Eben so, wenn sich fragt, welche Summe von Empfindung man während einer gewissen Zeit gehabt hat, so wird man die Summe der Empfindungen zu nehmen haben, die man während aller einzelnen Theile dieser Zeit gehabt hat, und diese Summe wird nicht nach unserer Massformel als Function der Summe der Reize zu berechnen sein, welche während dieser ganzen Zeit ein- gewirkt haben, sondern man wird für jeden Zeitpunct oder Mo- ment, d.i. so kleinen Zeittheil, dass die Empfindung darin als constant angesehen werden kann, die Stärke der Empfindung nach der gegenwärtigen Einwirkung und von früher fortbeste- henden Nachwirkung des Reizes zu berechnen und hievon die Summe für alle einzelnen Momente zu nehmen haben.
Der Unterschied, je nachdem der Zuwachs eines Reizes die Reizung gegebener Puncte (Elemente) vermehrt oder auf neue Puncte fällt, läuft nach Vorstehendem darauf hinaus, dass ersten- falls der Zuwachs des Reizes dem Reize unter dem Logarithmus- zeichen zuzufügen ist, zweitenfalls der Logarithmus des Zuwach- ses dem Logarithmus des Reizes zuzufügen ist, um das Resultat des Zuwachses für die Empfindung zu haben.
Dabei kann allerdings die Frage erhoben werden, ob, wenn 60 viele Puncte zusammen gereizt werden, die Empfindung, die jeder giebt, wirklich noch in derselben Weise als Function des Reizes bestimmt wird, als wenn ein einzelner für sich gereizt wird. Aber gesetzt, die Verbindung vieler Puncte sei von Einfluss auf die N Weise, wie jeder einzelne seine Empfindung giebt, so würde daj durch das Axiom nicht aufgehoben, dass die Summe der Empfin- dung, welche alle Puncte gewähren, durch Addition dessen, was die einzelnen gewähren, zu finden sei; es könnte nur die Frage entstehen, ob nicht bei einer Verbindung vieler gereizten Puncte jeder einzelne eine geringere oder grössere Empfindung giebt, als bei Verbindung weniger eben so stark gereizter. Es würde dieser Umstand, wenn er stattfände, auf die allgemeinen Additionsre- geln der Empfindung doch keinen Einfluss haben, sondern blos die Grösse der additionellen Elemente ändern. Denn da unsere Formeln überhaupt nicht auf Erfahrungen an einzelnen Puncten, sondern aufVerbindungen von solchen fussen, so kann nicht voraus- gesetzt werden, dass die Form unserer Formeln durch die Verbin- dung der Puncte abgeändert werde, sondern nur, dass die Gon- stanten derselben möglicherweise dadurch abgeändert werden; und es bleibt allerdings noch eine Sache künftiger Untersuchung, wiefern diess der Fall sei, und welchen Einfluss die Gonstanten dadurch erfahren. Die Constante b könnte nach der Grösse einer gereizten Fläche variabel sein, dann würde diese Variabilität bei der Summation zu berücksichtigen sein, im Uebrigen aber die Re- geln der Summation dieselben bleiben. Ich komme künftig darauf zurück; abstrahire aber jetzt von dieser Möglichkeit.
z Empfindungssummen, die sich nach Extension und Intensität der in ihnen enthaltenen Empfindungen unterscheiden, sind, ungeachtet dieses eigenthümlichen Unterschiedes, nichts desto weniger einer quantitativen Vergleichung fähig. In der That, sei anfänglich nur ein Element von gegebener Extension mit gegebe- ner Intensität der Reizung gegeben, so wird eine gegebene Ge- sammtgrösse der Empfindung davon abhängen; diese können wir nun eben so extensiv in gegebenem Verhältnisse vervielfältigen dadurch, dass wir die Zahl so gereizter Elemente vermehren, als intensiv dadurch, dass wir ohne Vermehrung der Zahl der Ele- mente die Intensität der Reizung verstärken, und können das nach einer und der anderen Richtung in gegebenem Verhältnisse ver- vielfältigte ursprünglich Gleiche quantitativ vergleichen, wenn u” 61 schon die Vervielfältigung beidesfalls in anderem Sinne gesche- hen ist.
So können wir einen Würfel, der auf der Erde liegt, in ho- rizontalem Sinne und in verticalem Sinne verlängern, und Grös- sengleichungen zwischen beiden so entstandenen Säulen finden, ungeachtet sie in ganz verschiedenen Richtungen liegen, so dass sie sich nach diesen verschiedenen Richtungen gar nicht super- poniren lassen.
Eine sehr wichtige Rücksicht, die man bei den Summationen zu nehmen hat, ist folgende: Je nachdem ein Punct durch Zuwachs des Reizes zum gege- benen Reize über die Schwelle steigt, oder durch Entziehung von Reiz darunter sinkt, wird die Empfindung positiv, bewusst, oder negativ, unbewusst, und haben wir stets einfach ein positives oder negatives Empfindungsresultat. Aber wenn zu einer Mehr- heit von discret empfindenden Puncten über der Schwelle, die mithin eine positive Empfindungssumme geben, eine andere Mehr- heit solcher Puncte unter der Schwelle tritt, die mithin eine ne- gative Empfindungssumme geben, so wird die positive Empfin- dung von jenen nicht dadurch vermindert, sondern besteht neben der negativen fort; die negative zieht sich nicht von der positiven ab, und wird nicht compensirt durch die positive, und wir haben zwar beides, positive und negative Empfindung, in Abwägung und Gegenrechnung gegen einander zu bringen, aber nicht alge- braisch zu addiren oder in Abzug von einander zu bringen, um den Empfindungszustand im Ganzen richtig darzustellen.
Hierin liegt kein Bruch der mathematischen Consequenz; vielmehr kann man sich das vorige Verhältniss ganz gut am ganz analogen Falle einer Curve erläutern, deren mathematische Reprä- sentation Entsprechendes zeigt. Ineiner Ellipse füllen die auf Seiten der positiven Abseissen errichteten positiven Ordinaten einen nach mathematischer Repräsentation positiven Raum, die unterhalb er- richteten eben so einen negativen Raum, oder genauer, die Mass- zahlen, durch die man beide Räume misst, erhalten mathematisch ein entgegengesetztes Vorzeichen. Addirt man beide Räumealgebraischh, so erhält man eine Summe gleich Null. Aber diese algebraische Addition bedeutet nichts. Man muss vielmehr den positiven und negativen Raum besonders auflassen, weil sie durch Ordinaten bestimmt sind, die verschiedenen Puncten zugehören. "Eben so u muss man die positiven und negativen Empfindungssummen, welche von Empfindungen herrühren, die verschiedenen Puncten zugehören, besonders auffassen. Hiegegen hat es einen Sinn, aus den positiven Theilräumen der Ellipse für sich, sowie den negati- ven Theilräumen für sich Summen zu bilden. Und so hat es auch einen Sinn, die Empfindungen für Puncete mit positiven und für solche mit negativen Werthen für sich zu summiren. Kurz, man kann die algebraische Summe positiver und negativer Empfindung, welche die verschiedenen Theile eines ge- reizten Organes liefern, nicht als Massstab für die Gesammt- summe bewusster Empfindung, die es liefert, und das Vorzeichen dieser algebraischen Summe nicht als massgebend für den Be- wusstseinszustand betrachten, der durch dieses Organ erzeugt wird; sondern man muss anders, als wenn man sich die Summe der Reize auf denselben Punct gehäuft denkt, die positiven be- wussten Werthe und negativen unbewussten Werthe, welche den einzelnen Puncten zugehören, besonders summiren. Sonst würde man das absurde Resultat erhalten, dass gar nichts em- pfunden worden sei mit einem Organe, was mit einem Theile sehr stark empfunden hat, indess es mit einem anderen Theile entspre- chend tief unter der Schwelle war. Ganz das Entsprechende gilt für Summation der Empfindun- gen, die während einer gewissen Zeit stattgefunden haben. Die Summe bewusster Empfindung, die während eines Theiles der Zeit stattgefunden hat, ist für sich zu bestimmen, und nicht die Summe unbewusster Empfindung, die während eines anderen Theiles stattgefunden hat, in Abzug davon, sondern nur in Gegen- k rechnung und Vergleich dazu zu bringen. > Die Betrachtungen, die wir hier angestellt haben, sind nicht nur für die Klarheit und den Gebrauch der Summenformeln in } der äusseren Psychophysik von allgemeiner Wichtigkeit, sondern werden sich auch als sehr wichtig betreffs trifiger Auflassung der Verhältnisse der inneren Psychophysik zeigen und Anwendung beim Versuche, die Empfindungen elementar zu con- struiren, finden. Ich erinnere vorgreiflich an Folgendes: Schlaf und Wachen hängen unstreitig an einer grösseren Oseillation der 62 lebendigen Kraft unserer psychophysischen Bewegungen. Wir können die Bewusstseinssumme während 24 Stunden nicht da- durch Bestimmen, dass wir die negativen Bewusstseinswerthe Be Be während des Schlafes von den positiven während des Wachens in Abzug bringen, oder die algebraische Summe beider nehmen; sondern jede Zeit, die bewusst gewesen ist, bleibt bewusst, und wenn noch so viel Unbewusstsein einer anderen Zeit gegenzurech- nen wäre. Mehr als wahrscheinlich hängt auch jede Empfindung insbesondere an irgendwelchen nur sehr kleinen Oscillationen psychophysischer Thätigkeit. Falls die Thatsache der Schwelle in das Elementare reicht, können diese Oseillationen nur während eines Theiles der Zeit über der Schwelle sein*); da ihre Geschwin- digkeit periodisch bis auf Null herabkommt. Ohne Rücksicht auf die vorigen Betrachtungen könnte man nun auf den Gedanken kommen, das Resultat des Bewusstseins werde durch die alge- braische Summe der positiven Empfindungsbeiträge über der Schwelle und negativen unter der Schwelle gegeben, wo es wahr- scheinlich sehr schwach oder Null sein würde. Allein diess ist nicht statthaft; sondern blos die positiven Beiträge kommen für das Bewusstsein in Betracht, und die negativen fallen für das Be- wusstsein einfach aus; die bewussten Werthe schliessen sich aber, weil wir kein Bewusstsein der Zwischenzeit haben, an einander, in ähnlicher Weise, als auch der blinde Fleck im Auge keine Un- terbrechung der Continuität der räumlichen Gesichtsempfindung bewirkt.
Hienach gebe ich folgende Summenformeln der Empfindung für eine Mehrzahl gereizter Puncte, welche gemeinsam für Raum- summen und Zeitsummen unter der Voraussetzung gelten, dass der Empfindungsbeitrag jedes einzelnen Punctes seiner Grüsse nach durch unsere Massformel bestimmt wird.
Seien die zu summirenden Empfindungen y', y”, y”...wel- che respectiv den auf verschiedene Puncte wirkenden Reizen £’, 8", #"...zugehören. Sofern die Puncte, auf welche diese Reize wirken, verschiedene Empfindlichkeit haben können, setzen wir ihnen die Schwellenwerthe b’, b”, b"'...zugehörig. Bezeichnen wir nun y'+y"+ 7"...kurz mit 3y, so haben wir -kl re *) Diess gilt wenigstens allgemein für geradlinige Schwingungen, über- haupt aber für Schwingungen jeder Art, wenn es sich darin vielmehr um Geschwindigkeiten zweiter als erster Ordnung handeln sollte.
PP vr Du 7 DE wi u ” 64 Hienach vergleicht sich die Empfindungssumme 3y, welche durch Reizung einer Mehrheit verschiedener Puncte entsteht, mit der Empfindung y = k log S, welche durch Reizung eines einzi- gen eben solchen Punctes entsteht, indem wir setzen e_EEE"n.
De a d. i. beide sind gleich, wenn der fundamentale Reizwerth des ei- nen Punctes gleich ist dem Producte der fundamentalen Reizwer- the der verschiedenen Puncte.
Eine bemerkenswerthe Folgerung dieser Formel ist, dass, wenn verschiedene Puncte mit verschiedener Empfindlichkeit ver- schieden gereizt sind, die Empfindungssumme sich nicht ändert, wenn man die Reize auf den Puncten mit verschiedener Empfind- lichkeit beliebig vertauscht, oder die Empfindlichkeit für die ver- schiedenen Reize vertauscht.
Sei = das geometrische Mittel der fundamentalen Reizwerthe der verschiedenen Puncte, und ihre Anzahl n, so ist Ben B\n SE Te (7) und die Summenformel lässt sich auch so schreiben B\n = nklogEwonach die Empfindungssumme für n beliebig gereizte und be- liebig empfindliche Puncte so gross ist, als wenn alle nPuncte mit dem geometrischen Mittel der fundamentalen Reizwerthe der verschiedenen Puncte gereizt wären.
Allgemein kann man bei einer Mehrheit verschieden gereizter Puncte nach der mittleren oder Durchschnittsempfindung dersel- ben als derjenigen fragen, welche, wenn sie allen Puncten zugleich zukäme, dieselbe Summe gäbe, als man in Summa durch die ver- schiedene Reizung derselben erhält. Diese mittlere Empfindung erhält man bei n gereizten Puncte, wenn man den obigen Sum- menausdruck 2y mit n dividirt, wodurch man findet BP} 3 Hienach entspricht das arithmetische Mittel gegebener Empfindung dem geometrischen Mittel der zugehörigen Fundamentalreize im Sinne der Massformel.
65 Bisher haben wir eine endliche Zahl von Puncten vorausge- setzt, gilt es aber eine Summirung für ausgedehnte Zeiten oder empfindende Flächen, so werden wir allgemein, wenn der Reiz mit variabler Intensität einwirkt, jedes kleinste Zeit- oder Raumelement mit der daselbst wirkenden Stärke des Reizes # behaftet zu den- ken haben, und die Summe der Empfindung durch infinitesimale Summation der partiellen Empfindungen, welche diesen partiellen Reizeinwirkungen zukommen, zu gewinnen haben*); was sich, wenn wir Zeit und räumliche Ausdehnung zugleich berücksichti- gen, durch die Formel ausdrückt "2y =fh log # dtds worin dt das Zeitelement, ds das Raumelement ausdrückt. £ ist als Function von £ und s darzustellen. Sollte b variabel sein, so kann die Aenderung von b auf 8 übertragen werden. Die Integra- tion dieser Formel hat in den Gränzen zu geschehen, für die man die Empfindungssumme sucht. s und! sind auf ihre Einheiten zu beziehen, und als Einheit der Empfindungssumme diejenige zu betrachten, welche für die Einheit von s und Z! und eine willkühr- liche Einheit von gilt.
Der einfachste Fall, der hier in Betracht kommt, ist der, wo ein Reiz gleichlörmig unter Forterhaltung gleicher Empfind- lichkeit durch eine gegebene Zeit oder in einer gegebenen Ausdeh- nung einwirkt. Dann hat man einfach als Empfindungssumme für die Zeit { oder Ausdehnung s ktlog f_ oder ks log 4 b b und bei Berücksichtigung von s und £ zusammen kst log £ wobei t und s von Null an gerechnet sind.
Der nächst einfache Fall möge als Rechnungsbeispiel hier Platz finden, wenn schon ich für jetzt keine besondere Anwendung davon zu machen wüsste. Es ist der, wo ein Reiz (die Reizwir- kung) proportional mit der Zeit oder räumlichen Erstreckung von einem gewissen Puncte an wächst. Wie wird sich die Zeit- oder *) Unstreitig allerdings nur mit einer ähnlichen Rücksicht, als mit der die infinitesimale Summation der Anziehungen der Theile eines Körpers im atomistischen Systeme stattfinden kann.
Fechner, Elemente der Psychophysik. 11. 5 m 66 Raumsumme der Empfindung, die er dann während einer gege benen Zeit- oder Raumstrecke gewährt, verhalten?
Die zeitliche oder räumliche Ausdehnung, von dem Puncte an, wo der Reiz Null ist, heisse x, und der Reiz in der Entfernung a vom Ausgangspuncte sei px, wo p eine Constante. Dann haben wir, um die Empfindungssumme &/ in dem Intervall von © = A bis = B zu bestimmen, unter Setzung vnk=A4,b= 14: oder, wenn wir mit a die Grundzahl der angewandten Logarith- men, hiemit die Grösse des Reizes bezeichnen, für welchen die Empfindung eines Punctes = 1 gesetzt wird (vergl. S.48f.) B A 2y= Blog #- = Alog ## Und dividiren wir diesen Ausdruck mit B—A, so erhalten wir die mittlere Empfindung im Intervall B— A.
Nun ist bei gleichförmiger Vertheilung eines Reizes von der Intensität 8' die Empfindungssumme im Intervalle B— A 2y=(B— A) log". Um also die Reizintensität #' zu finden, welche bei gleichförmiger Vertheilung in diesem Intervalle dieselbe Empfindungssumme lie- fert, als die Intensität px, haben wir beide vorigen Werthe 2y gleich zu setzen, was für den gesuchten Werth ß! giebt BlogpB — AlogpA log At = ER ZIER _ 4.
Bei Anwendung dieser Formeln ist in Rücksicht zu ziehen, dass, wenn wir die Empfindungssumme von dem Puncte an neh- men wollten, wo der Reiz Null ist, also A Null setzen wollten, indess wir den Werth von B, bis zu dem wir den Reiz wachsend denken, oberhalb der Schwelle annähmen, wir negative und po- sitive, bewusste und unbewusste Werthe der Empfindung, in der Summe vereinigt erhalten würden, was keinen Aufschluss über die Summe der bewussten Werthe insbesondere geben würde. Daher haben wir die Empfindungssumme in zwei Theile zu thei- len, eine unbewusste von A=0bis B=1, sofern der Schwel- lenwerth = 1 gesetzt ist, und eine bewusste von A = 4 bis zu einem beliebigen Werthe von B, innerhalb deren wir auch belie- bige Intervalle herausheben können, indem wir A > 4 setzen.
67 Da die Einheit der Ausdehnung willkührlich ist, so können wir diejenige = J setzen, durch welche der Reiz vom Nullwerthe bis zum Schwellenwerthe 4 gelangt, womit p = 1 wird, und die Werthe B und A zugleich die Gränzen der Ausdehnungen und die zugehörigen Reizgrössen, zwischen welchen man die Summen nimmt, bezeichnen. Nehmen wir die Empfindungssumme von der Schwelle 4 an, so haben wir p4 = 14. Vereinigen wir beide Vor- aussetzungen, so wird auch A= 1, und erhalten wir die Formeln 2y=B(legB—1) +1 B 2y=B(legB—1) +1 B = Die erste giebt unter Anwendung natürlicher Fundamentaleinhei- ten, wo die Empfindungseinheit beim Cardinalpuncte liegt, für B= eden Werth &y = 1, d. h. wenn der Reiz vom Schwellen- werthe bis zum Cardinalwerthe gleichförmig ansteigt, wozu er eine e-mal so grosse Zeit oder Strecke braucht, als um vom Null- puncte bis zum Schwellenpuncte zu steigen; so wird dadurch eine Empfindungssumme erzeugt, welche derjenigen gleich ist, die man erhalten würde, wenn die (als 4 gesetzte) Empfindungsintensität des Cardinalpunctes während der (als I gesetzten) Zeit oder Strecke gleichförmig fortbestünde, die derReiz braucht, um vom Null- puncte gleichförmig bis zur Schwelle anzusteigen. Die zweite Formel giebt als Reiz, der bei gleichförmigem Bestande durch dieselbe Zeit oder Strecke dasselbe leisten würde, als der vom Schwellen- zum Cardinalpuncte gleichförmig ansteigende Reiz 1 E= en Grössere Allgemeinheit und allgemeinere Anwendbarkeit hat die Lösung folgender Aufgabe. DerReiz wachse nicht von Null an, sondern von einem gewissen Werthe R an der Strecke proportio- nal, so dass er, wenn der Anfangspunct der Strecke da, wo das proportionale Wachsthum beginnt, genommen wird, zu Ende der Strecke x den Werth R+pz hat. Die Summe der Empfindung werde dann innerhalb dieser Strecke gesucht. Da jeder variable Reiz von einem gegebenen Ausgapgspuncte innerhalb einer hinreichend kleinen Strecke als derselben proportional sich öändernd angesehen werden kann 5* Tu a 68 (vergl. Kap. 15), so gewinnt eben hiemit diese Aufgabe grosse All- gemeinheit.
Die Empfindungssumme ist in diesem Falle allgemein, zwi- schen © = A und x = B genommen: oder, 2 man sie vom Anfange Er proportionalen Wachsthu- mes, wo A = 0 nimmt, blos e log (R+pB) — 1) — X log R # Ungeachtet‘ in den Formeln dieses Kapitels der Rückgangaufdas Elementare nicht vorausgesetzt ist, den wir im 46. Kapitel S. 29 ff. vorgreiflich in Betracht genommen haben (da es sich hier nicht handelte, das Zustandekommen der Empfindung in den einzelnen Puncten oder Elementen selbst psychophysisch zu berechnen, wozu jeneFormeln brauchbar sein können), so würden doch diese Formeln auch Anwendung zu finden haben, wenn ein solcher Rückgang überhaupt statthaft sein sollte; und wir würden dann nur nöthig haben, für 8 in vorigen Formeln v in seiner Bedeutung als Geschwindigkeit erster oder zweiter Ordnung zu substituiren. Auf eine Summation dieser Art wird in einem späteren Kapitel eingegangen.
XXI. Vertheilungsverhältnisse der Empfindung.
Dasselbe Quantum Lichtes kann sich auf wenige Puncte der Netzhaut concentriren oder über eine grössere Fläche derselben vertheilen, kann sich gleichförmig oder ungleichförmig vertheilen, und es lassen sich aus unseren bisher entwickelten Formeln man- che nicht uninteressante Resultate über die hiebei obwaltenden Verhältnisse ziehen, welche einer Verallgemeinerung auch auf an- dere Gebiete fähig sind; übrigens theilweise nur unter anderen Formen auf Resultate zurückführen, zu denen uns schon die Be- trachtung der Werthe 7 im 19. Kapitel geführt hat. r In soweit es sich um die Gesichtsempfindung handelt, werden dabei die Voraussetzungen gemacht, 4) dass die grössere oder ge- ringere Anzahl der vom Lichte getroffenen Netzhautpuncte und mithin auch Grösse einer erleuchteten Fläche derselben keinen Einfluss auf die Intensität der Empfindung, welche uns jeder ein- P FW" nn 69 zelne Punct erweckt, äussere; 2) dass die Netzhautpuncte, auf welche die Verbreitung statt hat, gleiche Empfindlichkeit besitzen.
Beide Annahmen sind zweifellos nicht streng richtig, oder nicht in Strenge zu verwirklichen, können aber in vielen Fällen als approximativ richtig gelten, und sind jedenfalls als die ein- fachsten Annahmen zuerst zu behandeln.
Was die erste Annahme anlangt, so kann man zum Beweise, dass die Grösse einer Fläche auf ihre Sichtbarkeit Einfluss hat, anführen, dass kleine Lichtflächen in einer Entfernung für das Auge verschwinden, wo grössere von gleicher photometrischer Intensität noch gesehen werden; doch ist noch nicht hinreichend entschieden, wie weit die für kleine, dem Auge eben entschwin- dende, Lichtflächen mehr in Betracht kommende Zerstreuung des Lichtes durch Irradiation Schuld an dem Unterschiede sei, wor- über eingehendere Erörterungen im 44. Kapitel des vorigen Thei- les zu finden sind. Man kann ferner darauf hinweisen, dass nach E. H. Weber’s Erfahrungen warmes Wasser bei Eintauchen der ganzen Hand wärmer als bei Eintauchen eines Fingers erscheint; was anzudeuten scheint, dass die Intensität der Empfindung durch Vermehrung der Zahl der empfindenden Puncte wächst. Inzwi- schen kann man bemerken, dass der Temperaturunterschied zwi- schen der in warmes Wasser eingetauchten Fläche und dem übri- gen Körper durch die ausgleichende Blutströmung vermindert werden muss, mehr und schneller aber bei einer kleinen als bei einer grossen eingetauchten Fläche, wie ein Glas warmes Wasser unter denselben äusseren abkühlenden Einflüssen leichter erkaltet als ein Fass; und es ist die Frage, wie viel etwa hieran hängen kann, bis jetzt wenigstens noch nicht discutirt und erledigt. Wie es sich aber auch hiemit bezüglich der Wärmeempfindung der Haut verhalte, so ist gewiss, dass diese Erfahrung auf das Gesicht keine Anwendung leidet, da im Gegentheile Weiss durch Nachbar- schaft von Weiss (nach Contrastgesetzen) eher an Helligkeit ver- liert als gewinnt. Inzwischen wird auch diess keineswegs unter allen Umständen bemerklich, und im Allgemeinen wird man keinen irgendwie entschiedenen Unterschied der Helligkeit zwi- schen grösseren und kleineren Stücken weissen Papieres zu ent- decken vermögen, sei es, dass man sie neben oder nach einander mit dem Centraltheile der Netzhaut auflasse. Eine bestimmtere Angabe hierüber liegt von Steinheil nach Messung mit seinem Ze Prismenphotometer vor, welche besonderes Zutrauen verdient, da £ es diesem genauen Beobachter daran gelegen war, sich zu verge- wissern, welche Umstände von Einfluss auf die photometrische Schätzung sind*). Hienach »hat die Grösse und Lage der Licht- flächen gegen einander keinen entschiedenen Einfluss auf das Ur- theil über gleiche Intensität«; eben so wenig die Entfernung, in der man sich die Lichtfläche denkt, und auf die man demgemäss das Auge accommodirt, eben so wenig ein Hin- und Herschwanken des Auges. Diess dürfte die Behauptung rechtfertigen, dass man die erste Annahme mindestens in vielen Fällen als approximativ richtig ansehen könne; wenn schon ich selbst sie nicht als streng richtig betrachte.
Was die zweite Voraussetzung anlangt, so kann sie insofern nicht als streng zu verwirklichend angesehen werden, als die Netz- hautpuncte in verschiedenem Abstande vom Centrum eine ver- schiedene Empfindlichkeit besitzen. Inzwischen für nicht zu grosse Ausdehnungen wird sie ebenfalls als approximativ zutreffend gel- ten können.
Uebrigens ist die Anwendung der folgenden Vertheilungsfor- meln auf die Netzhaut nur ein Beispiel einer viel allgemeineren Anwendbarkeit derselben, worauf ich weiterhin komme.
Sei nun der Reiz mit der Intensität ß erst auf einem Puncte (diesen im Sinne von $. 59 verstanden) oder allgemeiner auf einer gewissen als Einheit gesetzten Zahl Puncte gleichförmig verbreitet, so wird unter Anwendung der Fundamentaleinheiten die von der Reizintensität abhängige Empfindungsstärke log f sein, und indem diese über der ganzen als Einheit zusammengefassten Anzahl Puncte stattfindet, wird sie mit der Stärke zugleich die Summe oder das Quantum der Empfindung vor der Vertheilung ausdrücken.
Wenn sich nun der Reiz von der einfachen Zahl Puncte auf die nfache Zahl vertheilt, so kommt auf jeden einzelnen Punct statt ß blos noch £, und die Intensität der Empfindung wird für die- £ Da aber diese Intensität sich auf der nfachen « Zahl von Puncten wiederholt, so erhalten wir für das Gesammt- quantum @ der Empfindung den Ausdruck sen Punct log “ *) Elemente der Helligkeitsmessungen in den Abh. d. Münch. Akad.
il ci und als Verhältniss des vertheilten zu dem ursprünglichen Em- pfindungsquantum G _ nllog?— logn) A Diess Verhältniss weicht im Allgemeinen von der Einheit ab, wo- nach man sieht, dass durch die Vertheilung eines Reizes auf eine andere Zahl Puncte sich das Empfindungsquantum im Allgemeinen ändert.
Nun fragt sich, nimmt das Empfindungsquantum ab oder zu durch die Vertheilung? Die Antwort ist: je nach den Fällen.
Wenn wir einen stark concentrirten Reiz auf die doppelte Zahl Puncte vertheilen, verdoppelt sich merklich das Empfin- dungsquantum, und wächst überhaupt bei nicht zu starker Ver- theilung eines starken Reizes merklich im Verhältnisse der Ver- theilung; bei zu weit getriebener Vertheilung aber nimmt es wie- der ab, und immer lässt sich die Vertheilung so weit treiben, dass es unmerklich wird.
In der That, setzen wir # sehr gross, und n nicht zu gross, so können wir logn merklich gegen log # vernachlässigen; dann wird G das nfache von y. Lassen wir aber n immer mehr wach- sen, so wird endlich logn =logß, womit die Empfindung Null wird, und wächst n noch weiter, so sinkt @ gar ins Negative, das ist Unbewusste.
Den Fall einer Vergrösserung der Empfindungssumme durch die Vertheilung eines starken Reizes können wir uns an einem recht hellen Sterne erläutern. Wenn ein Stern photometrisch recht hell ist, macht es für die Empfindung wenig Unterschied, ob man sein Licht verdoppelt oder halbirt. Denn seine Empfindung log ß geht dadurch in log 2 8 oder log £ über; für Ersteres kann man schreiben log + log 2, für Letzteres log — log2; ist aber $ gross, so ist log 2 gegen log # zu vernachlässigen. Daher auch die grosse Schwierigkeit, starke photometrische Intensitäten genau photometrisch zu vergleichen, da der Vergleich doch nur mittelst der Empfindung geschehen kann. Denken wir uns nun einen so hellen Stern, dass er für die Empfindung in keinem erheblichen Verhältnisse sich verdunkelt, wenn man sein Licht halbirt, und das weggenommene Licht zur Herstellung eines anderen Sternes 12 verwendet; so werden wir jetzt zwei Sterne mit merklich gleicher Helligkeit als den ersten sehen, und also durch Vertheilung auf zwei Puncte die Summe empfundener Helligkeit merklich verdop- pelt sehen.
Dass durch zunehmende Vertheilung des Reizes die Empfin- dung endlich Null und darüber hinaus negativ werden muss, folgt natürlich daraus, dass der Reiz durch die wachsende Vertheilung endlich auf den Schwellenwerth und darüber hinaus unter den- selben kommen muss. Nach der Vertheilungsformel tritt der Null- werth der vertheilten Empfindung @ dann ein, wenn logn =logß. In der That entspricht diess dem Puncte, wo der ursprüngliche Reiz $ auf den Schwellenwerth 4 herabgekommen ist. Im Falle der Lichtempfindung lässt sich dieser Fall nicht an der absoluten Lichtempfindung nachweisen, weil das Augenschwarz immer über der Schwelle bleibt, und sich nicht vertheilen lässt, sondern nur an der Differenz der äusserlich erweckten Lichtempfindung von dem Augenschwarz; ausserdem aber findet man wirklich überall, dass ein Reiz nur hinreichend vertheilt zu werden braucht, um für die Empfindung unmerklich zu werden.
Wenn durch Vertheilung eines starken Reizes das Empfin- dungsquantum bis zu gewissen Gränzen zunimmt, darüber hinaus abnimmt, so muss es ein Vertheilungsverhältniss n geben, was wir N nennen wollen, wo es das grösstmögliche ist. Dieses Ver- theilungsverhältniss findet sich nach bekannter Regel durch Diffe- renzirung des Werthes @ bezüglich n und Nullsetzung des Diffe- renziales. So erhält man e wo e gleich der Grundzahl der natürlichen Logarithmen.
Diese Formel sagt uns zuvörderst, dass das günstigste Ver- theilungsverhältniss der Intensität des Reizes # proportional ist. Ist also eine gegebene Anzahl Puncte mit gegebener Intensität ge- reizt, so wird bei doppelter Intensität die Vertheilung auf die doppelte Zahl Puncte geschehen müssen, um das grösstmögliche Quantum Empfindung zu erzeugen.
Sie sagt uns zweitens, dass die Zahl, welche das günstigste Vertheilungsverhältniss ausdrückt, gefunden wird, wenn der Fun- damentalwerth, welchen der Reiz vor der Vertheilung hat*), mit *) Dab = 4 gesetzt ist, drückt 3 hier überall Fundamentalwerthe aus.
73 der Grundzahl der natürlichen Logarithmen e = 2,71828...di- vidirt oder mit 0,36288...multiplicirt wird. Mag der Reiz stark oder schwach sein, immer wird man hiedurch die vortheilhafteste Ver- theilung erhalten. Sie sagt uns drittens, dass, je nachdem das Ver- hältniss des Reizes zu seinem Schwellenwerthe grösser oder klei- ner als 2,71828...ist, der Reiz sich auf mehr Puncte ausbreiten oder auf weniger concentriren muss, um das vortheilhafteste Ver- theilungsverhältniss zu erzielen; denn erstenfalls fällt N grösser aus als 1, letztenfalls kleiner.
Zwischen beiden Fällen liegt der Fall, wo ß gerade = e, d.i., wo eben das günstigste Vertheilungsverhältniss schon besteht.
Nun liegt beim Werthe # = e der Cardinalwerth des Reizes und der Empfindung, wo das relative Maximum der Empfindung zum Reize stattfindet; und so finden wir hier das früher (Kap. 19) gefundene Resultat nur auf etwas anderem Wege wieder, dass der Reiz am vortheilhaftesten für Erzeugung der grösstmöglichen Em- pfindung wirkt, wenn er mit der Intensität des Cardinalwerthes wirkt. Hat er gerade diese Intensität, so ist er weder zu concen- triren, noch zu vertheilen, um das grösstmögliche Empfindungs- quantum zu geben.
Das grösstinögliche Quantum selbst, was bei dem Vertheilungswerthe N = £ stattfindet, erhalten wir, indem wir diesen Werth für n in den Ausdruck für @=nlog £ substituiren. So findet sich als Maximum von @ Bloge e unter Anwendung gemeiner Logarithmen, oder unter Anwendung natürlicher Logarithmen, welche Werthe des- halb von einander abweichen, weil sich unsere, zum Fundamen- talwerthe angenommene, Empfindungseinheit, und hiemit auch die Masszahl der Empfindung, nach dem logarithmischen Systeme ändert.
Auch sind vorstehende Ausdrücke, um ihnen einen bestimm- ten Werth unterzulegen, auf die zu Grunde gelegte Einheit des Empfindungsquantum zu beziehen, welche stattfindet, wenn für alle als Einheit zusammengefasste Puncte vor der Vertheilung die Fundamentaleinheit der Empfindung besteht.
Th Welches Verhältniss # nun auch der Reiz vor der Vertheilung y zu seinem Schwellenwerthe habe, so wird nach vortheilhaftester | Vertheilung das Gesammtquantum Empfindung das 0,15996 8-fache dieser Einheit sein, wenn man die Empfindungseinheit bei dem 40fachen der Reizschwelle setzte, hingegen das 0,36788 8 -fache, wenn man sie bei dem 2,71828...fachen der Reizschwelle setzte.
Indem vor der Vertheilung das Gesammtquantum der Em- pfindung den Ausdruck log ß hatte, haben wir in # loge der „oriose e log# log# e ’ den Ausdruck für das Verhältniss zwischen dem Quantum der Empfindung nach günstigster Vertheilung und vor der Vertheilung des Reizes, wo die Logarithmen in einem beliebigen Systeme ge- nommen werden können, ohne dass der Werth verschieden aus- fällt, da das Verhältniss der Logarithmen gegebener Zahlen in al- len logarithmischen Systemen dasselbe ist.
Die Formel giese für das Maximum des Empfindungsquantum, wozu wir oben gelangt sind, ist aus mehreren Gesichts- puncten von Interesse. Der Reiz ß tritt hier aus dem logarithmi- schen Verhältnisse heraus, und die Empfindung wird demselben einfach proportional, da loge und e Constanten sind. Hienach ist man prineipiell im Stande, das Gesammtquantum der Empfindung der dazu verwandten Reizgrösse wirklich ganz proportional steigen zu lassen, wenn man nur den Reiz fortgehends so vertheilt, dass immer das Maximum der Empfindung dadurch gewonnen wird. Wendet man natürliche Logarithmen an, womit lge=1 wird, so erhält das Empfindungsmaximum denselben Ausdruck £ als die Vertheilungszahl N, bei der dieses Maximum eintritt.
Je nachdem £ grösser oder kleiner als e, ist unter derselben Voraussetzung das Maximum das Empfindungsquantum, was sich mit gegebenem £ erreichen lässt, grösser oder kleiner als die Ein- heit des Empfindungsquantum, und für # = e dieser Einheit ge- rade gleich.