Que les Au relie tant les vrayes racines quelesfaulïès ne font tant fra- pas toufiours réelles; mais quelquefois feulement irnaginaifesj c’eft a dire qu’on peut bientoufiours en imaginer pcuucnc autant que iay dit en chafque Equation; mais qu'il n’y, a jC«rCQudr quelquefois aucune cpiantitd, qui correlponde a. celles imaginai- qu’on imagine, comme ënepre qu’on en puifle imagircs- ncr trois en ccllb cy.v * - <s * * -k 1 3.v ~ 1 o 30 0, jj.. D’yen a toutefois qu vne reelle, qui eft 2, & pour les deux autres, quoy.qu onJesaj^gmente.ou diminue, ou multi-+T.plie en la façon que ic viens d’e,\pliqucr, on ne fçaurok les rendreâücres qu'imaginaires. -j Larda- Or quand pour trouuer la conftruëlion de quelque Raaadfi's probîefme,on vient a vne Equation, eu laquelle la quancuDiqucs tite' inconnue a, trois, dimenfionsj, premièrement fi les prouicf- quantités connues, qui y font, çootienent quelques nombres rompus^ il les faut réduire a d’autres entiers, par la multiplication tantoft expliquée. Et s’ils encontiencntdefours il fapt aufTylesrcduire ad’autres rationaux, autant qu*il ferapoffible,taut par çete mcfme miOy jdJfi tiplication.
meeft plan Livre Troisisbme. tiplication* qué par diuers autres moyens, qui font a faciles a troüuer. Puis examinant par ordre toutes les quantités, qui peuuentdiuiferfimsfra&ion le dernier terme, il faut voir, fi quelqu'vne d’elles, iointc auec la quantitc'inconnuc' par le ligne -f- ou -, peutcompofer vn binôme, quidiuife toute lafomme } 8c fi cela elHe Problefme eft plan,. c’eft a dire il peut eftre conftruit ’ auec la reigle & de compas j Car oûbien la quantité connue de cebinofme eft la racine cherchée j oubien l’Equation eftantdiuifee par luy, fe reduift a deux dimenfions, en forte qu’on en peut trouuer apres la racine# par ce qui a elle' dit au premier liure.
Par exemple fi on a ^ ^ ledernier terme, qui eft 6/4, peut eftre diuife fans fratétionpar 1, 2, 4, 8, lé, 32, & 6^-t C’eft pourquoy il Faut examiner par ordre fi cete Equation ne peut poinj: eftre diuifée par quelqu’vndes binômes, y y — 1 ou y y -f* 1 tyy — 2 ou y y -f* 2 %yy - 4 &c.&on trouue qu’eL -le peut l’eftre parj, y — 1 6, en cete forte.
•+* y 4 T fyy ♦ le commencepar le dernier ternie, & diuile — 64. par Jca — xé, ce qui fait -f- 4, que i’eferis dans le quotient, puis vncEquaie multiplie -f- 4 par -f-^y,ce qui fait.-h WiCjeft pour- 2o- / quoyi'efcris— <£y yen lafomme, qu’il font diuifer.car il y mc sni -, • O • Bbb 3 faut racine.
LA GEOMETRIE faut toujours efcrire le ligne H- ou — tout contraire a celuy queproduift la multiplication. & joignant — 124^ auec — 4.yy, iay— 1 z 8 yy, queiediuife derechef par — 16, & iay -H 8^, pour mettre dans le quotient & en le multipliant par \yjay -- 8 y 4,pour joindre auec le terme qu’il faut diuifer, qui eftauflÿ — 8^4, & ces deux enfemble fout— \6y 4, que ie diuife par — 16, ce qui fait -f-i y* pour le quotient, & — xy <5pourioindreauec-+-i^f, cc- ( ' qui fait 0, &monftre que ladiuifion eft achcuefe. Mais s’il eftoit refte quelque quantité, oubien qu'on n’cuft pû diuifer fans fraction quelquVn des termes precedens, on euft par la reconnu, quelle ne pouuoit eftre faite.
':!> ' -J* < . 1 cc T * —mme* te dernier terme fe peut diuifer fans fra&ion par *• «a, 4- rr, a* H- tfrr,&femblables. Mais il n'y en a que deux qu’on ait befoin de confiderer, a fçauoir aa 8c m 4- U -, car les autres donnant plus ou moins de dimenfions dans le quotient, qu’il n*y en a en la quantité connue du penultiefme terme, empefeheroient que la diuifion ne s'y pûft faire. Et notés, que ie ne conte icy les dimenfions d'j' que pour trois, acaufe qu*il uy a point d\y%nyd'^’, nyd’^ en toute la fomme. Or en exami-* nant le binéme^y — aa—cc 30 o,on trouue que la diuifion ie peur faire par luy en cete forte.
w y* "t *» ~M 4 Ce * Livre Troisiesme. ■ 383 Ce qui monftre que la racine cherchée z&aaA-cc.
Ht lapreuue en eft ayféea faire parla multiplication.
Mais lorfquonne trouue aucun binôme, qui puiflc Qsel* ainfi diuilèr toute lafbinme de l’Equation propofc'e, il mes fo« èft certain que IeProblefme qui en dépend eft folide. Et ce n'eft'pas vne moindre faute après cela, de tafeher a le l’Equa-' conftruire fans y employer que des cercles & des lignes « droites, que ce feroit d'employer des féétions coniques f conftruire ceux aufqucls on n’a befoin que de cercles, car enfin tout ce qui tefmoigne quelque ignorance s appelé faute.
Que fi on a vne Equation dont la quantité inconnue u rcdir ait quatre dimenfions, il faut en mefrae façon, apres en ftîo» des auoiroftc'lcs nombres (buts, & rompus, s'ily en a, voir fi qui on pourra trouuer quelque binôme, qui diuife toute la ont^ua-Fomme,enlecompofantdervnedes quantités, qui di-*"^fions> uifent (ans fraétion le dernier terme. Et fi on en trouue,or^,ucef lc vn, oubien la quantité connue de ce bindme elt laracine me cft cherchée; on du moins apres cete diuîfiôn, il ne refte en l'Equation, que trois dimenfions, en fuite dequoy il ceux oui faut derechef l’examiner en la mefine forte. Mais Jorf- ^ oü" qu’il ne fe trouue point de rel binôme, *1 faut en augmentant, ou diminuant la valeur de laracine, oftérle fécond terme de la fomme, en la façon tantoft expliquée. Et après la réduire a vne autre, qui ne contiene que trois dimenfions. dequi fe fait eh «etc forte.
Au lieu de -h.v 4 *.pxx. qx. r Àj,".
•eu H- p en la precedente Equation, il faut mettre encellecy H- 2p, ou s’il y a eu - />, il faut mettre — 2 p. & au contraire s’ily a eu -f- r, il faut mettre — 4 r, ou s'il y a eu — r, il faut mettre -f- 4 r. & (oit qu’il y ait eu q, ou •■q, il faut toufiours mettre — qq,ôc -h pp. au moins fi onfuppofe que.v4, & y 6 font marqués du lignes -f-, car ce feroit tout le contraire fi on y fuppofoit b fi.
^ gne — Par exemple fi on a-f- x ♦* — 4**— x -H jy no* il faut eferire en fon lieuy 4 ~ 8y 4 — u+iy— $430*. car.la quantité" que iay, nommée p eftant — 4, il faut mettre -;8y4pour*^y4. & celle, que iay nommée r eftant jy, il fout mettre *î*0yy, c'eft a. dire - 114 yy, au lieu de * îîjjy* & enfin y eftant 8, il faut mettre —64, pour — qq., Car î4cft double de 17, & 313 en cft le quarré iQintau quadruple de 6, & 400 eft le quarrd de 10.
Tout de mefmeaufly au lieu de II faut eferire : 4< «« *• 1 te jOTgAZ r.
— Apres que l’Equation eft ainfi réduite a trois dimenfions, il faut chercher Ja valeur d yy par la méthode défia •explique^ Et fi celle ne peut eftre trouuée, on n’a point J befoin f Livre TkfcrsiESME. j&ÿ befoin de paflèr outre } car il fuit de là infàîliblemenr, que le problefme eft folide. Mais fi on la trouue, on peut diuifèr par Ton moyen U precedente Equation en •deux autres, en chafcime defquelles la quantité' inconnue n'aura que deux dirtienfions, & dont les racines feront les mefmes que les fienes. A fçauôir, au lieu de H-* x. p x X. g x • r 30ç, « il faut eferire ces deux autres ?
vin Et pour les lignes -h & — que iay omis., s’il y a ■+* p en l'Equation précédente, il faut mettre enchafçune mettre 4~;encellcoùilya—y*;&--^;, en celle où il y a -by-x* lorfqu ’il y a 4- q en la première. Et au con* traire s*ilya — y, il faut mettre — ^, en celle où il y a — y X; & -+-^,enceiIeoiHlya -byx. En faite deqüoy il eftayfë de connoiflrc toutes les racines de l’Equation •propose, & par confèquent de conftruire le problefme* dont elle contient la folution, fans y employer que des cercles, & des lignes droites.
Par exemple a caufc que fai fant * ûe Ccc A autres ïr 38 s La Géométrie.
tirant les racines de ces deux Equations,, on trouue toutes les mefmes i que fi on les tiroit de celle où eft x*, a fçauoiï dn en trouue vnevraye, qui eft V q -+- 2, & trois fauflès, qui font /7~2, iH- ^ 2, &2- ^2.
tait 7. Et poureequ on ne trouue aucune racine, ny vraye, nyfaufle,en ces deux dernieres Equations * on connoiftdelà que les quatre de l'Equation dont elfés procèdent font imaginaires; & quç le Froblefme, pour lequel on l’a trouuée,. eft plan de fa nature. mais qu'il ne fçauroit en aucune Façon eftreconftruit,acaufè que les quantité^ données ne peuuehtfe joindre.
oubicn J V aa -hcc — ^ ~£aa-{- £ cc -4- \aY aa-hcc. Et pourceque nous auions fait cy deflus %-h \ a x>x, nous apprêtions que la quantité*, pour la connoifTancc de laquelle nous auons fait toutes ces operations, ell Exemple de l'vuge de ces réductions.
Maisaffin qu’on puiffe mieux conqoiftre 1 vtilite de cete reigle il faut que ie l’applique a quelq; Problefœe.
Si le quarré A D, & la ligne B N eftant donnes, il faut prolonger le colle’ A C iulques à E, en forte qa E F, tirée d’E vers B, foit efgale a NB. On apprent de Pappus, qu’ayant premièrement prolongé B D iüfques à G, en forte que D G foit efgale à D.N, & ayant deferit vn cercle dont le diamètre foit B G, fi on prolonge la ligne droite AC, elle rencontrera la circonférence de ce cercle au point E, qu’on demandoit. Mais pour ceux qui ne fçauroiët point cete côftru&ion «file feroit affiis difficile à rencôtrer,& en la cherchât par la méthode icy propose, ils ne s’auiferoiêt iamais de prêdre D G pour la quâtité inconnue, maisplutoft CF, ou F D » a caulè que cc »., Ccc 2 font jâ8 ^ La GEOMETRIE, jâ8 ^ La GEOMETRIE, font elles qui conduifent le plus ayfement a l'Equatio; & lors ils en trouüeroiët vne qui né feroit pas facile ajdemeilér, fans la rcigte que ie viens d’expliquer. Carpofimta pour B"D ouCD,&f pour EF,&*pourDF, on a CF 30 a & côme C F oU <r~ *,eft àF E ou r,ainfi F D ou x, % ex > eft a B F, qui par confequent eft^— Puis acaufe du triangle reôangle B D F, dont le! coftés font l’vn x & l’autre a, leurs quarr&,'qui font xx -f * a a, font efgaux. a cehiy de labaze, qui eft — —; —,de façon que mulripliant le tout par xx—zax-ir aa, on trouue que l’Equation eftx* — zaxl-i-zaaxx~ za* x-h a*70cc xx, connoift par les reigles precedentes, que fa racine, qui eft la longeur de la ligne D F, eft «x a *+- V^aa+^cc . Que fi on pofoit B F, ou C E, ou B E pour la quantité inconnue,, on viendrait derechefà vnfc Equation, en laquelle il y aurait 4 dimenfions, mais qui feroit plus ayfëe a de'mdlcr, & on y viendrait aflVs ayfement; au lieu que ii c’eftoit D G qü on fiippofaft on viendrait béancoüp plus difficilement a l'Equation, mais aüfly elle forait trèsfirapk. Ceque ie mets icy pour vous auertir, que lorfque le Problefme propofe n’eft point folide» fi en le cherchant parvn chemin on vient avne Equation fort cotapof«eronpeut ordinairement venir a'vne plus firnpîe, crf le cherchant parvn autre. - * le pourrais encore aioufter diuerfes reigles pour démefier les Equations, qui vont au Cube, ou an Quatre iafii ’ > i.oi). « rie de quarrd, mais elles feroient fcperftocs j car lorfque les. Problefmcs fout plans, on en peut toujours trouuer la eonftruélion par celles cy, le pourrois aulTy en adioufter d’autres pour les Equa- Rcgîc rions qui montent iniques au furfolide, ou au Quarré de cube, ou au delà, mais i'ayme mieux les comprendre «luire 1rstoutes en vne, & dire en general, que lorfqu’on atafehef s de les réduire a mefme forme, que celles d’autant de di- ^ menfions,quivienent delà multiplication de deux an- C très qui en ont moins, & qu’ayant dénombré tousjes. moyens, par lefquels cete multiplication cft poflïble, la choie n’a pû fucceder par aueun, on doit s’aflurer qu'elles ne fçauroient eftre réduites a de pins fimples. En forte que li la quantité inconnue a 3 on 4dknenfions,le Problefme pour lequel on la cherche eft folide,- & fi elle en a 5,on d,il eft d’vn degré plus compofd; & ainfi des autres» Au relie i’ay omis icy les demonftrations de la plus A part de ce que iay dit a caufe quelles m’ont lèrriblé fi fâciles, que pourvûque vous preniés la peine d'examiner méthodiquement fi iay failly,elles fe prefenteront a vous d’elles mefme: & il fera plus vtile de les apprendre en cete façon, qu'èn les lilànt.
Or quand on eft allure', que le Problefiqe propofé eft folide, fort que l’Equation par laquelle on le cherche pourconmonte au quarre de quarre, loïc qu elle ne monte que tous |cs hifques au cube, on peut toufiours en trouuer la racine Probl^ par l’vne des trois ferions coniques, laquelle que ce fpit <jcs. «-ou mefme par quelque partie de l' vne d’elles, tant petite du,tsEa' qu'elle puifle eftrej en ne fe feruât au relie que de lignes quattf. do droites,&:de cercles. Mais iemc contenteray icy de.,.. Ccc t- donuer-menfions.
iVrç/W. * donner vne reigle generale pour les trouner contes par le r moyen d'vue Parabole, a caufc qu'elle ellen quelque façon la plus fimple. - Premièrement il faut ofter le fécond terme de l’Equation propofee, s’il n’eft défia nul, & ainfi la réduire à telle forme, ^ ’ ao *. a p ^. a aq, fi la quantité' inconnue n’a que trois dimenfionsj oubien à telle, ao *. aaq * * d>r,fi elle en a quatre;oubien en prenant* poarj’vnité à telle, ç ’ ao *. p qt & à telle îï- * • • - d> - * jji — ï * Livre TroMïESME. $srt Apr«celafuppolàntqueIa Parabole F AG eft défia rfefcrite, & que Ion aiffieu eft A C D K L, & que Ibn co-. fte/ droit eft a, ou i, dont A C eft la moitié, & enfin que le point C eft au dedans de cete Parabole, & que A en eft.* le (ommetj 11 faut faire CD» ~pt & la prendre du met me cofté, qu’elt le point A au regard du point C, s’il y a -H p en l’Equationj mais s’il y a — p il faut la prendre de l’autre cofte. Èt du point D, oubien, fi. la quantité peftoit nulle, du point C il faut efleuer vne ligne a angles droits iniques a E, cn quelle loit efgale a 5^.
Et enfin dû centre faut defcrire le cercle F G, dont '• Je.
ledemidiametre foit AE, fi l'Equation n’eft que cubique, en forte que la quantité’ r foit nulle. Mais quand il y a -h r il fout dans cete ligne A E prolongée, prendre d'vn colté A R efgale à r, & de 1 autre AS efgale au coftd droit de la Parabole qui eft i, & ayantdeforit vn cercle dont le diamètre foit R S, il faut faire A H perpêdiculaire fur A E, laquelle A H rencontre ce cercle R H S au point . H, qui eft celuypar où l’autre cercle F H G doit palier* Et quand ily a -r ' il faut après auoir ainfi trou uc la ligne A H, inferire A I, qui luy fbitelgale,* dans vn autre cer^ , dont A E foit le diamètre,■ 6c lors te point F,’ * qne / •que doitpafler F I G le premier cercle cherche'. • Or ce cercle F G peuctoupper, ou toucher la Parabole en i, • ou 2, ou 3, ou 4 poius, defquels tirant des perpendiculaires fur laiflieu, ou a toutes les racines de l'Equation tant vrayes, que faufles. A fçauoir fi la quantité ÿ ell marquce du ligne -+-, les vrayeyacines feront celles de ces perpendiculaires, qui fe trpuucront du mefme collé delà parabole, que E le centre du cercle, comme F L; & les autres, comme G K, feront faufles: Mais au contraire fi cete quantité <7 ell marquée du ligne — les vrayes feront ctl les de l’aqtre collé; & les faufles, ou moindres que rien feront du coftc'ou eft E le centre du cercle. Etenfin fi cecercle ne couppe.ny ne touclie la Parabole en aucun point, cela tefmoigne qu'il n’y a aucune racine ny vraye nyfaufle en FEquation, & qo'elles font toutes imaginaires. En forte que cete reigle ell la plrfs generale, & la plus accomplie qu’il foit poflîble de fouhaiter.
Etlademonftrationenefl fort ayfe’e. Car fi la ligne G K,trouuéeparcete conftru&ion, fe nomme AK fora ^ a caufo delà Parabole, en laquelle G K doit ellre moyeneproportionelle, entré A‘K, & le cafté droit qui eft I. puis fi de A K i ofie A C, quieft j, & C D qui eft ^p, ilrefte D K, ou EM, qUieft ~p — {, dont le KM.ell 'i q, la toute G M eft q3 dont le quarré eft *' m Ddd pouf * *; r * La Gbombtrie.
v>* » i i n - uOlSr ; y Maisacaufc que cete mefme ligne GE eft le demi- « diamètre du.Cercle F G, elle fe peut encore expliquer en d’autres termes,a fçauoir E Deftant { q, & AD eftant *, entre * A. ' • entre cete Tomme & la precedente, ceqùieft le mefme que ç4 A ÿ £-+- r* & P31 cônfèquent la ligne trouuce.GK qui a èfcé nommée ^eft la racine de cete Equation. ainfi qu’il falloir demonftrer. Et fi vous appliqués ce mefme calcul a tous les autres cas de cete reigle, en changeant les lignes H- & — félon l'occafion, vous y trouuere's voftre conte en mefme lbrte,fans qu’il loit befoinqueiem’y arefter \ Si ou veut donc fuiuant cete reigle trouuer deux moyennes proportionelles entre les lignes a & ^chafcun fçait que polânt ^ pour l’vne, comme «cft à ç, ainlï ~~t tcft a dire, sp ao * *ajt q. Et la Parabole PAG citant ycncspr0- %, ■ ” *. portio- Ddd 2 de •ndlcs.
A» dc^diu^r bien l’arc, ou portion de cercle N QTP, en trois parvn aD6lc ties efgalesj faifant N O 30 i, pour le rayon du cercle, & N P » q, pour la fubtendue de l’arc donnd, & N Q ao ^ pour la fubtendue du tiers de cet arc 5 l’Equation vient, q. Car ayant tiré les lignes N Cl, O Q, O Tj & failânt QS parallèle a T O, on voit que comme NOeftaN^ainfiNQaQ^&QRaRSj enforte.
dcfcrite^aàed la partie de fon aiffieu A C, qui eft^Ia moitié' du cofté droit; il faut du point C efleufifr la perpendiculaire C ( cigale à du centré E, par A, deferiuant le cercle A F, on trouue FL, & L A, pour lès deux moyennes cherchées.
Livre Trois iesme. 307 ^3° 3Î-Î- Puis la Parabole F A G eftant deforite, & C À la moi- < tic de fon cofte' droit principal eftant £, fi on prent C D oS. |, & la perpendiculaire D E 00 - ÿ, «c que du centre E, par A, on defcriue le cercle F A £ G, il couppê cete Parabole aux troispoins F, g,& G, iâus conter le point A qui encfc le fommet. Ce qui mouftre qu’ily a trois raci- - V. nés en cete Equation, à fçauoir les deux G K, 8c g qui font vrayes; & la troifiefine qui eft faufle, d. fçauoir F L.
Et de ces# deux vrayes c’eft g ^ la plus petite qu’il faut prendre pour la ligne N Q qui eftoit cherche'e. Car l’autre G Kj eft efgale à N V, la fubtendue de la troifiefine partie de l’arc N V P, qui auec l’autre arc N QP achcuc Je cercle. Et la faufle F L eft efgale a ces deux enfomble QN & NV, ainfi qu’ileft ayfé a voir par le calcul.
11 fçroitfuperflus que icm’areftaflea donner icyd’au- Qnecous très exemples^ car tous les Problefines qyi ne font que bicÆnci folides fe peuuent reàuirea tel point, qu’on n’a aucun be- fo,iclcs fc fera de cete reiglc pour IesVonftruireJinon entant qu’el- réduire a ■ lefert atrouuer deux moyennes prt>portionelles,oubien.adiuifervnangleen trois partie s efgales. Ainfiqoevous tions. connoiftres enconfiderant, que leurs difficultés peuuent toufiours eftre cômprifes en des Equations, qui ne montent que iufque au quarrd de quarré, ou au enfie: Étque toutes celles qui montent au quarré de quand, fe reduiient au quarre, par le moyen de quelques autres, qui ne ~ D d d 3 montent * f 3P« montent qgp iüfquef au cube: Et enfin qu’on peut ofter le fécond terme de celles cy. En forte qu’il n y en a point ‘qui ne fe puifle réduire a quelq; vne de ces trois formes.
# ^30*-f -p^-q. * Orfi on a ^ ’ x> *.-p ç-f- qi la reigle dont Cardan attribue l'inuention a vn nomme' Scipio Ferreus, nousapprent que la racine eft, mm % > y C.H-jtf H- t'iM + hp*’’*- Ÿ C+sy H- V\qq^r^fp% ~ CommeauflyIorfqu’ona^}X),4-p^-H^> & que le quarredelamoitic'du dernier terme eft plus grand que le cube du tiers de la quantité' connue du penultielme, vne pareille reigle nous apprent que la racine eft, *; D*où il paroift qu’ou peut conftruire tons les Probiefmes, dont les difficultés (e reduifent al’vne de ces deui^ formes, (ans auoirbefoin des ferions coniques pourautrechofe, que pour tirer les racines cubiques de quelques quantité) données, c’eft a dire, pour trouuer deux moyennes prôportionellcs entre cês quantités & l’vnité. > Puis fi on a ^ ‘ ao * -h p ^-hq, & que le quarté de la moitié du dernier terme ne (oit point plus grand que le cube du tiersdela quantité connue du ^>enultielme, en fiippofant le cercle NQP V,dont le demidiametre NO (oit pt c’eft a dire la moyenne proportionelle entre Je tiers dc.Ia quantité donnée,/) & l’vnite'j & fuppbfimt .abfîy la ligne N P iuferite dans ce cercle qui foit y ' T, X>,V - >. *•: 4 ^ »s - ^ Livre Trokiesme.
/ c’eftadirequifoit à l'autre quantité donnée tj comme l*vnité eft au tiers d cp^ il ne faut que diuder chafcundcs deux arcs N Q P & N V- P en trois parties efgales, & on aura NQ, h fubtendue du tiers de l’vn, & N V la fubtendue du ti^rs de l’autre, qui iointes.enferoble campofcqpnt la racine cherchée.
Enfin fi ona z o*p ç— j • en fuppofànt derechef le cercle N QP V, dont le rayon N O foit V ff,6c l'infcn-. te N P foit -, N Qja fubtendue du tiers de l’arc NQP fera Pvne des racines cherchées, & NV la fubtendue du tiers de l’autre arc fera l’autre. Au moins fi le quarté de la moitiédu dénier terme, n’éft point plus grand,que le cube du tiers de fa quantité' connue du penultiefine. car s'il eftôit pius grand,la ligne N P nç poujroitcftrc inferitc dans le cercle, a caufe quelle feroit plus longue que - fbn diamètre: Ce qui feroit caufe que les deux vray es racines 4L* * Mf * v , cines de ccte Equation ne feroient qu’imaginaires, & qu’il ny en auroitdereelles que la faufle, qui fuiuant la reigle de Cardan feroir, f + ♦'Gif- Hw-fy' d’erpri-1 Au relie ileft a remarquer que cece façon d’exprimer u j- j. j — p — îcurd^3 la valeur des racines par le rapport qu’elles ont aifx cq toores'lcs ftés de certains cubes dont il n’y a;que le contenu qu’on racines COnnoiffe, n’eften ritn plus intelligible, ny plus fimple, quations que de les exprimer par le rapport quelles' ont aux fubindues de certains arcs, ou portions de cercles, dont de toutes le triple eft donne. En forte que toutes celles des Equanemon- tions cubiques qui ne peuuent eftre exprimées parles tent que rejgles de Cardan, le peuuent eftre autant ou plus clairequarré de ment par la façon icypropolee. ■.. }’. •. •*.»> quarte. £af £ jfer exemple, on penfe connoiftrc la racine de ceteEcJuation, ~ q %-hp. ya caule qu'on fçait qu’elle eft corapofée de deux lignes, dont l’vne eft le cofté d'vn cube, duquel le contenu eft \ q, adioiifté au 4 cofté' d'vn quarte", duquel derechef le contenu«eft p Et l’autre eft le cofte'd’vn autre cube, dont le contenu eft la différence, qui eft entre \q, & le cofté -de ce quarte’ dont le contenu eft J qq - -^p », qui eft tout ce qu’on enapprent par la reigle de Cardan. Il ny a point de douté qu’on ne connoifle autant ou plus diftin&ement la racine de celle cy, ^ * •+* ÿ — p, en la confîderançinfcrîte dansv n cercle, dont le demi diamètre eft j a dont le triple a pour faiubtendue j, Mcfme ces ter-' • r- * • r " mes r LivreTroisisbme.' 401 mes^ont beaucoup moins embaralTés que les antres, &.
ils Te rrouüferont beaucoup plus cours fi on veut vier de quelque chiffre particulier pour exprimer ces fubtendues, ainfi quon fait du chiffre Y C* pour exprimer le coftédes cubes. '* v Et on peut aufly en fuite de cecy exprimer les racines de toutes les Equations qui montent iufques au quarrtf de quarre, par les reigles cy deflTus expliquées. En forte queie ncfçacheriendeplus a defirer en cete matière* Careufinlànaturede::cesracines ne permet pas qu'oq les exprime en termes plus fimples, ny qu’on les détermine par aucune conftru&iôn qui foirenferable plus ge- t • nerale & plus facile.
Il eftvray que ien'ay pas encore dit fur quelles raifon* Po™-ie me fonde, pour ofer ainfi aflïirer, fi vne chofeéft poffi; Jrobic” ble, ou ne i’eft pas. Mais fi on prebc garde comment, par Ja méthode dont ieme fers, tout ce qui tombe fous la p^ucnc confideration 'des Geometrés, fe reduift a vn mefmc J'08” genre de Problefmes, qui éft de chercher là VMeur (fis jànsicsferacines de quelque Equation; ori iugera bien qu'il n*eft tiques, pas rnalayfifde faire vn dénombrement de* toutes les vo- ny «uj$ yesparlofqucllés on les peut troüuer, qui foit fuffiiànt J,uu‘s^. pour demonftrerqn'on a choifi là plus generale, & la plus pofésûns fimple. Et particulièrement pour cequi eft des Probiefmes folides, que lay dit ne pouuoireftre conft ruis, fans gDCS P,B* qu'on y employé quelque ligne plus cpmpofée queIafteiP°’ circulaire,’ c'eft cliofc qu'on peut aïfësi'trouuèr, dëce •• r. qo’ilsfereduifenttous adcûx cobftrtï crions - en 1 Yne défquelles il fautauoir tont enfomble les deux poins,qtri déterminent deux irioycnes propbrtionêlles entre deux «r» Eee *. ligues 2* * f? iltrrf i • KM* 40*.La GEOMETRIE, lignes donntfe; & en l’autre les deux poins, qui diujfent en trois parties elgaîes vn arc donné: Car d'autant que la courbure du cercle ne dépend, que d’vn fimple rapport de toutes fos parties, au point qui en eft le centre; on ne peut aufTy s'en feruir qu|a déterminer vn feul point entre deuxextremes,commeatrouuer vne moyenne proportionelle entre deux lignes droitesidonnces, on diuifer en deux vn grc donne: Au lieu que la courbure des feâions coniques, dépendant tou fiou r s de deux diuerfes choies, *. peut aufly feruir a déterminer deux poins difFerens.
Mais pour cete mefme raifon il eft impoffible, qu'aucun des Problefmes qui font d’vn degré plus eompofô que les folides, & qui prefuppofent l’inuentton de quatre moyennes proportionelles,ou la diuifîon d’vn angle en cinq parties efgales, puiflent eftre conftruits pàraucune desfe&ions coniques. C’eftpourquoy ie croyray faire en cecy tout le mieux qui fe puifle,fi ie donne vne reigîe ge» nerale pour les conftruire, en y employant la ligne courbe qui fe défont par l’interfediô d’vne Parabole & d’vne ligne droite en la façon cy deffus expliquée, car i'ofe affbrer qu'il ny en a point de plus fimple en la nature, qui pmfTeforüiracemelmeeffeâ; & vous aués vû comme elle fuit immédiatement les fe&ions coniques, en cete queilion tant cherchée par les anciens, dontlafolution enfeigne par ordre toutes les ligues courbes, qui doiuent Façon ge. eftre receuës en Geometrie.
ïoorcon- Vousfçaues défia comment, lorfqu’on cherche les maire quantités qui font requifos pour la conûrudiion de ces î^obief. Problefmes, on les peut touliours réduire a quelque |Em» re- quation, qui ne monte queiufques au quarre de cube, ou aulurfblide. Pois vous fçanésanfly comment, cnaug- Tnesqot: mentant la valeur des racines de cete Equation, on peut ti,OB «P J * n à point toufionrs faim qu’elles deuienent toutes vrayes* & auec plu&de cela que la qualité connue du troifiefme terme (bit plus § grande que le quarré de la moitié de celle du lecond;Ec enfin comment, fi elle ne monte que iufquesau furfolide, on la peut haufler iufques au quatre de cube; & faire que la place d’aucun de (es termes ne manque d'eftre remplie. Or aifin que toutes les difficulté, dont il eft icy queftion, pui fient eitre relblucs par vne mefme reiglc, ie defire qu'on face toutes ces choies, & par ce moyen qu’on les reduife toufiours a vne Equation de teUcfbrme,;;, ■ r • ' ** y*m.pyi-j-fy4~rytmir*yy~tj- hvxo, & en laquelle la quantité nommée q (bit plus grande quele quarrc de la moitié de celle qui eft nommée p.
X vl ’ - 1- uêi liV «U. * *Eee -i Puis .-caUq' ’rfi - s **:> n « rHfH T., n - _ à»-* ayant tire la perpendiculaire AB,, dontla longueur ; foit^il faut dans vnplanfepard deferire vne Par*-.- bole, comme C D F dont le cofté . droitprmcipalfoic que ie nommeray » pour abitger- Après cela il faut ► t pofer le plan dans ‘ lequel eft cete Parabole for celuy ou font Igs lignes A B & * B K, en forte que fon aiffieu D Efc rencontre iuftement an deflus de la ligne droite'BK: Er ayant pris la partie de cet aiffieu, qui eft entre les poins E & D, elgale à , il faut appliquer fur ce point E vne longue reigle, «n telle façon queftantaufly appliquée fur le point A du plan de deflous, elle demeure toujours iointe à ces deux poins, pendant qu’on hauflera ou baiflera la Para- * bolc »' a • • _ '•, V.
"Livre, Trois tes me. 40?
bolc tout le long de la ligne B K * fur laquelle /on ai/fieu eft applique7, au moyen dequoy l’inter/è<ftion de cetc Parabole, & de cete reigle, qui fe fera au point C, deferira la ligne courbe A C N, qui eft celle dont nous auons befoin de nous feruir pour la conftruâion du Problefnæ propofd. Car apres qu'elle eft ainfi defcriCe, fï on prent le point L en la ligne B K, du cofte' vers lequel eft tourné leiommet de la Parabole, & qu'on face B L efgale à D x Vv • ' x Vv • ' E, c’eft àdireà yn: Puis du point L, vers B, quon prene en la mefme ligne B K, la ligne L H, efgale à & que du point H ainlï trouud, on tire à angles droits, du coftcf qu*eft la courbe A C N% la ligne H I, dont la longeurfoit^H- £- Quipour abréger fera nommée^: Et apre's, ayant ioint les poins L & I, qu'on defcriuc le cercle L P I, dont I L foit le diamètre; & qu'on inferiueen ce cercle la ligne LP dont la longeur /bit ^: Çuis enfin du centre I, par le point P ainfi trouud, qu'on deferiue le cercle P C N. Ce cercle couppera ou touchera la ligne courbe A C N, en autant de poins qu*il y aura de racines en l’Equation: En forte que les perpendiculaires tirées de ces poiûs fur laligne B K, comme C G, N R, QO, & femblablcs, feront les racines cherchées. Sans qu’il y ait aucune exception ny aucun deffaut en cere reigle. Car fi 1$ quantité / eftoie fi grande, à proportion des autres p, q, r, t, &c v, que la Ü-. gneLPfetrouuaftplus grande que le diamètre ducer- Eee 3 cle IfA Giombtri*.
ciel L» en forte qu'elle n’y puft eftre infcrite,il nyauroit aucune racine en l'Equation propofdc qni ne fbft imaginaire: Non plus que fi le cercle I P eftoit fi petit, qu’il ne coupait.la courbe A C N en aucun point. Et ilia peut <*>upcr en fix differens „ ainfi qu’il peut y auoir fix diuerfes racines en 1’Equaüion. Maislorfqu’il la coupe en moins, cela tefmoigne qu’il y a quelques vues de ces racines qui font efgales entre elles, ou bien qui ne font qu’imaginaires. „ Livre Troisïesme. 407 Que fi la', façon de tracer la ligne A C N par le mounement d’vne Parabole vous femble incommode, il eft ayfc de trouuer plufieurs autres moyens pour la defcrire. Comme fi ayant les mefmes quantités que deuant pour A B & B L;& la mefme pour B K,qu on auoit pofée pour le coftc droit principal de la Parabolêjon defcrit le demicercle K S T dont le centre foitpris a difcretion dans la ligne B K, en forte qu‘il couppe qûelq; part la ligne A B, comme au point S, & que du point T, ou il finift.on prçne vers K la ligne T V, efgale à B L; puis ayant tiré la ligne S V, qu'on en tire vne autre, qui luy foit parallèle, par le point A, comme A Cf & qu'on en tire aufly vne autre par S, qui foit parallèle a B K, comme S C; le point G, ou ces deux parallèles fè rencontrent,feral’vn t|e ceux de la ligne courbe cherchée. Et on en peut trouuer, eu mefme forte, autant d'autres qu’on en defire.
ru ?
4^3 La GEOMETRIE,., Or la dcraonftcation de tout ceçy eft aflfcs facile, car appliquant lareigle A Eaoec la Parabole F Dfur.le point G; commeil eft certain, quelles peuoent y eftre appliquées enfcrable, pnifque ce point C eft en fa courbe AC^quieftdefcrite parleur interfe&ion jfiCGlç nomme y,' G D fera ^, à caufe que le cofte' droit, qui cftw,eftàCG,commçCGa-GD.&oftant DE, qui eft i Vr /V» ,dc JnJj E. Puis à caufe que; A B eft a B E, comme AB eft Et tout de mefme en fuppofant que le point C de la courbe à eftc'trouué par l'interfè<ftiô des lignes droites, S C parallèle à B K, & A C parallèle a SV. SB quieftefgale à CG, eft y: & BIC efrant efgale au coftc droit de la Parabole, que iay nomme' n, B Tefl car comme KBeftaB S, ainfiBS Livre Troisiesme.
iV-b eftant la mefme qué BL, c’cft a dire-^-, BV eft &commeSBeftaB V, ainfiAB eftà BE, qui n fn eft par conlcquent^*-- £ comme deuant, d’où on voit que c'eft vne raefme ligne courbe qui fe deferit en ces d< leux façons.
Après cela, poureeque B L & D E font efgales, D L & B E le font aufly: de façon qu’adiouftât L H, qui eft —7-^ àDL, qui eft ^ on à la toute D*H, qui eft \v ut »y 1H Vv i 'par ordre en cete forte G H no — y' Et le quarre' de G H efr.
Et en quelque autre endfroit dç cete ligne courbe qu’on veuille imaginerle point C, comme vers N, ou vers Q, ontrouueratoufiours qne le quarré de là ligne droite, qui eft entre le point H & celuy oùtombe la perpendiculaire du point C fur BH, peut eftre exprime en ces mefmes termes, &auec les mefmes fi gnes -H & —.
1T mm. U.
nVv* Eff y.
c’efta dire entre “, & j, en forte que Ton quarrrf eft togfiours ~ Hh#; qui.eftant ofté dti-quarrcT LiyfcB Troisiesme.
tt i fVv Z my de I C, il refie - pour le quarre'de CM,<pii efi efgal au quarrc de GH défia trouud'. -Oubien en fai font que cete fomme foit diuifcé comme l'autre par tinyy, on a • nnÿy ‘ ' v\y’ ~tV.,v\ÿ~ efgal à +M + >v« V tt Â.V l\v D’où il paroift que les lignes C G, N R, QO, & fcmblables font ies racines de cete Equation, qui efi ce qu’il falloir demonftrer.
Ainfidoncfion veut trouucr quatre moyennes proportionelles entre les lignes a $cb, ayant pofo.vpour la première, l'Equation efi tf»**** — q-bzob oubien x6 **** ~ a- b x* üo o. Et taifamy — a a>.vif vient y' 6 a > + n »b * V astyab * La GEOMETRIE.; 412 • rabole que iay nommé «. *+" pour D E on BL. Et après auoir defcrit la ligne courbe AC N lur ta mefure de ccs trois, il faut faire L H, ôo** 10 a • »» BB innV*** *b.
& L P 30 V 15 6 b.
nn Car le cercle qui ayant fbn centre au point Ipaflera par le point Pain fi trouue' couppera ta courbe aux deux poins C & N; defquels ayant tire' les perdendiculaires N R & C G, fi la moindre, N R, eft ofte'e de la plus grande, C G, le refte fera, xt la première des quatre moyenne s proportionelles cherchées.
Il eft ayfé en mefme façon de diuîfer vn angle en cinq parties efgales, &d’infcrire vnc figure d’vnze ou treze coftés efgaux dans vn cercle, & de trouuer vnc infinité d’autres exemples de ccte reigîe.