen Analoges dar. Zwar scheint das Farbenspeetrum durch Violet am brechbaren Ende eine Rück- kehr zum Roth am mindest brechbaren Ende anzudeuten, worüber man Näheres im 33. Kapitel nachlesen mag; aber ein Massgefühl der Zwischenintervalle zwischen Roth und Violet ist damit nicht im Geringsten gegeben; die Farben machen ihren charakteristi- schen Eindruck überhaupt unabhängig von ihrer Beziehung zu 7 einander, und die Contrastempfindungen, die in ihrer Beziehung begründet liegen, haben nichts gemein mit den Empfindungen der musikalischen Intervalle der Quinte, Quarte u. s. f.
Zeigt sich nicht, kann man fragen, hier eine Unzulänglichkeit der Theorie? - Meines Erachtens nicht eine Unzulänglichkeit insofern, als ob die bisherige Theorie irrig wäre, wohl aber eine Unvollstän- digkeit, sofern sie noch einer Ergänzung bedarf. Ehe ich nun diese zu geben versuche, will ich aber die sinnreiche graphische Construction und Exposition mittheilen, wodurch Drobisch schon vorlängst den Gang des progressiven Aufsteigens zugleich mit der periodischen Wiederkehr der Toneindrücke beim Durchschreiten der Tonskala versinnlicht hat, eine Darstellung, die man gewiss nicht ohne Interesse hier wiederfinden wird *). 2 »Denkt man sich das Intervall 4 der Octave mit dem Grundtone als den Umfang eines Kreises, dessen Halbmesser also X = 0,15915 sein muss, so werden alle übrigen Intervalle Bogen ar dieses Kreises, deren zugehörige Mittelpunetswinkel sich leicht bestimmen lassen. Denn offenbar ist, wenn der dem Intervalle x entsprechende Winkel = w, Hiernach ergeben sich für die dreizehn Hauptintervalle folgende Werthe von ww, denen wir unter w’ die Werthe beifügen, die den durch Zwölftel der Octave ausgedrückten Intervallen der Tasten- instrumente entsprechen.
*) Diese Construction ist zuerst in der Abhandlung von Drobisch: »Ueber die mathematische Bestimmung der musikalischen Intervalle« in den Abhandlungen der Jablonowski’schen Gesellschaft. 4846. S. 413, und spä- ter, nur formell etwas anders, in seiner Abhandlung: »Ueber musikalische Tonbestimmung und Temperatur« in den Abhandl. d. sächs. Soc. d. Wiss., math.-phys. Cl. Bd. II. 1855. S. 35 gegeben worden. Die obige Darstellung ist wörtlich, nur mit Beiseitelassung der, leicht zu reconstruirenden, „Figu- ren und ihrer Erklärung, der letzten Quelle entnommen. — Auf eine schon frühere ähnliche Construction von Opelt, welche mir nicht im Originale be- kannt ist, weist Drobisch zum Schlusse obiger Anführung hin, indess er selbst nach der Anmerkung $. 1S1 seine Vorstellung vielmehr an Ne wton’s Farbenkreis angeknüpft hat.
w w' »Diese Werthe von w und w’ mit ihren zugehörigen Bogen, stellen die Figuren 1 und 2 (des Originales) dar. Man kann in ihnen den Halbmesser nach seinen verschiedenen Lagen als das der Lage des Tones gegen den Grundton entsprechende Bild ansehen...Im Uebrigen rechtfertigt sich hier die Benennung der Sexten und Septimen als umgekehrter Terzen und Secunden auch anschaulich. Denn lässt man den Halbmesser, nachdem er den ganzen Umfang des Kreises beschrieben, umkehren, so sind die Secunden und Terzen, die er dann von der Octave aus erzeugt, die Septimen und Sexten des Grundtones. Ebenso fällt die durch diese umge- kehrte Drehung beschriebene Quarte mit der Quinte des Grund- tones zusammen *).« »Diese Drehung des Halbmessers gibt jedoch von der Verän- derung, welche der Ton erleidet, wenn er von dem Grundtone allmählich zur Octave übergeht, nur ein unvollständiges Bild; denn die Octave ist bei aller Verwandtschaft mit dem Grundtone doch ein von diesem unterscheidbarer Ton. Man sagt nun zwar, sie sei der Grundton in einer höheren Lage, ohne aber darüber eine deutliche Auskunft zu geben. Nahe genug liegt hier die Be- merkung, dass, da die Aenderung der Töne eine allmähliche ist, diese höhere Lage nicht plötzlich, erst mit der Octave, eintreten kann, sondern ein stetiger Uebergang zu ihr stattfinden muss. « *) Auf diese bildliche Darstellung hat uns eine Stelle in Newton's Op- tik (Lid. I. Pars II. Prop. VI) geleitet.
»Wir erhalten hierüber eine völlig genügende Aufklärung, wenn wir der Gleichung y=2*, die den Zusammenhang zwischen der relativen Schwingungszahl y eines Tones und seinem Intervalle x mit dem Grundtone darstellt, eine angemessene geometrische Auslegung geben. Wie nämlich die Werthe von x durch Bogen eines Kreises, so können die Werthe von y durch gerade Linien dargestellt werden, die in den Endpuncten jener Bogen senkrecht auf der Ebene des Kreises stehen. Offenbar liegen dann diese die Werthe von y darstellenden Geraden in der krummen Fläche eines Cylinders, der jenen Kreis zur Basis hat, ihre Endpuncte in einer sich um den Cylinder windenden logarithmischen Spirale. Da für@=0,y= 1, so ist der Abstand des dem Grundtone ent- sprechenden Punctes dieser Spirale von der Basis des Cylinders = 1; und da für 1,y=2, so ist der Abstand des der Octave entsprechenden Punctes doppelt so gross. Jeder zwischenliegende Ton, für welchen immer 1>x=>0 und 2>y>1, hat seinen entsprechenden Punct in der Spirale. Hiernach stellen also x und y die Coordinaten einer logarithmischen Spirale auf der Fläche eines geraden Cylinders dar, und kann y als die absolute Höhe des Tones, x als seine Abweichung von derRichtung des Grundtones bezeichnet werden. « »Setzt man y—1I=u, so drückt u die relative Höhe des durch die relative Schwingungszahl y gegebenen Tones in Bezug auf die Höhe seines Grundtones, oder kürzer die Erhebung des Tones über den Grundton aus; dann ist also Die Werthe von u werden dargestellt durch die Abstände der Puncte der Spirale von der Ebene des Kreises, die parallel zu der Ebene der Basis durch den Punct der Spirale gelegt wird, wel- cher dem Grundtone entspricht; oder x und y sind die Coordina- ten der Spirale, welche sich auf diesen der Basis parallelen Schnitt des Cylinders beziehen...« »Nach dieser (durch Fig. 3 und deren Exposition im Originale erläuterten) Darstellung ist nun das der stetigen Aufeinanderfolge der Töne entsprechende Bild nicht sowohl die logarithmische Spi- rale auf der Cylinderfläche, als vielmehr die Schraubenfläche, welche ein Halbmesser des Cylinders beschreibt, wenn er in der Axe des Gylinders sich erhebt und sich zugleich um dieselbe dreht, und zwischen Erhebung und Drehung die Relation v = 27 — 1, £ ee © oder was dasselbe, = = log, (1 +) stattfindet. Hebt man, wie in der musikalischen Tonfolge c, d, e, f, 9, a, Ah, e geschieht, nur eine bestimmte Anzahl von Tönen, mit Ueberspringung der zwi- schenliegenden, aus, so geben die ihnen entsprechenden Linien das Bild einer Wendeltreppe. Die Ausdrücke Tonleiter, Ton- stufen sind also, wenn man zugleich an die Windung der Lei- ter denkt, in der That sehr treffend gewählt...«