Or encore que toutes ces oualesfemblent eftre quafi demefme naturelles font neanmoins de 4 diuers genres, chafcun defqucls contient fous foy vne infinité d’autres genres, qui derechef contienent chafcun autant de diuerfes efpeces, que fait le genre des Ellipfes, ou celuy des Hyperboles. Car félon que la proportion, qui eft entre les lignes A j-, A 6, ou femblables, eft differente; le genre fubalternc de cesouales eft different. Puis félon que la proportion» qui eft entre les lignes A P, & A G,ou A H, eft changée, les ouales de chafque genre fubalter-, ne changent d’efpece. Et félon qu’ AG,ou A H eft plus ou moins grande, elles font diuerfes en grandeur. Et li’ les lignes A j & A 6 fontefgales, au Iieü des ouales du premier genreoudutroificfme, on ne defcrit que dess lignes droites; mais an lieu de celles du fécond on a toutes les Hyperboles poffibles; & au lieu de celles du dernier toutes les Eliipfos.
Outre cela en chafcune de cesouales il faut confiderer Les prodeUX parties, qui ont diuerfes propriétés; a fçauoir çn la ojjlie* première, la partie quieft vers A, fait que les rayons, qui jonchant eftaut dans l’air vienent du point F, fe retournent tous vers le point G, lorfqu'ils rencontrent la fupcrficie con- ^Jo^fra' uexed’vn verre, dont la fuperficie eft 1 A 1, & dans lequel les refraâion s fe font telles, qne fuiuant ce qui a efté dit en la Dioptrique, elles peuuent tontes eftre mefurcespaT la proportion, qui eft entre les lignes A; & Y y 3 Mais m\ * VT J •# * Mais la partie, qui eft versV, fait que les rayons qui viencnt du point G fe reflefchiroient tous vers F, s'ils y rencontroient la fuperficie concaue d'vn miroir, dont la figure fiift i V i, & qui fuft de telle matière qu’il diminuait la force de ces rayons, félon la proportion qui eft entre les lignes A y & A 6: Car de ce qui a efté démon -ftref en la Dioptrique, il eft euident que cela pofë, les angles de la reflexion feraient inefgaus, aufly bien que font, ceux de la refra&ion, & pourraient cftre mefure's en mefme forte.
En la féconde ouale la partie 2 A t fett encore pour les •eflexions dont on fuppofe les angles eftre inefgaux. car eftant en la fuperficie d’vn miroir compofë de mefine matière que le precedent,elle ferait tellement reflefehit tous les rayons, qui viendraient du point G, qu’ils fembleroient apres eftre reflefcliis venir du point F# Et il eft a remarquer, qu’ayant fiuc la ligne A G beaucoup plus .Livre Second* 35-p plus grande que AF, ce miroir ferait conuexe au milieu, vers A, & concaue aux extremitez: car telle eft la figure decete ligne, qui en cela reprefente plutoft vn coeur qu'vncouale. • Mais fon autre partie X 2 fort pour les refra<ftions,& fait quç les rayons, qui eftant dans l’air tendent vers F,fé détournent vers G, en trauerfànt lafuperfiae d'vn verre,. qui en ait la figure.
La troificfme oualcfert toute aux réfractions, & fait que les rayons, qui eftant dans l’air tendent vers F, fè, vont rendre vers H dans le verre, après qu’ils ont trauerfd fa fuperficie, dont la figure eft A 3 Y 3, qui eft conuexe par tou t,excepté vers A où elle eft vn peu concaue, en forte quelle a la figure d’vn coeur aufly bien que la precedente. Et la différence qui eft enrre les deux, parties deceteouale, confifteencequelepoiDt F eft plus proche de l’vne, que n’eft le point H; &: qu’il eft plus e/lojgnd de l’autre, que ce mefrae point H.
En mefme façon Iaderniere ouale fert toute aux res» flexions, & fait que fi les rayons, qui vienent du point H, rencontraient la foperficie concaue d’vn miroir de me£ me matière que les precedens, & dont la figure fuft A 4: Z 4, ils fc reflefchiroient tous vers F..
De façon qu’on peut nommer les poms F, & G, ou HP lespoinsbruflans de ces ouales, a l'exemple de ceux des Ellipfes; & des Hyperboles, qui ont efté ainfi nommés; en la Dioptrique. < l’omets quantité d’autres refra&ions, St réflexions; qui font rcigldés par ces mefmes ouates: car n’eftant que les conuerfes, pu les contraires de celles cy, elles en.
flk: i / * \6o lA GEOMETRIE, DcmoH- peuuent facilement eftrc déduites. Mais il ne faut pas d« pro- qnei’omettélademonftrationde ceqoeiaydit. &acet pnctcs de effeâ, prenons par exemple le point C a difcrction en la touchant première partie de la première de ces ouaIes; puis tirons les refle- — la liane droite aïons 6c. ' r> t> refra- C P» COUP* a°ns' n pe la courbe au point C à angles droits, cequi eft facile • par le problefme precedent; Car prenant b pour AG, c pour A F, c -f- 1 pour F C; & fuppofant que la propbr-•tionqui eft entre dite, que ic prendray icy toufîours pour celle qui mefure les refra&ions du verre propofij’, defigne aufly celle qui eft entre lès lignes A f, 8c A 6, ou (femblables, qui ont ferai pour defenre cete ouale.cé qui donne b — -ÿç pour G C: on trouue que la ligue A Pejft " bde±cJd*idz.:."L' qu “ a efte monftrè' cy deflus.
De plus du point P ayant tire'P Q^a angles droits fur la •droite F C, & P N aufly a angles droits fur G C,confide- _ • « comme les lignes qui mefurent les refra&ions du verre conuexe A C, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s’y courber en entrant dans ce verre, qu'il •s'aille rendre après vers G: ainfi qu’il eft très eoidentde cequi a efté dit en la Dioptriqne. Puis enfin voyons par Je calcul, s'il eft vray, que P Qfoit à PNj comme rfeft à é. JLes triangles redangles P Q F, & C M F font fenj- • • blables; Livre Second. jsi blables; d’où il fuit que CFeftàCM, comme F P eft a P Q; &parconfequent que F P, eftant multipliée par Cm’& diuifée par C F, eft efgale a P Tout de met me les triangles re&angles PNC, & C M G font femblablcs; d’où il fuit que G P, multipliée par C M, & diuife'e par C G, eft efgale a P N. Puis a caufe que lés multiplications, ou diuifions, qui fe font de deux quantités par vne raefme, ne changent point la proportion qui eft entre elles; fi F P multipliée par C Mj &diuifoéparCF, eft à G P muitiplie’c aufly par CM & diuifée par CG; commeéeftàr,endiuifantlVne& l'autre de ces deux foinmesparCM, puis les multipliant toutes deux par C F,& derechef par C G,il refte F P multipliée par C G, qui doit eftre à G P multipliée par C F, comme éeftàe* OrparlaconftruûionFPeftt itu<baU*ddi--iïï bdt ^ edd dd£ ^ ibcddfy buÀA * bbddz. * beddt. — bedtz - ccdtx. — bdM -- 'dtt\.
7 bdt -»£i Et pourceqne la première de ces fommes diuifée par^ eft la mefme que la fécondé diuifée par e, il eft manifefte, que F P multipliée par CG eft a G P multipliée par CF; Zz c’eft % 9. >, 36» La G b omet rie.
c’eft A dire que P Qcft à P N, comme d eft à *, qui eft tout Ce qu’iljkalloit demonftrer.
Et fçachcs, que cete mefme demonftration s.'eftend a tout cequi a efte' dictes autres refraétions ou reflexions, qui fefont dans les ouales proposes j lâns qu’il y faille changer aucune choie, que les lignes -f- & — du calcul, c’eft pourquoy chafcun les peut ayfement examiner de foymefme, fans qu’il foit beloin que ie m'y areûc.
Mais il faut maintenent, que ie lâtisface a ce que iay omis en la Dioptrique,lorfqu’apre$ auoir remarque' qu’il peut y auoirdes verres de pîufieurs diuerfes figures, qur fâcent aufly bien l’vn que l’autre, que les rayons venans d’vn mefme point de l’obiet, s'affcmblent tous en vn autre point âpre* les auoir trauerfes. & qu’entre ces verres» ceux qui font fort conuexes d’un coite’, & concaues de. l'autre, ont plusdeforce pour brufler, que ceux qui font également conuexes des deux coftds. au lieu que tout au contraire ces derniers font les meilleurs pour leslunetes. ie me fuis contente d’expliquer ceux, que i’ay crû eftre les meilleurs pour la prattiquc.en fuppolant la difficulté que les artilans peuuent auoir a les tailler. C’efc pourquoy,affin qu’il ne refte rien alounaitertpuchant la théorie de cete fcience, ie doy expliquer encore icy la figure des verres, qui ayant l’vne de leurs foperficies autant conuexe, ou concaue, qu’on voudra, ne lailTenrpas de faire que tous les rayons, qui vienent vers eux d’vu mefme point, ou parallèles, s’alTerablent après en vn mefme point j & celle des verres qui font le femblable, eftantefgalement conuexes des deux coites, oubienla *. • conue- Livre Second.
conuexitcdel'vnc de leurs fuperficies ayant la proportion donnée à celle de l’autre. • Pofonspourlc premier cas, que lespoins G, Y, C, &F on peut eftant donnes, les rayons qui vienent du point G, oubien qui font parallèles à GAfe doiuent aflembler au point tant con-F, après auoir trauerfe' vn verre fi coucaue, qu’ Y eftant le* milieu de fa fupcrficie intérieure, l’extremitc en foitcn l vDC’ au poiatC, en forte que 1a chorde CMC «clafleehe ^ Y M de l’arc C Y C, font données. La quellion va Ia,.qu 0n que pteroierement il tant confiderer, de laquelle des'»^ ouales expliquées, la fuperficie du verre Y C, doit auoir icmblc a la figure, pour faire que tous les rayons, qui eftant dedonné. - dans tendent vers vninefme point, comme vers H, qui toutes n'eft pas encore connu, s’aillent rendre vers vn autre, a qui vie- ■ fçauoirversF, aprésen eftre forcis. Car,1 n'y a aucun effedt touchant le rapport des rayons change par refle- p0iDt xion, ou refraaioud'vn point a vn autre, qui ne puifle donné.
eftre caiife" par quelqu'vne deccs ouales.' on voit ayfementque cetuycy le <peut eftre par lapaftkl de la troifiefmc Ouale, qhi a tantoû eiftè anarqiace J A }, ou par ceUede la mefiuc, qui a eftè marquée 5 Y PU enfin par la partie de la fécondé qui a efte marquée, 2. X i. lit poureeque ces trois tombant icy fous méfmé calcul, ondoit tant’ pouP^vnei, que pounTgutiie fendre Y pour xjd '• Zzi leur 3*4 La GEOMETRIE, leur fotnmet, C pour Tvn des poins de leur circonférence, & F pour Tvn de leur^poins bruflans } apre's quoy it nerefte plus a chercher que le point H, qui doit cftre l'autre point bruflant. Et on îe trouue en confideranf, que la différence, qui eft entre les lignes F Y & F C,doit eftre a celle, qui eft entre les lignes H Y & H C, comme deft à e, c’eft a dire,comme la plus grande des lignes qui mefurent les refra&ions du verre propofe' eft à la moindre* ainfi qu’on peut voir manifeftement de la defeription de ces ouales. Et poureeque les lignes F Y & F C font données, leur différence l'eft aufly, & en fuite celle qui eft entre H Y & H C * poureeque la proportion qui eft entre ces deux différences eft donnée. Et de plus a caufe que Y M eft donnée, la différence qui eft entre M H,& H C, l’eft aufly;& enfin poureeque C M eft don* nce, il de refte plus qn'à trouucr M H le cofté du triangle re&angleC MH, dont on a l’autre cofté CM, & on a auffy la différence qui eft entre C H la baze, & M H le coftédemande' d’où il eft ayfédele trouuer. car fi on prent >^pour l’excès de C H fur M H, & » pour la longeur ,. ■ i t * m H y} de laligne C M, on aura xK Pour M H. Et aprefc auoir ainfi le point H^’ilfotroune plus loin du point Y, \\\ t que LlVRE SECOND. 3$jr que n’en eft le point F, la ligne C Y doit eftre la première partie de i’oualc du troifiefme genre, qui a tantoft efté nommée 3 A 5: Mais fiHYcft moindre que F Y, oubien elle furpaffe H F de tant, que leur différence eft plus grande a raifon de la toute F Y, que n’eft e la moindre des lignes qui mefurent les refradfc ions comparée auec d la plus grande, c’eft a-dire que faifant H F x> c, & HYxf •+-£, ^Aeftplus grande que zee-\-eb, & lors C Y doit eftre la fécondé partie de la mefme ouale du troifiefme genre, qui a tantoft eft énomée 3 Y 3 jOubien ^Æeftefgale, ou moindre que rce-\reh: & lors CY doit eftre la féconde partie de l'ouale du fécond genre qoiacydefTusefie'nomme'e 2X2. Et enfin file point H eft le mefme que le point F, ce qui n’arriue que lorfque F Y & F C font efgales ccte ligne Y Ç eft vn cercle.
Après celail faut chercher CAC Pautre fuperficie de ce verre, qui doit eftre vne El lipfe, dont H foit le point bruflant,fi on fuppofé que les rayons qui tombent defTus foiêt parallelesj & lors il eft ayfé de latrouuer.Mais fi on fuppofe qu’ils vienët du point G,ce doit eftre la première partie d’vne ouale du premier genre,dont les deux poins bruflans foiêt G & H, & qui paffé parle point C:d’où on trouue le point A pour le fommet de cete ouale, en confiderât,qne GCdoit eftre plus grade que GA, d'vnequantite,qui foit a celle dont H A furpaffe H C,comme dàe* car ayant pris ^pour la difference,qui eft entre C H,& H M,fi on fuppofe* pour AM,on aura,* — pour la différence qui eft entre AH, & CH; puis fi on prent g pour celle, qui eft entre G C, & GM, qui font données, on aura^+tf pour celle, qui eft entre GC, & G A j 3c Z z 3 pour- ■ComniCt on peut faire vn verre, qui aitlc met me cffc'dl que le precedfr, & que la connexité del’vne de fes fupcrficics aie la proportion donnée au ce celle afclautrc.
pour la ligne xt ou A M, par laquelle ou détermine Je point A qui eftoit cherché.
Pofons maintenent pour l’autre cas, qu’on ne donne que les poins GC.&F, auec la proportion qui eft entre les lignes A M, & Y M, & qu’il faille trouuer la figure du verre A C Y, qui face que tous les rayons, qui vienent du point G s’alfemblent au point F.
On peut derechef icy fe fèruir de deux ouales dont Fvne, A C, ait G & H pour les poins bruflans; & l’autre.
C Y,ait F& H pour les fiens.Et pour les trouuer premièrement fuppofanq le point H qui eft comrpun a toutes deux eftre connu, ie cherche A M par les trois poins G,C,H,en la façon tout maintenent expliquera fçauoir preuant ^pour la différence, qui eft entre CH, &HM; te g pour celle qui eft entre G C. &GM: &ACeftant la première partie de l’Onale do premier genre, iay ^7, pour AM: puis ie cherche auflyM Y par les trois poins F, C, H,en forte que C Y foi t la première partie d’vue ouale du troifiefîne genre; éprenant y pour M Y, • - — te Livre Second. jé7 &/*ponr la différence, qui eft entre C F, & FM, i’ay /’-F-y, pour celle qui eft entre CF, &FY: puis ayant défia ^pour celle qui eft entre C H, & H M,iay \j\-y pour celle qui eft entre C H, & H Y, que ie fcay deuoir eftre à,f jry comme e eft à d, à caüfe de l’Ouale du troifiefme genre, d où ictrouue quejr ou MY eft puis joignant enfemble les deux quantités trouuces pour A M, & M Y, ie trouue '■ a;pour la toute A Y; D’où il fuit que de quelque cofte'quefoitfuppofe'le point H, cete ligne A Yeil toufiours compofée d’vnc quantité, qui eft a celle dont les deux enfemble G C, & C F furpaflent la toute G F,Commce,la moindre des deux lignes qui feruent a mefurer les refra&ions du verre propofé, eft à d~ e, la différence qui eft entre ces deux lignes, cequîeft vnau fésbeautheorefme. Or ayant ainli la toute A Y, ilia faut couper félon la proportion que doiucnt auoir fes parties A M & M Y; au moyen de quoy pource qu’on a défia le point M, on trouue aufly les poins A & Y,• & en fuite le point H, par leproblefme precedent. Mais auparauant il faut regarder, fi la ligne A M ainfi trouuée eft plus grande que plus petite, ouefgale. Car fi elle eft plus grande, on apprent de là que la courbe A C doit eftre la première partie d’vne ouale du premier genre; & C Y la première d’vne du troifiefme, ainfi qu’elles ont cfté icy fuppofees: au lieu que fi elle eft plus petite, cela monftre que c'eft C Y, qui doit eftrela première partie d’vne ouale du pfemier genre; & que AC doit eftrela première d’vnê du troifiefme: Enfin fi AM eft efgale à 3*8 Commet on peut appliquer cequia cité dit icy des lignes courbes defe rites fur vne (upcrfkie place, à celles qui fedefenuéc dis vn xfpacc qu. a trois di- ■KieufioDs.
j ~t les deux courbes A C & C Y doiuent eftre deux hyperboles.
On pourroit eftendre ces deuxproblefraes a vne infînite'd autres cas, que ie ne ra'arefte pas a déduire, à caule qu’ils n’ont eu aucun vfage en la Dioptrique.
On pourroit auflypafler outre, & dire, lorfque l’vne des fuperficies du verre efc donne'e, pouruô qu'elle ne foit que toute plate, ou compofce de levions Coniques, oudecerclesj comment on doit faire fon autre fuperficie, affin qu’il tranfmette tous les rayons d'vn point donne', a vn autre point aufly donné, car ce n’efc rien de plus difficileque cequeie viens d’expliquer; ou plutoftc’efc chofe beaucoup plus facile, à caufe que le chemin en elc ouuert. Mais i'aymc mieux, que d’autres le cherchent, affinques’ils ont encore vn peu de peine à le trouuer, cela leur Éace d'autant plus eftimer l'inuention des choies qui font icydemonftrces.* Au refte ie n’ay parle en tout cccy,que des lignes courbes, qu’on peut deferire fur vne fuperficie plate • mais il eltayfé de rapporter ceque i’en ay dit, à toutes celles qu’on fçauroit imaginer eftre formeei, par le mouuement régulier des poins de quelque cors, dans vn elpace qui atroisdimenlions. A fçauoir en tirant deux perpen-. diculaires,de chalcun des poins de la ligne courbe qu'on veut confiderer,lur deux plans qui s’entrecouppent a anglesdroits, l’vne lùrl’vn, & l'autre fur l’autre, car les extrémités de ces perpendiculaires déferaient deux autres lignes courbes, vne fur chafcun de ces plans, defquelles ou peut,en1a façon cy delfusexpIiquée,detennHicrtous:• ‘:. ^ les Livre Second. 3<îp • les poins,&Ies rapporter a ceux de la ligne droite, qui eft commune a ces deux planés, au moyen <Jequoy ceux de la courbe, qui a trois dimenfions, font entièrement détermines. Mefme fl on veuttirervne ligne droite, qui couppecete courbe au point donne a angles droits: il faut feulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, vne en chafeun, qui couppent a angles droits ^ les deux lignes courbes, qui y font, aux deux poins, où tombent les perpendiculaires qui vienent de ce point donne', car ayant efleuddeux autres plans,*vn fur chak cune de ces lignes droites, qui couppe a angles droits le plan où elle elt, on aura l’interfe<ftion de ces deux plans pour la ligne droite cherchée. Et ainfi ie penfè n'auoir, r rien omis des elemens, qui fout neceffaires pour la connoiflance des lignes courbes.
L A T.
G E O M E T R ï E..
LIVRE TROISIESME., Ji,' [ ^De U lonftruttiondes cProble[mes, cjui * font Solides, ou plufque Solides, De quel- EN c o rb que toutes les lignes courbes, qui peuuent eftre deferites par quelque mouuement régulier, on peue doiuent eftre receuës en la Geometrie, ce n’eft pas a di- (c (?ta>T, re qu’il foit permis de fe feruir indifféremment de la pre- ftiuftiou miere quife rencontre, pour la conftrudhon de cbafqûe, • Aaa pro-mc.
37® La Gbometrtb.
37® La Gbometrtb.
problefrrffc: mais ilfaut auoir foin de choifir toufioursla plus fimpiellpar laquelle il foie poflîblc de le refoudre. Et mefmc il eft a remarquer, que par les plus fimples on ne doit pas feulement entendre telles, qui pcuuentle plusayfementeftredefcrites, ny celles qui rendent la conftruétion, ou la demonftration du Problefme propo-- fé plus facile, mais principalement celles, qui font du plus fimple-genre,qui puiflè feruir a déterminer. la quaotitéqui eft cherchée. - Exemple touchant l’inucntiô de plu-.* itcurs moycnes propres tioneUes.
Comme par exemple ie ne croy pas, qu’il y ait aucu~. ne façon plus facile, pour trouuer autant de moyennes proportionnelles, qu’on veut, nydont la demonftration lbit plus euidente, que d’y employer les lignes courbes, n qui iè deferiuent par l'inftrument X Y Z cy delfus expli. qué. Car voulant trouuer deux moyennes proportionnelles entre Y A & Y E, il ne faut que deferire vn cercle, dont le diamètre foit Y E} 6c poqrce que ce cercle coup- 4 ' • pe la courbe A D au point D, Y D ell l’vne des moyennes • proportionneHes cherchées. Dont la demonft rarion fe voltal'œilpar la feule application de cet infiniment fur Ja ligne Y D. car comme Y A, ou Y B, qui luy eft efgaie eft a Y C; ainfi Y CeftaYD; & YDa YÉ.
Toutdemefme pour crouuer quatre moyennes proportionelles entre Y A & Y G; ou pour en trouuer fix entre Y A & Y N, il ne faut que tracer le cercle Y F G, qui couppant A F au point F, détermine la ligne droite Y F, qui eft l'vne de ces quatre proportionnelles; ou Y H N, qui couppant A H au point H, détermine YH l’vne des fix, & ainfi des autres.
Maispourcequc la ligne courbe AD eft du fécond genre, & qu’on peut trouuer deux raoyenes proportionelles par les ferions coniques, qui font du premier; & aufly poureequ'on peut trouuefr quatre ou fix moyenes proportionellcs, pardcslignesquinelontpas de genres fi compofe's, que font A F, & A H, ce feroit vne faute en Geometrie que de les y employer. Et c’eft" vne faute aufly d’autre cofté de fe trauailler inutilement a vouloir conftruire quelque problefme par vn genre de lignes plus fimple, que fa nature ne permet.
Or affin que ie puifle icy donner quelques reigles. De b n«-pour euiter l’vne & l’autre de ces deux fautes, il faut que £ r^c6ss ie die quelque chofe eu général de la nature des Equationsjc’eft a dire des fommes compofdbs de plufieurs ter- * mes partit connus, & partie inconnus, dont les vos font » eîgaux aux autres, ou plutoft qui confiderés tous enfem-.. ' ble font efgaux a rien, car ce fera fouuent le meilleur de les conliderer en cete forte, > j*': ► - ^ ‘WL. Aaa 2 Scachcs tr CorabiÉn *,, ^ il peut y Scacnes donc qu en chafque Equation, autant que JJSàçf* quantitéinconnueade diraenfions, autant peutily en chafq, auoir de diuerfes racines, c’eft a dire de valeurs de céte 1-quauô. quantité car par exemple fi on fuppofe*efgalea2; oubien i efgal a rien * & derechef * oo 3. oubien x — 3 ao ojen multipliant ces deux équations x — t 3o0, &.V-3 30o, J'vne par l'autre, on aura xx» fx-j-ô^o oubien xx 6, qui eft vue Equation en laquelle la quantité at vaut 2 & tout enfemble vaut 3. Que ft derei chcfon fait x — 4 no 0, & qu'on multipliecete fbmme par ËiuiTcs ra- nés font faufles, ou moindres que rien, comme fi on fuppofe que *defigne auTTy le defaut dVoé quantité quifoit y,ona x-j- y 30 0, qui eftant multipliée par Ni-9xx-h26x-~2^x>ofait -.f* #4 — 42;* — igxx-b icéx— fzozoo pour vne équation en laquelle il y a quatre- racines, a fç auoir trois vrayes qui font it 3, 4,5c vne fauffe qui: eft y. -, • on peut ^ on vo*t euidemment de cccy, que la fbmme d'vne • ienombre c^uatioD’ Süi contient plufieurs racines peut toufiours des dî- e^rc diuifée par va binôme compofe de la quantité in- C^nnU®,inoins^a^eur^e^ vnct^es vraYes racines, laquation quelle que ce foit- ou plus la valeur 3e l'vne dés fàufTés.- IVaToSi Au m°yea dc quoy ea diminue d'autant fes dimenqucl- fions...,, J..
£ »d?c Et réciproquement que fi la femme dVneequatioo . £ d* - • Tl**- Côment on peot n Livre Troisième. 373 nepeuteftrcdiuiféeparvn binôme comjiofé de la quau- __ r titéinconnue^ ou*-- quelque autre quantité, cela tefmoigne que cete autre quantité n’eft la-valeur ë’aucune quantité de Tes racine$. Qommecetederniere - -cJJ3ya_ peut biencftre diuiféc, par x — 2., & par x « 3, & par ULlut' x — 4, & par x 4- 5; mais non point par x 4- où aucune autrequantitc'. cequi monftre qu’élle ne peut auoir que les quatre racines £,3,4, & y.. ru »...On connoiftaufly de cccy combien il peut y auoir de Combicuvraÿes racines, ôc combien de faufles en chafqucEqua- iuwrdt* tion. A fçauoir ily en peut auoir autant de vraies, que ^ lés fignes s’y trouuent de fois eftxe changes. &chafqu« autant de faufles qu'il s’y trouue de fois deux figues ou deux Agnes — qui s’entrefuiuentv Comme en la dernière,a caufe qu’aprés 4-.1? 4 il ÿ a — 4** *,qui fcft vn chat*-gement du ligne -+- en *-,& apres — 19 xx ily a -4- lofiy, Dé plus il eft ayfètdé foire en Vfle méfinê Equation*. C6m«»îque toutes les raçi^ç% qui éftoienfc faufles»,deuienent on fait vrayes, & par mefmempyenquetoutesceilesqui eftoiêt 2,uufl“ vrayes deuicnentfaulfes l ffç auoir en changeant tous Je s Agnes 4- ou — qui font qn la* fecpn.de, en la anation quatriefme, en la A^iefme. ^ ou.autres places qui fe deAgnent par les noipbrcfc pairs, fans changer ceux les vrayes de la premier*--, -de la troiAefme, de la cinquiefme uu cs‘ impairs- % •. < f A v 1 > w r ' 4* i à , impairs. Comme fi au lieu de ' *9^ • on a vne Equation en laquelle il n’y a qüVne vsaye racine, qui èft y, &: trois faufles qui font 2, 5, & 4* 'Comcnt Que fi (ans conuoiftre la valeur de§ racines d'vne E- OD pcUC # - iiugmen- quation, on la veut augmenter, ou diminuer de Quelque minuer^1" connue, il ne faut qu’au lieu du terme inconnu les racines en fuppofer vn autre, quifoicpltw ou moins grand de ce-'■ te me fine quantité, &Ie fubftituer partout en là place du premier.
©ubieny » — iyy 1 y 4- 8 30 o. • où la vraye racine qui cftoit j eft maintenant S, a cauit du nombre trois qui luy eft aioufté.
Que fi on veut au contraire diminuer de trois la racine de cete mefine Equation ^ il faut faire y -H 3 x>x. &cyy-i- 6 y -t* 920 xx. & amfi des autres de façon qu'au lieu de. 9, 10$ # — i20-30«' ^ on içct — 10 6y — 318 • «i — 110 t ' Et il eft a remarquer qu’en augmentant les vrayes racines d’vne Equation, on diminue les faufles de la mef- tant les me quantitéj ou au contraire en diminuant les vrayes, on augmente les faufles. Et que li on diminue* foit les.vnes foit les autres, d’vne quantité qui leur foit ef&ale, elles f's.&aû deuienent nuHes, & que fi c'eft d’vne-quantite'qui les fur- contraire pafle, de vrayes elles deuienent faufles, ou de faufles ’ vrayes. Comme icy en augmentant de 3 la vraye racine quieftoit 3, on a diminué de 3 chafcune des faufles, çjr forte que celle qui eftoit 4 n’eft plus qu’ i, & celle <Jui cftoit 3 eft nulle, & celle qui eftoit x eft deuenue vraye & eft 1, a caufe que - 2 4- 3 fait 4- 1. c'eft pourquoy „ en cete Equation^ » - %yy — 17 4- 8 aooilny a plus que 3 racines, entre lefquellcs il y. eu a deux qui fopt vrayes, $y6 i, &8, &vnefaufTequieftaafly i. &en cetê autre im k,i y 4 4- i5 y ’ -h 7r - 4 y -- 41^ 30 « il n’y en a qu’vné vrâye qui eft 2, a caufcque -f- y ~ $ fiât -h 2, &troisfauflé$ quifont y,'d, &7. ccmeaf Or par cere façon changer la valeur des racines ortc/îc Cms les connoîftre, on peut faire deuxchôfes,qui auront fécond Cy apr^s quelque vfage: la première eft qu’on pent toüd vncE- Cours ofter le fécond terme de l’Equation qu’on exami-*}iuuon. ne^ a fçaU0I* r en diminuant les vrayes racines, de la quantité connue de ce fécond terme diuifée par le nombre des dimenfions du premier, C l’vn de ces deux termes eftantmarque'du figne-f-, l'autre eft marque du Cgntf—; oubien en l’augmentant de la meftne quantité', s’ils ont tous deux le Cgne •+-, ou tous deux le Cgnc —. Comme pour ofter le fécond terme de la demiere Equâtiô qui eft y - ■+■ l6y ’ -h ylyy — 4 y — 4 lo 30 0 4 v< J68 ^ — 4 15 ■* 420 $6 30 9.
ou la vraye racine qui eftoit 2, eft 6, a canfc qu’elle eft augmentée de 4; & les fâufles qui eftoient y, 5, &7,ne font plus que 1,2, 8c 3,, a caufe quelles font diminuées, chafcunede4.
Wt -hkaaZ?~ai Z~t- •1« '■KV te *-œtt •* & fi on trouue apres la valeur de ç, en luyadiooffant U*.
La fécondé choie, qui aura^y appes quelque vfâge, ot) p«« MCC ?eft, qu’on peut toufionrs en augmentant la valeur des fa,re<ïuc *t?qtt:‘ COU CCS vrayes racines, cTvne quantitequifoit plus grande qqe,cs£ju(rcs n’eft celle d’aucune des fàufles, faire qu’elles deuienent ”vmT * toutes vrayes.en forte qu’il n’y ait point deux fi eues -K Ecpaâo» quantité connue du troifiefme fertile foit plus grande, (*" v^yt* qnelequarrddclamoitie'de celle db fécond. Gar en- deuicncc core que cela fe face, lorfque ces fàufles racines font faulIcs‘ inconnues, ileftayfoneaumoiusdeiugera peu pfe de leur grandeur, & de prendre vne quantité', qui le$furpaflfe d’autant, ou de plus j qu’il n’cftreqaiC a cet effedh Commefiona • - - u »:, ‘ ' *•>' Mi" vid * 'liwt dljklcîmA Bbb i...x* a •» y $.78 \ La Giomztrie.
- -■ a. • Ou il eft raatiifefte, que 704 nn, qui eft la quantité connue du troifielme terme eft plus grande, que le quarre'de n, qui eft la moitiè'de telle du fécond. Et il n'y a point de cas, pour lequel la quantité, dont on augmente les vrayes racines, ait belom a cet effeâ:, d'eftre plu* grande, a proportion de celles qui font données, v que Cornent On fait que tou* tes les places d’vne E- [uation ioient pour cetuy cy.: Mais acaufe que le dernier terme s'y trouue nul, fi on, v. ne déliré pas que cela loi^il faut encore augmenter tant foit peu la valeur des racines j Et ce ne fçauroit eftre de fi peu, que ce ne foit afleiPonr cet efFe&. Non plus que lorfqu’on veut aperoiftre le nombre des dimenfions de cempkes. quelque Equation, & faire que toutes les places de lès termes foient remplies. Comme fi au lieu de x **** (, —6 ao 0, on veut auoir vue Equation, en laquelle la ..^quantirè'inconpire ait fir$menfions, & dont aucun des. termes ne foit nul, il faut premièrement pour * b*J*;3bo tir ~ h 7*»S®° . Ou ileft manifefte que tant petite que la quantité a foit:w fijppolèe Livre Troisiesme. $7> iuppôfée toutes les places de l'Equation ne IaifTent pat d'eftre remplies.
De plus on peut, fans connoiftre la valeur des vrayes Commet racines dvne Equation, les multiplier, ou diuiler tou* maintes, par telle quantité connue qu’on veut. Ceqüi Te §îuYf«*c« en fuppofant que la quantité inconnue eftant multipliée, racine» oudiuifee, par celle qui doit multiplier, ou diuifèr les [J0n*n1^. racines, eft efgale a quelque autre. Puis multipliant, ou diuifant la quantité' connue du fécond terme, par cete raefme qui doit multiplier, ou diuifèrles racines; 8c par Ton quar ré, celle du troifiefme; 5c par fon cube, celle du quatriefme; 8c ainfi iufques an dernier. Ce qui peut fer- on°rTSk uirpourreduire a des nombres entiers Scrationaux, les1” *om* fractions, ou fouuent auffyles nombres fours, qui fè^Viww trou tient dans les termes des Equations. Comme fi on a E9“atio* 8c qu’on vèuille en auoir vne autre en fà place, dont tous les tèrmës s’expriment par des nombres rationauxj il faut fuppofer y æ * V 3, 8c multiplier par if 3 la quantité connue du fécond terme, qui eft aufly V ^, & par fon ^quarré qui eft 3 celle du troifiefrae qui eft |f, &par foi» cube qui eft 3 V~ \ celle du dernier, qui eft î|,ï,ce qui fait •r y~$x>o U, ii r ~ vyy » * k m Puis fi on eu Veut auoirencorë'vné autre eu la place de - _ celle cy, dont les quantités connues ne s'expriment que par des nombres entiers; il faut fuppofer z ao 3 y, 8c multipliant 5 par 3, Y par 9, & f par 17 on çrouue * V -“9^^-+~^^-2430 0, où les ricin es eftant:ii:j,* 8c °n connoift de là que celtes dé l’autre d’auparauant t Bbb 2 eftoient SUi.îp.
Mt.
cftoient J, i, & f, &quc celles de la première eftoieot 3^ 3>t^ 3. & 3*. „ oifrTndh Oete °Pcrat‘on Peut aufly feruir pourrendre la quanquantitc titccopnuë de quelqu'un des termes de l’Equatiô cigale d^iwn a quelque autre dounëe, comme fi ayant Equation On veut auoiren fa place vne autre Equation, eu laquelc^ale a le la quantité connue, du terme qui occupe la troifiefrae qU*onUtrC placera fçauoir celle qui eft icy b bfoxt ]a a,\ 1 faut fuppofëry 30 v K -^;pnisefcnrey J ~ 3 rfdy H — jp 30 a.