Wenn ich den Normalzirkel mit der Spannweite 10.d zuerst, den Fehlzirkel zuzweit applicirte, fiel vermöge dieses Einflusses der Zeitlage die Fehldistanz um + 0,0735 d zu gross aus, oder ward statt der Normaldistanz 10 die Fehldistanz 10,0735 gefun- den. Wenn der Normalzirkel zuzweit applicirt wurde, so fiel die Fehldistanz um eben so viel zu niedrig aus, oder ward statt 40 erhalten 9,9265, was mit dem vorigen Resultate solidarisch ist.
Wenn der Normalzirkel mit dem unteren Theile, der Fehlzir- kel mit dem oberen Theile der Hand (vgl. S. 150) gefasst wurde, so fiel die Fehldistanz um 0,1023 zu gross, im umgekehrten Falle zu niedrig aus.
Abgesehen von diesem Einflusse der Zeit- und Raumlage fiel die Fehldistanz aus dem S. 140 angegebenen Grunde um 0,2160 zu niedrig aus.
Diese drei Einflüsse combiniren sich additiv oder subtractiv, je nachdem sie in demselben Sinne oder in entgegengesetztem Sinne sind. Alle drei sind in demselben Sinne bei II. O, daher die dazu gehörigen Werthe ce durchschnittlich die grössten, wogegen bei I. U der grosse Fehler s durch die gemeinsame Entgegensetzung von p und q am meisten compensirt wird, daher hier die kleinsten Wer- the c.
Der obigen Berechnung der reinen Fehlersummen liegt die von mir gewöhnlich angewandte Fractionirung auf m = 10 unter. Um aber den Einfluss zu zeigen, den nach Th. I. $. 124 die mehr oder weniger weit getriebene Fractionirung auf’die Grösse der reinen Fehlersumme hat, ist die vorige Beobachtungsreihe ausserdem auch unter Anwendung von m =160, und endlich ganz unfractio- nirt für jeden Finger und jede Lage, d. i. aus m = 320, berechnet worden. Das für alle 4 Lagen zusammengezogene Resultat stellt sich mit dem vorhin erhaltenen wie folgt zusammen.
3 Summe D 8 M Man sieht hier ausnahmslos die Grösse von I./ mit der Grösse des angewandten m wachsen. Die von mir angewendete Correction wegen des endlichen m durch Multiplication der Werthe mit Zins hebt blos den schwächeren Theil dieses Wachsthumes, indem dasselbe nachweislich hauptsächlich auf der Variation der constanten Fehler im Laufe der langen Versuchsreihe beruht, welche beim Zusammenschlagen vie- ler zu verschiedenen Zeiten gewonnener Beobachtungen in eine Fraction die daraus abgeleitete Fehlersumme vergrössert, daher der Vorzug, den ich kleineren Fractionen aus Beobachtungen, die im Zusammenhange gewonnen sind, gebe; indem die Correction wegen des endlichen m nach Massgabe zulänglicher werden muss, als dieser der reinen Fehlersumme an sich fremdartige Zuwachs wegfällt. Dass wirklich eine Variation des constanten Fehlers im Laufe der Beobachtungsreihe stattgefunden, ergiebt sich aus der unten folgenden Anführung für die zwei nach der Zeit unterschie- denen Hauptfractionen der Beobachtungsreihe.
In Th. I. S. 213 habe ich gelegentlich bemerkt, dass, wenn man die mit der doppelten Fehlerzahl multiplieirte Summe der Fehlerquadrate 2(4°) mit dem Quadrate der Fehlersumme (FI)? dividirt, approximativ die Ludolfsche Zahl »r erhalten wird, welche approximative Zahl P heisse, so dass man hat wenn m die in die Summe eingehende Fehlerzahl (bei u = 1) ist. Unsere Reihe kann als Beispiel dienen. Ich gebe für Daumen unter Anwendung von m = 160, u = 1 (indem ich die 320 be- tragende Gesammtzahl der Beobachtungen für jede Lage in zwei Fractionen nach der Zeit theilte, und für jede besonders 34 und (4°) bestimmte) den Werth von 34 und 3(?) mit dem daraus nach obiger Formel berechneten ® in folgender Tabelle.
Das Mittel der 8 B-Werthe ist 3,198. Die entsprechend berechne- ten Mittelwerthe für alle 5 Finger waren: Binki Das Totalmittel aus diesen 5 Mittelwerthen, wozu also im Ganzen 40 Werthe ®, jeder aus 160 Beobachtungen bestimmt, beigetra- gen haben, ist | was vom Normalwerthe zz = 3,142 bis auf die letzte, durch Ab- rundungen unsichere, Decimale völlig übereinkommt. Hieraus lässt sich leicht das constante Verhältniss EV ableiten, wovon Th. I. S. 123 die Rede war.
Des Weiteren bemerke ich gelegentlich, dass man approxima- tiv die Grundzahl der natürlichen Logarithmen e erhält, wenn man die Totalsumme der Fehler 24 mit der Summe der Fehler, welche den quadratischen Mittelfehler e, = vv. an Grösse übersteigen, dividirt, und den Quotienten zum Quadrate erhebt. Das, hienach entsprechend wie oben das Totalmittel von PB aus 40 Partialwer- then (äm = 160) berechnete, Totalmittel fand sich 2,707 statt des Normalwerthes e = 2,728.
Obwohl ich nicht finde, dass diese merkwürdigen Verhältnisse schon ausdrücklich bemerkt worden wären, lassen sie sich doch mit manchen an- deren interessanten Verhältnissen leicht aus der mathematischen Fehler- theorie mittelst des für dıe Wahrscheinlichkeit derFehler geltenden bekann- ten Ausdruckes, in welchen und e eingehen, ableiten, was für den, in die- ser Theorie Bewanderten keiner besonderen Ausführung bedürfen wird; übrigens anderwärts von mir mit weiteren Versuchsbelegen dargelegt wer- den soll. Die angegebenen Verhältnisse m, e gelten streng für eine unend- liche Zahl unter vergleichbaren Umständen gewonnener Fehler und schwan- ken bei wiederholter Bestimmung aus einer endlichen Zahl, wie man sich aus obigem Beispiele mit 8 Bestimmungen von ® überzeugen kann, um das Normalverhältniss, eine Schwankung, die in um so weiteren Gränzen statt- hat, je kleiner m ist. Nur bei sehr kleinem Werthe m stellt sich im Mittel vieler Bestimmungen eine merkliche Abweichung vom Normalwerthe her- aus, welche mit der Kleinheit von m wächst, und bei etwas grossem m ver- schwindend klein ist. Diese Abweichung lässt sich nach der Correction der Fehlerquadratsumme und des Quadrates der Fehlersumme wegen des end- lichen m durch einen allgemeinen Ausdruck bestimmen; wonach ein aus einer endlichen Zahl m abgeleitetes B normalerweise statt = r Im Laufe der langen mehrmonatlichen Beobachtungsreihe nahm sowohl der variable als constante Fehler allmälig ab. Theilt man die ganze Reihe in zwei Hauptfractionen nach. der Zeit (jede zu 32 Beobachtungstagen), so erhält man in Summa für alle 4 Lagen: Im Ganzen also hatte sich die reine Fehlersumme von der 1. zur 2. Fraction von 760,46 auf 647,25 vermindert; welche Zahlen das Verhältniss 1,1475 haben.
Ferner fanden sich die Componenten des constanten Fehlers im Mittel für alle 5 Finger wie folgt: 4.Fract.| 2. Fract.
Der Zeitfehler p und Raumfehler gq hatten sich also von der ersten zur zweiten Fraction sehr beträchtlich, der Fehler s doch merklich vermindert. Eine solche Aenderung hatte nun aber nicht blos von der ersten zur zweiten Hauptfraction, sondern innerhalb jeder llauptfraetion stattgefunden, und bei Zusammenfassung der Beob- achtungen derselben zu m = 160 den variabeln Fehler vergrössert.
Bei den ungefähr 4 Stunde dauernden Beobachtungen jedes Tages wurden abwechselnd mit den Tagen die Finger in der Ord- nung D. 3.M. ©. 8. und in der umgekehrten Ordnung durchlau- fen, wovon Ersteres mit >, Letzteres mit & bezeichnet werde. Bei war die Aufmerksamkeit am frischesten beim Daumen, am meisten ermüdet beim kleinen Finger; bei war es umgekehrt. Es schien mir von Interesse, den hieraus hervorgehenden Einfluss zu untersuchen, welcher, wie man aus Folgendem sieht, nicht gross, doch sichtbar ist. Ich erhielt nämlich in Summa für alle 4 Lagen: Mit der wachsenden Uebung verkürzte sich allmälig, bis zu einer gewissen Gränze, die Beobachtungszeit, welche für die 400 Versuche jedes Tages erfoderlich war; indem man allmälig dahin kommt, die Entscheidung bei jedem Versuche schneller zu fällen, als anfangs. Dass diese grössere Schnelligkeit doch keine grössere Ungenauigkeit in der Schätzung mitführte, beweist sich daraus, dass vielmehr umgekehrt, im Fortschritte der Beobachtungsreihe, die Fehlersummen sich verkleinerten. Aber auch, wenn ich aus derselben Versuchsperiode die Fehlersummen der Tage mit der grössten und kleinsten Versuchsdauer vergleiche, finde ich keinen in Betracht kommenden Unterschied zwischen beiden. Manchen Tag kann man gar nicht fertig mit wiederholten Applicationen der Zirkel werden, ehe man sich entscheidet, anderemale ist man durchschnittlich viel schneller mit dem Urtheile fertig; aber die langsamsten Entscheidungen sind nicht immer die besten. Hier folgen noch einige Data über diese Verhältnisse.
Ich habe die Versuchsdauer nicht vom Anfange der Beobach- tungsreihe herein, welche vom 21. Nov. 1857 bis 6. April 1858 dauerte, und auch später nicht an allen Tagen, aber an 32 ver- schiedenen Tagen vom 3. Jan. an bestimmt; und im Mittel 63,6 Min. gefunden. Wenn ich aber die Beobachtungsreihe vom 3. Jan. bis zum Schlusse in 4 gleiche Abtheilungen von 24 Tagen theile, so wurden folgende mittlere Beobachtungszeiten darin gefunden: 4. Abtheil. 74,8 Min. (Mittel aus 4 Bestimmungen) wonach der Fortschritt der Verkürzung vom Anfange herein be- trächtlich war, später zum Stillstande kam.
Die Beobachtungszeit schwankte überhaupt von 53 bis 76 Mi- nuten. Ich stellte nun unter Ausschluss der früheren Periode, wo alle Beobachtungszeiten verhältnissmässig gross sind*), aus der letzten Zeit vom 17. Febr. bis 6. April, wo grössere und kleinere Zeiten unregelmässig wechseln, die Fehlersummen für die Tage mit den 5 kleinsten Versuchsdauern (53, 54, 55, 56, 58 Min.) und *) Diese Beobachtungen mit den späteren zu vergleichen würde nicht statthaft gewesen sein, weil die späteren wegen fortgeschrittener Uebung kleinere Zahlen geben.
ua aan tig u u nr mit den 5 grössten Versuchsdauern 64, 64, 65, 66, 68 Min.) zu- sammen; und erhielt aus ersteren in Summa für alle Finger und alle Lagen (mit m = 10, a=50) 34 = 1009,4, aus letzteren 995,6, was nur ganz unerheblich abweicht.
VI. Fechner (Oct. 4858 bis Jan. 1859).
Linker Zeigefinger, Vorderglied, Volarseite, 4 Längs- distanz = 40 d. Im Ganzen 1200 Versuche in 40 Versuchstagen, ä 30 Beobachtungen.
Diese Versuche theilen sich in drei, je 400 Beobachtungen enthaltende, Hauptabtheilungen nach der Applicationsweise der Zirkel.
«) Application der Zirkel auf meinen Finger durch einen Ge- hülfen. Beobachter und Gehülfe sitzen sich gegenüber, der Ge- hülfe stützt den Arm, welcher den Zirkel applicirt, festeren Haltes wegen, auf den Tisch.
ß) Selbstapplication der Zirkel mit der rechten Hand auf den linken Zeigefinger.
'y) Die Zirkel in verticaler Lage neben einander in eine Schraubenzwinge eingespannt, und der Finger von einem zum anderen bewegt. Beide Zirkeldistanzen sind nahe an einander, einander parallel, senkrecht gegen die Vorderfläche des Körpers AB wie folgt angebracht: b.
a..e wo a, b dieSpitzen des einen, c, d die des anderen Zirkels bedeu- ten, und zwar wurde (nach Tagen wechselnd) die Normaldistanz einmal rechts (R.), das anderemal links (L.) genommen, worauf sich hier die Raumlage bezieht, indess bei @) und #) die Raumlage (0. und U.) auf obere und untere Fassung des Zirkels geht. Jeden Tag 3 Versuchssätze ä 10 Beobachtungen hinter einander respectiv für «, $, y angestellt, « aus äusseren Gründen stets zuerst, indess ß, y mit der zweiten und dritten Stelle wechselten.
Die Lagen sind mit eingeklammerten Ziffern wie folgt be- zeichnet: biaund®? IU LIU 10 10 beiy anni ı kan IR p q s 5 Ss W Der Werth e, ist hier aus dem Werthe & durch Correction nicht nur wegen des endlichen m, sondern auch wegen der Grösse a s 3 der Intervalle durch Multiplication von & mit 5 ( — un abgeleitet, indess bei den früheren Reihen I bis VI die Correction wegen der Intervalle nicht angebracht ist.
Man sieht, dass die Applicationsweise der Zirkel «, d.i. durch einen Gehülfen, bei Weitem die grösste Fehlersumme 3/ und demgemäss die grössten Werthe e, geliefert hat; was davon ab- hängt, dass eine fremde Hand die Zirkel nicht so gleichförmig zu applieiren vermag, als man es selbst kann, und was beweist, wie viel zur Vergleichhaltung der Werthe auf Vergleichbarkeit der Ma- nipulation bei den Versuchen ankommt. & und y weichen nicht sehr von einander ab, doch ist y noch etwas vortheilhafter als ß. Der mittlere Fehler e, beträgt bei y nur 0,1178 d, d. i. 35 D.
Während der variable Fehler bei @) am grössten ist, sind die constanten Fehler c bei «) am kleinsten, und g, s so klein, dass namentlich s allenfalls auf Zufall geschoben werden könnte, da W bis über die Hälfte von s reicht. Die Doppelwerthe s,, 5, stimmen bei 8) sehr gut, bei «) und y) schlecht. Diess ist bei «) nicht be- fremdend, da s hier fast verschwindet. Nimmt man statt dessen die Doppelwerthe der grössten Componente, welche hier p ist, so findet man p = — 0,0995 und p, = — 0,1150, was ganz leidlich stimmt. " Theilt man die ganze Reihe in zwei Fractionen nach der Zeit, so findet man in Summa für die 4 Lagen: a ß 7 Man kann bemerken, dass die Werthe sowohl von I4 als c für den Zeigefinger in Reihe II und Reihe V, obgleich in derselben Weise, nur zu anderer Zeit und in anderem Zusammenhange als die Werthe in dieser Reihe nach f) gewonnen, doch sehr davon abweichen, was ein Beispiel ist, dass man Versuche, unter glei- chen Umständen zu verschiedenen Zeiten angestellt, wo Uebung und andere Umstände die Empfindlichkeit abgeändert haben kön- nen, und ein anderes Spiel von Zufälligkeiten stattfinden kann, nicht vergleichbar halten darf.
An sich kann es einiges Interesse haben, wenn ich hier das vollständige Verzeichniss der, in den einzelnen Versuchsfractionen A m = 40 erhaltenen c-Werthe in Reihe « beifüge, insofern man daraus ersieht, wie selbst unter Umständen, welche den constanten Feh- ler möglichst verkleinern, doch der Charakter der Constanz sich im Vorzeichen noch geltend macht. Zur Unterlage für die folgenden Berechnungen füge ich aber auch noch das Verzeichniss für die beiden anderen Reihen bei.
Werthe von cin Reihe « für die einzelnen Fractio- nenäm=40. 4 Ca Ca Ca Entsprechende Werthe von c in Reihe ß.
% Mittel —0,178 WE G% Ca C Entsprechende Werthe von cin Reihe y.
% Mittel — 0,330 %s Ca Ca Von der Reihe « mag auch das Verzeichniss der Fehlersum- men in den einzelnen Fraetionen ä m = 10 gegeben werden.
IU.
Totalsumme 49,48 uU.
II 0.
Berechnen wir nun den wahrscheinlichen Fehler w des con- stanten Fehlers sowohl aus I als aus I(9?) mittelst der S. 349 und S. 352 gegebenen Formeln, indem wir &# = 10 setzen, und u A [NE - u ge; di ” os Dh für 34 die in der Tabelle gegebenen Werthe zu Grunde legen; (9°) aber aus den Werthen der vorigen Tabellen bestimmen *), so finden wir **): Werthe w.
Hier sieht man, dass bei @) beide Bestimmungsweisen nahe stim- men; indess bei # und y die Bestimmungsweise nach (9?) mehr als doppelt so grosse Werthe liefert, als nach 3/7, was ein be- trächtliches Schwanken des constanten Fehlers beweist. Die Wer- the W in Tabelle S. 364 sind nach 37 berechnet.
Gelegentlich kann man sich überzeugen, dass die Berechnung nach 3.3 mittelst der Formel S. 352 kein erheblich abweichendes Resultat von der Berechnung nach £(9?) liefert. Um die Reihe # mit den stärksten Wertben c als Beispiel zu nehmen, so hat man Eine entsprechende Uebereinstimmung findet man auch sonst immer, wonach man, da Abweichungen dieser Ordnung für den Zweck dieser Bestimmungen nicht erheblich sind, nicht nöthig hätte, zu der umständlicheren Bestimmung von I(9?) zurückzuge- hen, sondern sich begnügen kann, auf 8.$ zurückzugehen***), wenn schon principiell die Bestimmung nach I(9*) ein wenig sicherer ist. Die Tabelle der Fractionswerthe von S4 auf S. 366 giebt Ge- *) Man hat beispielsweise für Reihe « die 4 Werthe I(9°) = 0,050619; **) Die Berechnung nach 24 kommt kurz darauf zurück, den Logarith- mus 0,94423— 4 zum Logarithmus von I4 zu addiren, die Berechnung nach 2(9°) darauf, den Logarithmus 0,85186—2 zum halben Logarithmus von 2(9°) zu addiren, und beidesfalls die Zahl dazu zu nehmen.
*#%) Hiezu hat ınan bei unserer Reihe den Logarithmus 0,44128—2 zum Logarithmus von 28 zu addiren und die Zahl zu nehmen.
legenheit, die Regel zur Berechnung des wahrscheinlichen Feh- lers von IF (vgl. S. 352 f.) zu bewähren. Von den 40 Fractions- werthen dieser Tabelle zeigen wirklich 20 eine geringere, 20 eine grössere Abweichung von ihren (für die 4 Lagen geltenden) vier Mitteln, als dem wahrscheinlichen Fehler entspricht, wenn er nach der angegebenen Regel berechnet wird. Für I. U ist nämlich 1,918 die mittlere Summe, das giebt, mit 0,164 multiplicirt, 0,309 als wahrscheinlichen Fehler. Nimmt man die Abweichungen der 10 Einzelsummen von 1,918, so findet man 7 kleiner, 3 grösser als 0,309; bei II. U entsprechend bestimmt sind 6 Abweichungen im Mittel kleiner, 4 grösser, als der wahrscheinliche Fehler, der hier 0,267 ist; bei I. O sind 3 kleiner, 7 grösser, bei Il. O 4 kleiner, 6 grösser, als der wahrscheinliche Fehler; im Ganzen also 20 klei- ‚ner, 20 grösser. Bei den einzelnen Abtheilungen darf man wegen zu geringer Zahl der Fälle die Gleichheit zwischen der Zahl der kleineren und grösseren Werthe nicht erwarten.
1. Zusatz. Herleitung der Correction wegen des endlichen m.
Die Aufgabe ist folgende: eine Reihe Fehler /, deren Total- zahl m, ist vom arithmetischen Mittel A der Beobachtungsgrössen an (bei den Tast- und Augenmassversuchen von der mittleren Fehldistanz an) gerechnet, d. h. als Differenzen der einzelnen beobachteten Grössen von A bestimmt worden, und hat die Feh- lersumme 34 gegeben, worin alle Fehler, positive und negative, nach absolutem Werthe (wie positive) verrechnet sind. Aber die, aus m Beobachtungen abgeleitete, Mittelgrösse A ist nicht die wahre Mittelgrösse V, welche aus einer unendlichen Zahl Beobach- tungen hervorgehen würde, und mithin die von der Mittelgrösse an gerechneten Fehler nicht die wahren Fehler. Die Summe der wah- ren Fehler S4 soll durch eine Correction aus der Summe der fal- schen 34 abgeleitet werden. Der Correctionsfactor, der sich hie- bei für 24 ergiebt, ist dann eben so auf den falschen Mittelfehler e= = anwendbar.
Nehmen wir zuerst an, die Grösse V—A, um welche die wahre Mittelgrösse V von der gefundenen Aabweicht, sei bekannt. Sie heisse «, und man suche hienach die Beziehung zwischen SS und 34.
& kann positiv oder negativ sein. Diesseitige falsche Fehler nun sollen solche heissen, welche mit « gleiches Vorzeichen haben, jenseitige solche, welche ungleiches Vorzeichen damit haben. Dann hat man, um SZ in SS zu verwandeln *): 4) Alle diesseitigen falschen Fehler, welche absolut grösser sind, als «, deren Zahl s und deren Summe © sei, um den ab- soluten Werth von « zu verkleinern; giebt S—s«.
2) Alle jenseitigen falschen Fehler, deren Zahl n und deren Summe ® sei, um den absoluten Werth @ zu vergrössern; giebt N+na..
3) Für alle diesseitigen falschen Fehler, welche zwischen o und « liegen, deren Zahl z und deren Summe } sei, die Differenz derselben von @ nach absolutem Werthe zu substituiren; giebt Also hat man: Indem aber SR +3 = 3I/undsn+s=m geht dieser Ausdruck über in wobei @ nach absolutem Werthe zu nehmen ist.
Die verlangte Correction wird gefunden sein, wenn wir für a, s und 3 bestimmte Werthe zu substituiren vermögen. Diess aber kann insofern geschehen, als wir die normale Fehlerverthei- lung voraussetzen, welche in der That bestimmte Werthe dafür finden lässt **).
Was nun « anlangt, so können wir nach derselben Betrach- tungsweise, die auch zur Correction der Fehlerquadratsumme 3.4? wegen des endlichen m geführt hat***), setzen mym Denn die Mittelgrösse der Beobachtung wird im Mittel durch 4 *) Nöthigenfalls kann man sich die folgenden Regeln 4) 2) 3) und die daraus gefolgerte Gleichung zwischen 34 und S/, auf die Alles ankommt, an einem willkührlich fabricirten Beispiele erläutern und bewähren, indem man eine Reihe Fehler willkührlich ansetzt, nur mit Rücksicht die Summe der positiven der Summe der negativen gleich zu nehmen, und eben so den Werth « willkührlich nimmt, da diese Regeln für jede Art Fehlervertheilung gelten.
**) Hiefür kann natürlich das willkührliche Beispiel nicht mehr dienen. #*#*) Vergl. Encke im astronom. Jahrb. für 1834. S, 282 f.
Fechner, Elemente der Psychophysik. II. 24 2 Beobachtung um = falsch bestimmt, folglich durch m-Beobachtungen nach bekannter Wahrscheinlichkeitsregel um S4_ falsch.
mrm Was s und 3 anlangt, so kann s als die Zahl der oberhalb « auf einer Seite liegenden, d. i. positiven oder negativen, Fehler durch ma wa) oo gegeben angesehen werden, wenn (-) die durch die bekannte In- & tegraltabelle bestimmbare Wahrscheinlichkeit der Fehler bedeu- tet, die nach beiden Seiten (als positive und negative) ober- halb des absoluten Werthes « liegen. Von anderer Seite ist “ wenn [-] den wie unten zu berechnenden Bruchtheil von der Too talsumme der Fehler S/ bedeutet, welcher zwischen o und dem absoluten Werthe @ beiderseits liegt. Substituiren wir diese Ausdrücke für @, s und 3, so erhal- ten wir ‚S DMM_n za 5 si. zur: mithin, unter Substitution von a oo Oym+l) Nun gilt es noch, (-) und [-] in Zahlen zu bestimmen. Diess kann für jeden Werth von m genau geschehen, Ersteres nach der. Integraltabelle*) für die Wahrscheinlichkeit oder relative Zahl der Fehler zwischen den Grössengränzen o und @; Letzteres nach dem Ausdrucke für die verhältnissmässige Fehlersumme zwischen den Grössengränzen der Fehler o und «, welcher giebt: in wenn e die Grundzahl ac natürlichen Logarithmen, re die Lu- dolf’sche Zahl *). Hienach lässt sich eine Tabelle berechnen, worin der Cor- rectionsfactor scharf für jeden Werth von m gegeben ist. Das ie einer solchen Tabelle folgt unten, wonach er bei m= 10 statt ai = 1,033333 streng genommen 1,0326699 wäre, welcher Unterschied doch, wie man sieht, zu vernachlässigen ist. Um aber einen für jedes m anwendbaren allgemeinen Correctionsfactor zu erhalten, hat man die Werthe ( ) und 8 nach ihrem allgemei- nen Ausdrucke in unendliche Reihen zu ASPENT und nur das erste Glied beizubehalten, was, wie sich unten zeigt, vollkommen genügt. Nun hat man, wenn kurz gesetzt wird = =u, und u u’ D Da aber hier « = ne sistu= Tr Berücksichtigt man blos das erste Glied beider Ausdrücke, so er- hält man hienach am—i wofür sich mit hinreichender Approximation setzen lässt *) Man hat nämlich zunächst für jeden beliebigen Werth von « BR 2 dd [= VE wo h das Mass der Präcision. Nach einer bekannten Gleichung aber ist h=-———= A; wenn & der einfache Mittelfehler, Substituirt man Yan SIVr € diesen Werth für h, und setzt u=—= u so findet man durch Inte- v m mV m gration obige Gleichung.. 24 .
fm wovon Letzteres sich, wie man aus folgender Tabelle sieht, noch etwas mehr als Ersteres an die ganz scharfe Correction an- schliesst.
Hier folgt schliesslich eine kleine Tabelle, welche den Cor- rectionsfactor|S4 für einige Werthe von m sowohl nach der ganz scharfen Berechnung mit Rückgang auf die beigefügten Werthe von (-) und [-], als nach den verschiedenen Approximationen giebt, o o woraus man ersieht, dass, selbst wenn man bis zu kleinsten Wer- then m herabgeht, die Correction r sich ganz unerheblich von der ganz scharfen unterscheidet, auf die, oder auch nur auf er zurückzugehen, sonach ganz überflüssig sein würde. Zu- gleich ist der Correctionsfactor für den quadratischen mittleren Fehler &, = V 4 nach der schon bekannten Correctionsweise beigefügt, woraus man sieht, 'dass dieser Factor überall grösser als für 27 und mithin für e = = ist.
Correctionsfactor für>4unde.
a a Die Werthe von (-) und [-], welche zur Berechnung der scharo o fen Correction gedient haben, sind, der erstere durch Interpolation der Tabelle, welche Encke im astronom. Jahrb. 1834 giebt, mit « Zuziehung der zweiten Differenzen, [-] aber direct nach der S. 374 o gegebenen Formel berechnet worden.
Be 2. Zusatz. Herleitung der Correction wegen der Grösse der Intervalle, In mathematischem Sinne hat jeder Beobachtungsfehler von ganz bestimmter Grösse nur eine unendlich geringe Wahrschein- lichkeit, und würde nur unendlich selten wiederkehren können. Aber bei den wirklichen Beobachtungen kann man nicht Fehler bis ins Kleinste unterscheiden, sondern nur bis zu einer gewissen Gränze damit herabgehen, und so bleibt man nach Umständen bei Zehntheilen, Hunderttheilen, Tausendtheilen von Linien, Graden u. dgl. in der Aufzeichnung stehen. Was dazwischen fällt, wird auf die nächstliegenden Gränzen der unterschiedenen Intervalle verlegt. Insofern man nun hiedurch den Fehler durchschnittlich eben so oft zu gross als zu klein notirt, scheint es, dass sich diess bei einer grossen Zahl Versuchen compensiren müsste. Auch ist diess nahe aber nicht genau der Fall; vielmehr bringt der Um- stand, dass die Zahl der Fehler gegebener Grösse verhältniss- mässig rascher als ihre Grösse abnimmt, mit sich, dass hiedurch die Fehlersumme grösser ausfällt, als wenn man jeden Fehler nach seinem richtigen Werthe verzeichnete, und zwar in um so stärke- rem Verhältnisse grösser, je grösser die Intervalle, die man bei der Aufzeichnung noch unterscheidet, im Verhältnisse zum mitt- leren Fehler sind. Denn gesetzt, man schreitet bei der Aufzeich- nung durch die Intervalle 0,00; 0,10; 0,20; 0,30 etc. fort, so wird jeder Fehler z. B. über 0,145 und unter 2,5 zu 0,20 geschla- gen werden; mithin die ersten Fehler zu gross, die letzten zu klein genommen werden; die Zahl der Fehler im Intervalle von 0,15 bis 0,20 ist aber um so viel grösser, als die der Fehler im Intervalle von 0,20 bis 0,25, dass die Vergrösserung der Fehlersumme, wel- che aus ersterem Umstande erwächst, nicht durch die Verkleine- rung, welche aus letzterem Umstande erwächst, compensirt wird.
So viel ich weiss, ist bis jetzt nicht untersucht worden, wie viel der hievon abhängige Irrthum beträgt und welche Gesetze er befolgt.
Ich finde nun die oben S. 349 angegebene Correction in fol- gender Weise.
Setzen wir erst, es werde wirklich jeder Fehler mit seinem wahren Werthe notirt so oft, als er vorkommt, so erhalten wir durch Summirung dieser Fehler, deren Zahl m sei, die wahre Fehlersumme SS; und durch Mittelziehung daraus den wahren Mit- telfehler, welcher &, heisse. Sei hingegen i das Intervall der Ein- theilung, wozwischen keine Fehler angenommen werden, und bei- spielsweise = 0,25 e, oder 4 e,, so werden alle Fehler auf die Gränzen der Intervalle von dieser Grösse verlegt und eine falsche Summe 34 erhalten, deren Verhältniss zur wahren SS es zu be- stimmen gilt.
Nach der bekannten Tabelle des Wahrscheinlichkeitsintegrals (unter Zuziehung einer Interpolation) ist im Intervalle der Fehler- grössen von 0 bis 4 e, normalerweise 0,1581058 der totalen Feh- lerzahl enthalten*). Indem diese Fehler halb zu 4 e,, halb zu 0 geschlagen werden, wird als falsche Summe für dieses Intervall erhalten das, mit 0,1581058 m multiplieirte, Mittel zwischen 0 und 0,25 e,. Für das Intervall von 0,25 e, bis 0,50 e, beträgt die Normalzahl der Fehler nach der Tabelle des Integrales 0,1519585 m. Also giebt das hiemit multiplieirte Mittel zwischen 0,25 e, und 0,50 &,, d.i. &. 0,1519585 m e, die falsche Summe für dieses In- tervall, u. s. f. durch die ganze Skala der Fehlergrössen. Die Ge- sammtheit dieser Summen giebt 1,003321 m e, statt der wahren Summe m &, = S4J.
Die Summirung ist hiebei allerdings nur bis zu 2 = 7,00 e, fortgesetzt; allein die vernachlässigten höheren Fehler haben we- gen ihres verschwindend seltenen Vorkommens nur noch Einfluss auf höhere Decimalen, als hier berücksichtigt sind.
Für ein Intervall @ = &, wurde entsprechend verfahren und dadurch der Werth erhalten.
Diese Bestimmungen sind mittelst Interpolation einer bis hd”) = 3 gehenden Tabelle des Wahrscheinlichkeitsintegrales der Fehler unter Mitzuziehung der zweiten Differenzen und eigene Berechnung für höhere Werthe nach Verwandlung des Integrales *) Diess findet sich mit Rücksicht, dass das in das Integral eingehende iD) — ist, wenn zz die Ludolf’sche Zahl. ,V/n Mass der Präcision h gleich 4 Vn “e) hm Br g> A Zn.
in eine unendliche Reihe *) unter sorgfältiger Revision der erhal- tenen Werthe, gefunden. Ohne Interpolation erhielt ich direct für folgende Intervallverhältnisse « = Z folgendes Verhältniss der falschen zu der wah- ren Summe, wobei Vze = 1,7724539 Man sieht nun aus diesen wie aus den vorigen Bestimmungen, dass der Werth, um welchen 2 den Werth 1 übersteigt, und welcher « heisse, merklich im Verhältnisse des Quadrates von £ steht. Doch wächst der Werth etwas stärker, denn während gleich 0,109193, statt dass er nach dem quadratischen Verhält- nisse 0,1067072 sein sollte. Entsprechendes zeigt sich bei den Zwischenwerthen. Indessen ist die Abweichung vom quadrati- 4 *) Ich erhielt folgende Werthe für die mit (-) zu bezeichnende Wahr- o scheinlichkeit der Fehler von 0 bis 4 bei folgenden Werthen von h4, wenn h das Mass der Präcision = Fra ist, welche ich zu erleichterer Controle Mi: der obigen Ableitung hersetze: 4 nm m ww ww wc ww ww schen Fortschritte so gering, dass sie füglich vernachlässigt wer- den kann. Heisse nun y kurz der Werth u für — — =1, so ist nach dem quadratischen Verhältnisse Und, sofern s der Ei a der wahre Mittelfehler ist, auch Diess führt zu der pediche GULERDR, woraus “ _: E KezuE Da 4 yi? immer klein gegen s*, wei; y ein kleiner Bruch, so können wir vermöge Auflösung nach dem binomischen Lehreniae und Bei- behaltung der ersten beiden Glieder setzen was giebt Indem aber ms, = SA, me= 4, folgt hieran auch durch Multiplication auf beiden Seiten mit m Da man mit Benhasleungsrefstn, wo — => 4 ist, seltener zu thun haben wird, für - — < I aber wein ktein weniges kleiner ist, als dem Werthe y = o, 053643 nach dem quadratischen Fort- schritte entspricht, so habe ich für 0,053643 blos 0,053 als y in der Correctionsformel S. 349 angenommen.
Innere Psychophysik.
XXXVI. Uebergang von der äusseren zur inneren Psychophysik.
Unsere bisherigen Untersuchungen, Resultate, Formeln be- wegten sich wesentlich im Gebiete der äusseren Psychophysik und nur beiläufig und gelegentlich griffen wir damit auf das der inneren Psychophysik vor und über. Es ist aber, wie ich früher geltend gemacht, die äussere Psychophysik nur die Unterlage und Vorbereitung für die tiefer führende innere Psychophysik.
Rufen wir uns zurück: nicht der Reiz erweckt unmittelbar Empfindung, sondern zwischen ihn und die Empfindung schiebt sich noch eine innere körperliche Thätigkeit, wir nannten sie kurz die psychophysische, ein, die vom Reize erweckt wird, und die nun erst unmittelbar Empfindung mitführt oder nachzieht, je [ nach einer verschiedenen Ansicht, über die wir uns im folgenden Kapitel entscheiden; und die gesetzliche Beziehung zwischen dem äusseren und inneren Endgliede dieser Kette, Reiz und Empfin- dung, übersetzt sich nothwendig in eine solche zwischen dem Reize und diesem Mittelgliede einerseits und zwischen diesem Mit- telgliede und der Empfindung anderseits.