entre Y A Sc Y E. il ne faut que dé» ciire un cercle dont le diamètre foit YE; & parce que ce cercle coupe la courbe A D au point D, Y D eft l’une des moyennes proportionnelles cherchées. Donc la dcmonftration fe voit à l’œil par la feule application de cet inftrumcnt fur la ligne Y D j car comme Y A ou Y B qui luy eft égale cft à Y C, ainû Y G eft à YD? $£ VDi.YE, M. De S CARTES. lOf Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre Y A & Y G, ou pour en trouver fix entre Y A & Y N, il ne faut que tracer le cercle Y F G, qui coupant A F au point F > détermine la ligne droite Y F, qui eft l’une de ces quatre proportionnelles, ou Y H N, qui coupant A H air point H, détermine Y H l’u- -ne des iix, & ainfi des aurres.
Mais, parce que la ligne courbe AD cil du fécond genre, & qu’on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les ferions coniques qui font du premier, & auflî parce qu’on peut trouver quatre ou fix moyennes proportionnelles, par des lignesqui ne font pas de genres fi compofez qufe font A F 8c A H, ce feroit une faute en Geometrie que de les y employer -, 8c e’eft une faute auflî d’autre côté de fe travailler inutilement à vouloir conftruire quelque problème par un genr^dc lignes plus Ample que fa na* ture ne permer.
Or afin que je puifle icy donner De la na quelques réglés pour éviter l’une & tu,c clcs l’autre de ces deux fautes, il faut que t:C]U1“ je dife quelque chofc en general de la tl°n*1 E v fo 6 La GEOMETRIE nature des Equations, c’cft à dire de» fommes compofées de plufieurs termes partie connus, & partie inconnus, dont les uns font égaux aux autres,, ou plutôt qui confiderez tous enfemble font égaux à rien } car ce fera fouvent le meilleur de les confiderer en cette forte.
Combien Sçachez donc qu’en chaque Equail peut y tion, autant que la quantité inconnue-' avoir de a de dimenfions, autant peut-il y chaque* avo*r diverfes racines, c’eft à dire ' Equa-C valeurs de cette quantité i car pat tien. exemple fi on fuppofe x égale à i, ou bien x — i égal à rien, 8c derechef' x Do $, ou bien x — $ yo e j en mult-ipliant ces deux équations x — i yo o, te x *— ■ j Do o l’une par l’autre, on aura. xx — 5.*:-t-<53o0, ou bien xxypjx — 6, qui eft une Equation en laquelle la quantité x vaut i, & tout enfemble vaut 3. Que fi derechef on fait x — 4 yo ot te qu’on multiplie cette fomme par XX'—ïx •+• 6 yo 0, on aura a;3 — $xx 16 x~ 14. 0, qui eft une autre Equation, en laquelle x ayant trois dimenfions a.auffitrois valeurs qui font: quelles jîdais fouyent jj arrive que quelque» Digitized t>y Google \ w b M. Dis came s. 107 iîhes de ccs racines font faufles, ou font ies moindres que rien; comme fi on fauflcs (uppofe que x dcfigne aulfi le défaut racines, d’une quantité qui foie 5, on a a: -t- 5 0, qui étant multipliée par pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à fçavoir trois vrayes qui font 2, 3 > 4, & une faillît: qui elt 5. - Com- Et on voit évidemment de ceci que la fomme d’une équation qui contient niinuer' plufieurs racines, peut toujours ê«:e le nombre divifée par un binôme compofé de la ^c* diquantité inconnue, moins la valeur de ™cnfi°n* 11 j • 1 il d une E-' I une des vrayes racines, laquelle que qUatîon ce foit, ou plus la valeur de l’une des lotfqu’on faufles, au moyen de quoy on diminue connoît d’autant fes dimenfions. ntTd^fcs Et réciproquement que fi la fomme racines C d’une équation ne peut être divifée Comi par un binôme compofé de la quan- ment oh tiré inconnue h- ou — quelque autre Pcm Cïa" quantité, cela témoigne que cette autre quantité n’eft la valeur d’aucune quantité de (es racines. Comme cette dernicre donnée J peut bien être divifée par a: — 2, & eur unc E vj racine.
ro8 La Geo met rie par x — j,& par x — 4, & par x-t- j > mais non point par x •+- ou — aucune autre quantité j ce qui montre qu’elle ne peur avoir que les quatre racines 2, 5, 4, & Combien On connoît aulîi de ceci combien; il peut y j] peur y avoir Je vrayes racines, £c avoir de corn|)jcn jg fau{fes en chaque Equaracines en tlon » a içavoir, il y en peut avoir chaque autant de vrayes que les lignes -+- & — Equa- s’y trouvent de fois être changez, & won* autant de faulTes qu’il s’y trouve de fois deux lignes -+-, ou deux lignes — ■ qui s'entreluivent; comme en la dernière, à caufe qu’aprés -+- x 4 il y a — 4.vJ, qui eft un changement du ligne ■+• en — y ôc après - — 19 x x il y a -h- 106.v,& après -h 106 je il y a > — izo qui font encore deux autres changcroens, on connoît qu’il y a trois vrayesracines & une faulle, à caufe que les-Com- deux lignes — de 4 xi, & 19 x x s’enment or, trefuivenr.
P^us ^ Pa,re cn une xacirc ” m^mc Equation que toutes les racinesd'unc E qui étoienr faulïès deviennent vrayes, o^atioi] Sc par même moyen que toutes celles devien- qufétoient vrayes deviennent faulïès, n^c s à> fçavoir en changeant tous les lignes ou • — qui font en la fécondé, en la, fkiiflvS, i by Google t> e M. Desca rtte s. iojr Quatrième, en la fixiéme, ou autres places qui Te défignent par les nombres pairs, fans changer ceux de la première, de la troifiéme, de la cinquième & femblablcs qui fe défignent par les nombres impairs. Comme fi au lieu de h- x* — 4*5- — 19 xx -+- 106* — no Do» on écrit on a une Équation en laquelle il n’y a qu’une vraye racine qui eft 5, & trois fauflès qui font 2, *, & 4.
Que fi fans connoître la valeur- des Comracines d’une Equation on la veut au- mcnt on gmenrer ou diminuer de quelque quan- menterm tiré connue, il ne faut qu’au lieu du- diminuer terme inconnu en fuppofer un autre le* raciqui foit plus ou moins grand de cette “cs <J’.une même quantité, & le fubftituer par tout ^at]°sn en la place du premier. connoî- Cornme fi on veut augmenter dè 3 trc. la racine de cette Equation **-*-4*?- — 19.v x 106 x — 110 Do 0 il faut prendre y au lieu d’*, & penfer que cette quantité y eft plus grande qu’.v de 3, en forte que y • — 3 eft égal à x, & au lieu d'xx, il faut mettre le quarré d’y — 3 qui eft y y — 6 y - +- 9, & au lien d’.v3 il faut mettre fon cube qui « — 110 yA — 87* — 1 y y h- 8 y* Do <r ou bien y*- — tyy—,iy -+- 8 >0 0, ou la vraye racine qui étoit 5 eft maintenant 8, à caufe du nombre trois qui luy eft. ajoute.
Que fi on vent au contraire diminuer de trois la racine de cette même Equation, il faut faire y -t- 3 Do * & yy-+-6y-+-<)¥)xx '■> ôc ainfi des autres, de façon qu’au lieu de on met de M. Drscaktes. ni Et il eft i remarquer qu’en augmen- Q^*cn tanc les vrayes racines d’une' Equa- augmention, on diminue' les fauflès de la me- tant 1e* me quantité, ou au contraire en dimi- Yra7es ^,, racines nuant les vrayes on augmente les on ^jm{_ fauflès j &c que fi on diminue Toit les unes nuë les foit les autres d’une quantité qui leur fauflès, & foit égale, elles deviennent nulles, & au,con" que fi c’eft d’une quantité qui les furpaf- trauc’ jfe, de vrayes elles deviennent fauflès > ou de fauflès vrayes j comme ici en.
augmentant de 3 la vraye racine qui ctoit 5, on a diminué de 3 chacune des fauflès, en forte que celle qui étoir 4 n’eft plus qu’i, & celle qui ctoit 3 eft nulle, & celle qui étoit 1 eft devenue fait -4- 1, c’eft pourquoy en cette n’y a plus que 3 racines, entre lefquellcs il y en a deux qui font vrayes, 1 & K, & une faufle qui eft auflî 1, & en cette autre il n’y en a qu’une vraye qui eft 2, à caufe Or par cette façon de changer laPc“^r” valeur des racines fans les connoître, ^r^on on peut faire deux chofes qui auront j.unc equaùon.
m La Geometris cy- apres quelque ufage *, la premier*? eft qu’on peut toujours ôter le fécond terme de l’Equation qu’on examine ] à fçavoir en diminuant les vrayes racines ' de la quantité connue de ce fécond terme divifée par le nombre des dimenfions du premier, fi l’un de ces deux termes étant marque du figne -+•, l’autre eft marqué du figne • —,ou bien en l’augmentant ac la meme quantité, s’ils ont tous deux le figne -+-, ou tous deux le figne — j comme pour ôter le fécond terme de la derniere Equation qui eft: j4 -4- \6 y -+- 71 y y — 4 y- — 410 Do 0 ayant divife 16 par 4, à caufe des 4 dimenfions du terme y4, il vient derechef 4, c’eft pourquoy je fais z — 4 Dcj>& j’écris Q — 16 z--+-t)6zz — 256^-1- 256 -+• 16 ^3- -192 *^-+-768*. — 1024- 4 Z <4- 16 * — -420 z* * — 25^— 60 z — 36 Do 0: ou la vraye racine qui étoit 2, eft 6, à caufe q u elle eft augmentée de 4, ôc les faufies qui croient 5,6, & 7, ne font plus que 1, z-, & 3, à caufe qu’elles font diminuées chacune de 4.
ï M. î)t s CÀKTI&. ftf / 'Tout de même fi on veut ôter ïo fécond terme de parce que divifant z a par 4, il vient ~ a, il faut faire z. -t- ~ a ys x Sc écrire • Z 4» - — 4* -t- 44 V * * •+• if "4 x * —.CC AC G \aACC 8c fi on trouve la valeur de £ » en Iuy ajoutant ~ a on aura celle de x. Coth- La fécondé chofc qui aura cy-aprés ment on quelque ufage eft qu’on peut tou- Pcut faire jours en augmentant la valeur des ^uc 1tou' vrayes racines, d une quantité qui loit fau{rc, plus grande que n’eft celle d'aucune des racines faufics, faire qu’elles deviennent toutes d’une Evrayes, en forte qu’il n’y ait point deux <Juat*on r \ r * 1. y dcvicniigncs -4- ou deux lignes • — qui s entre- ncnt fui vent, 8c outre cela que la quantité vrayes, connue du troifiéme terme foit plus fans que grande que le quarré de la moitié de les vrayes celle du fécond j. car encore que cela fc ^cniftîüf- «4 £a GêOMSTRïB farte, 1 or (que ces fauftès racines’ foui inconnues, il eft aifé neanmoins de juger à peu prés de leur grandeur, SC de prendre une quantité qui les furparte d’autant ou de plus qu’il n’eft requis à cet effet, comme fi on i x6 h- »,vT — 6 n n x4 -+■ j6 »5 xs — Zl6 »4 x1 -4- \tç)G x — 777*5 n6 o, en faifant y — 6 n y> x y on trouvera mS -H — 777$»tf Ou il eft manifefte que 504»», qui eft la quantité connue du troifiéme terme eft plus grande que le quarré de ~~ n, qui eft la moitié de celle du fécond; & il n’y a point de cas pour lequel la quantité dofit on augmenre lesvrayes racines, ait befoin à cet effet d etre plus grande, à proportion de \ Ive M. Dïscartbî. îTj telles qui font données, que pour ccluy-cy.
JMais à caufc que le dernier terme Corn* *’y trouve nul, fi on ne dcfire pas que T1?01 on cela foit, il faut encore augmenter tant foit peu la valeur des racines, & ce p|accs ne fçauroit être de fi peu > que ce ne d'une Efoit affez pour cet effet, non plus que quation loifqu’on veut accroître le nombre ^nj;c> des dimenfions de quelque Equation, ” ‘ & faire que toutes les places de fej termes foient remplies > comme fi au lieu de X* * * * * — 6 o, on veut avoir une Equation, en laquelle la quantité inconnue ait fix dimenfions, éc dont aucun des termes ne foit nul, il faut premièrement pour * * * ¥ — b 20 » écrire x6 * * * * — b x* 3 o » puis ayant fait y > — a y> x, on aura — y y *b Où il eft manifefte que tant petite que la quantité a foit fuppofée, tontes les places de l’Equation ne laiiTent pas d’être remplies.
De plus on peut, fans connoître la Comvaleur des vrayes racines d’une Equa-mCBt on lion > les multiplier ou divifer toutes La Ôiômêï iivifcrles par telle quantité connue qu’ort Vâlltl «S- cc en fuppolant que li connoî- ^lUantirc inconnue étant multipliée ouf tic, divifée par celle qui doit multiplier ou divifer les racines, eft égale à quelque autre. Puis multipliant ou divifane la quantité connue du fécond terme par cette même qui doit multiplier ou divifer les racines, ôc par fon quatre celle du troifiéme; <5 c par fon cube celle du quatrième > & ainfi jufquc* Com- au dernier. Ce qui peut fervir pou# ment ou réduire à des nombres entiers & rationreduu les naux> }es fra<q;ions ou fouvent auifi les rompus nombres lours qui le trouvent dans les d’une E- termes des Equations, comme fi on a quation à*3 — Y $ xx -+- ~ X -yy o, tiers C°” ^ qu’on veiiille en avoir une autre en fa place, dont tous les termes s’expriment par des nombres ratio nnaux, il faut fuppofer y y> xY Sc multiplier par Y 3 ia quantiré connue du fécond terme, qui eft auffi Y 3, & par (on quari c qui eft 3 celle du rroitïéme qui eft ~~, & par fon cube qui eft 3 Y 3 celle du dernier qui eft — ~, ce- qui fait y — $yy ^fy — I >0 0 3 Puis il on en v eut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les quantitez connues ne t>* M. DiifcAiitiï.
^expriment que par des nombres entiers, il faut fuppoier ^ 30 \y, Se multipliant j par j, ~ par 9, & *• par 17 on trouve zd — 9 zx •+■ ^0 0, où les racines étant t, 3, & 4, on connoît de-li que celle de l’autre d’auparavant étoient 1, & |, ic que celles de la première étoient 1V3,? V j.
Ce.te operation peut auffi fervir pour Com* rendre la quantité connue de quel- mcn,c,on quundes termes de 1 Equation égalé à quantité quelque autre donnée, comme fx ayant connus On veut avoir en fa place une autre dcs c<;r- Equation,en laquelle la quantité connue Equation du terme qui occupe la troifiéme place, égale à ° à fçavoir celle qui eft ici b b foit 3 a a, il telle auc r c VTZ*.,. trc faut luppoler y 30 x, puis écrire veut.
f * -3 Au refte tant les vrayes racines que Que les les faulTes ne font pas toujours réelles, Peines mais quelquefois feulement imaginaires* rant c eft à dire qu’on peut bien toujours en qUe faufiroaginer autant que j’ay dit en cha- les peuque Equation; mais qu’il n’y a quel- vent être qnefois aucune quantité qui correfponde pelles o« à celles qu’on imagine: comme encore 3 «3cJ ♦ A tA üïOMBtltlï qu’on en puilfc imaginer trois en celle-*, ci#*- — 6 xx -+- 13 x — 10 ~X> 0 i il n'y en a toutefois qu’une réelle qui eft 1, éc pour les deux autres, quoy qu’on les augmente, ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d’expliquer, on ne fçauroit les rendre autres qu’imagina 1res.
tx redu- Or quand pour trouver la conftrtïilion 4e* éfcion de quelque problème on vient 1 Equa- une Equation en laquelle la quantité non* eu- inconnuc a trois dimenfions *, premieloifquc le rement fi les quantitez connues qui J problème font contiennent quelques nombres tA plan, rompus, il les faut réduire à d’autres entiers par la multiplication tantôt expliquée i & s’ils en contiennent de fours, il faut aulfi les réduire à d’autres rationnaux, autant qu’il fera poffible, tant par cette même multiplication, que par divers autres moyens qui font allez faciles à trouver j puis examinant par ordre toutes les quantitez qui peuvent divifer fans fraétion le dernier terme, il faut voir fi quelqu’une d’elles, jointe avec la quantité inconnue par le ligne -h ou —, peut compofer un binôme qui divife toute la fommei <8c û çcla eft, le problème eft plan > \ f \ tu M. Descartîs. ît£ it'eft à dire, il peut être conftruic avec la réglé Sc le compas *, car ou bien la quantité connue de ce binôme eft la racine cherchée, ou bien l’Equation étant diviféc par luy, fe réduit à deux dimenfîons, en forte qu’on en peut trouver après la racine, par ce qui a été dit au premier livre.
Par exemple fi on a y6 ■ — 8 y* — 114 y1 — 64 Do #. ïc dernier terme qui eft <>4, peut être divifé fans fraârion par 1, 1,4,8,! 6, Iy* — 8>4— a, y y — . 16 16 ___ + y + + 4?>»•, Je commence par le dernier terme, &r j diviie p d4 par •— 16, ce qui fait -+- 4 unC£4U1. que j’écris dans le quotient, puis je tion par multiplie -+- 4 par y y, ce qui fait uabhor tld LA CïôMïfiuf, * jfte qui -1- 4 77 > c’eft pourquoy j’écris — • 47J «onticnt en la lornme qu’il faut divifer; car il # racine, y faut toujours écrire le ligne ou — tout contraire à celuy que produit la multiplication, & joignant — 1*477 avec — 477 j j’ay — 11877 que je divife derechef par — 16, &c j’ay -+- 877 pour mettre dans le quotient, & en le multipliant par y y, j’ay — S y4 pour joindre avec le terme qu’il faut divifer qui eft aufll — 8 y4-, & ces deux enfcmble font — 1 6 y* que je divife pat — 16, ce qui fait -+- iy+ pour le quotient^ — 17* pour joindre avec — iy6t ce qui fait 0, &c montre que la divilion eft achevée; mais s’il étoit refté quelque quantité, ou bien qu’on n’eût pu divifer fans fraétion quelqu’un des termes precedens, on eût par là reconnq qu’elle ne pouvoit être faite.
Tout de même fi on a y* -+- aa — Uc — A* — ia+ec — a*c* 20 9, le dernier terme fe peut divifer fan* fra&ion par a, a*, aa •+■ cc, x* -+- acc, & femblablcs \ mais il n’y en a que deux qu'on ait befoin de confiderer, à fçavoir a a ôc a a -t-cc; car les autres donnant plus ou moins de dimenlions dans DH DISCARTES* IM idans le quotient, qu’il n’y en a en la quantité connue du pénultième terme, empêcheroient que la divifion ne s’y pût faire. Et notez que je ne conte icy les dimenfîons djf* que pour trois, à caufe qu’il n’y a point dy, ny d 'y*, ny d ’y en toute la Comme. Or en examinant le binôme y y — a a — cc o, on trouve que la divifion fe peut faire par luy en cette forte.
Mais lorfqu’on ne trouve aucun bi- Quels nome qui puiffe ainfi divifer toute la Pr°bféfomme de l’Equation propoféc, il eft mcs fonc ?ue Pc°^ q“i « dépend elt lohdej oc ce neit pas une moindre l’Equafautc après cela détacher à le conftruire «on eft fans y employer que des cercles Sc cu^“iue^ des lignes droites, que ce feroic d employer des feétions coniques â F -ni La Geometïiii conftruire ceux aufquels on n’a befoin que de cercles j car enfin tout ce qui témoigne quelque ignorance s’appelle faute.
jej" Qile ^ on a unc Equation dont la E °a C* inconnue ait quatre dimentions qui «Pus > il faut en meme taçon, apres om qua- en avoir ôté les nombres fours &ç tre di- rompus s’il yen a, voir fi on pourra «enflons, trouvcr quelque binôme qui divife problème toute 1® ‘oramc > cn le compolant de eft plan, l’une des quantitez qui divifent fins Et quels fra&ion le dernier terme j & fi on en font ceux trouve un, ou bien la quantité connue &cr de ce binôme eft la racine cherchée. ou du moins après certc divifion il ne refte en l’Equation que trois dimenfions, enfuite dequoy il fiut derechef l’examiner en la même forte; mais lorf. qu’il ne fe trouve point de tel binôme, il faut en augmentant ou diminuant la valeur de la racine, ôter le fécond terme de la fomme en la façon tantôt expliquée s après la réduire à une autre qui ne contienne que trois dimenfions, ce qui fe fait en cette forte; Au lieu de il faut écrire *.
p x x. tj x. r o y DE M. DeSCARTES. UJ Et pour les figqes -+- ou — que j’ay obmis, s’il y a eu p en la precedente Equation, il faut mettre en celle cy -+- i p, ou s’il y a eu — p, il faut mettre — z v; & au contraire s’il y a eu -+- r, il faut mettre — 41-5 ou s’il y a eu — r, il faut mettre -h 4^5 & foit qu’il y ait eu -+- <y ou — ej, il faut toujours mettre — qq, & -+- pp; au moins fi on (iippofe que a:4 &c y6 font marquez du figne -+-, car ce feroit tout le contraire fi on y fuppofoit le figne —.
Par exemple fi on a -+- x* * « — 4 xx — 300, il faut écrire en faut mettre ^L\\cyy, c’eft à dire — 114, au lieu de yy \ & enfin tj étant 8, il faut mettre — C>\ pour — qq. Tout de même au lieu de il faut écrire car 34 eft double de 17, & 313 en eft le F ij 114 La -GEOMETRIE quarré joint au quadruple de G j ÔC 40^ eft le quarré de zo.
Tout de même auflî au lieu de -z+ ~aa — 45 -+-77 44 ‘Lee 30 "> ‘ 77 • — ■ c — acc il faut écrire — -14 c 4 Car p eft -+-744 — cc, ôc pp eft Après que l’Equation eft ainft réduite à trois dimenfions, il faut cherr cher la valeur à' y y par la méthode déjà expliquée; ôc \\ celle ne peut être trouvée, on n’a point befoin de pafler outre; car il fuit de -là infailliblement que le problème eft folide: mais fi on la trouve, on peut divifer par fon moyen la precedente Equation en deujc autres, en chacune defquelles la quantité inconnue n’aura que deux dimenfions, ôc dont les racines feront les mêmes que les fiennes; à fçavoir, au lieu de -+- x* *.pxx.ejx.r y> 0, il faut écrire ces deux autres h- — en celle où il va — iy J ' i y 44 il U en celle où il y a -+- y x. Enfuite dequoy il eft aifé de connoîtrc toutes les racines de l'Equation proposée, 6c par Confequent de conftruire le problème-, dont elle contient la folution, fans y employer que des cercles 6c des lignes droites.
l Digilized by Google lié La Giometrie tirant les racines de ces deux Equations, on trouve toutes les mêmes que fi on les tirait de celle où eft x+, à fç avoir on en trouve une vraye, qui eft y 7 •+- i, & trois fauilès, qui lont y 7 ■ — x > 2 y i, & x — y z. Ainfi ayant x* — 4 xx — 8at-»-35 0, parce que , x,y qu on ne trouve aucune racine, ny vraye ny fauflè en ces deux dernieres Equations, on connoîc de-là que les quatre de l’Equation dont elles procèdent font imaginaires; & que le Problème, pour lequel on l’a trouvée, eft plan dans fa nature; mais qu’il ne fçauroit en aucune façon être conftruir, à caufe que les quantitez données ne peuvent fe joindre.
Tout de même ayant — "U — fe — accJ • h- ^4 *o y) 0. --AACQ ^ * * »#■ hb M. Descartes. 117 jJarce qu on trouve a a -+■ c c pour y y y il faut écrire & parce que nous avions fait cy-deftus ~_»i Do x,1 nous apprenons que la quantité *■ pour la cofinoiftancc de laquelle nous avons fait toutes ces operations eft -+- i a -r- y 4 a a -+- Uc —.
1 4 4 y Mais afin qti’on puifle mieux con- Exemple noître l’utilité de cette réglé, il faut que del’ufage je l’applique à quelque Problème. dc ces re- Si le quarré A D & la ligne B N duaions’ étant donnez, il faut prolonger le côté A C jufqucs à E, en forte qu’E F tirée d E vers B, foit égale à N B. On apprend de Pappus qu’ayant premiercrement prolongé B D jufques à G, en forte que D G foit égale à DK, & "‘T nS La Gïometius ayant décrit un cercle dont le diamCtfft fort B G, fi on prolonge la ligne droite A C, elle rencontrera la circonfercnct de ce cercle au point E qu’on demandoit r Mais pour ceux qui ne fçauroient point cette conftruârion, elle feroit afièz difficile à rencontrer > 8c en la cherchant par la méthode icy propofée, ils ne s’aviferoient jamais de prendre D G pour la quantité in--connuë, mais plutôt CF ou F D » a caufe que ce font elles qui conduifent le plus aifément à l’Equation-, 8c lors ils en trouveraient une qui ne ferait pas facile à demeler fans la réglé que je viens d’expliquer -, car pofant a pour ^ P ou CD, & c pour EF, 8c x N JP eft > puis à caufe du triangle rectangle B D F > dont les cotez (ont l’un x, & l’autre a, leurs quarrez qui font xx -+• * a font égaux à ccluy de la bafe, multipliant le tout par xx — iax -+-aay on trouve que l’Equation eft x + — i a *3 -+- iaaxx — zaKx -ha* x> ccxx, ou bien on coonoît par lés réglés precedentes que fa racine, qui eft la longueur delàligne df, eft 14-+- Que fi on pofoit BF, ou CE, ou BE pour la quantité inconnue, onviendrait derechef à une Equation en -laquelle il y aurait 4 dimenfions, mais qui ferait plus aifée à démêler, & on y viendrait allez aifément, au lieu que f\ c’étoit D G qu’on fuppofât, on viendrait beaucoup plus difficilement à l’Equation, mais auffi elle feroit-tres-fimple. Ce que je. mets icy F. v IM i$c La Geo metri e pour vous avertir, que lorfque le problème propofé n’eft point folidc, li en le cherchant, par un chemin on vient à une Equation fort compolée, on peut ordinairement venir à une plus fimple, en le cherchant par un autre.
Je pourrois encore ajouter diverfes réglés pour demêler les Equations qui vont au Cube, ou au Quarré de quarré, mais elles feroient fuperfleës; car lorfque les Problèmes font p'ans, on en peut toujours trouver la conftru&ion par celles-ci.
Règle Je pourrois auffi en ajouter d’autres generale pour les Equations qui montent jufpour re- qUes au flirf0ü^e ou au quarté de cube, Equa- ou au de la, mais j a me mie. x les tions qui comprendre toutes en une, & dire en partait li general, que lorfqm’on a tâché de les quatre de réduire à même forme que celles d’auquarre. ranr dimenfions qui viennent de la multiplication de deux autres qui en ont moins, & qu’ayant dénombré tous les moyens par lefquels cette multipli-* cation cft pcflïble, la chofe n’a pu fucceder par aucun, on doit sulfurer qu’elles jne fçauroient être réduites à de plus (impies j en forte que Ci la quantité inconnue a 3 ou 4 dimen- < DE M. D B S CA RTE S. IJt fions » le Problème pour lequel on U cherche eft folide; 8c fi elle en a 5 ou 6, il eft d’un degré plus compofé, 8c ainfi des autres.
Au rcfte j’ay obmis icy les démonftrations de la plupart de ce que j’ay dit j à caufe qu’elles m’ont femblc fi faciles, que pourvu que vous preniez la peine d’examiner méthodiquement • fi j’ay failli, elles feprtfcnteront à vous d c le-même; 8c il fera plus utile de les apprendre en cette façon, qu’en les lifant.
Or quand on eft afi'uré que le Pro- Façongeblême propofé eft folide, foit que I’E- ncrale quation par laquelle on le cherche Pouf con* monte au quarré de quarré, foit qu’el- t0r^s'r^cs le ne monte que jufques au cube, on prob!épeut toujours en trouver la racine mes foli- }>ar l’une des trois ferions coniques, des > aquellc que ce foit, ou même par * quelque partie de 1 une d elles, tant tion ‘jç petite qu’elle puifte être, en ne fe fer- trois ou vantau refte que de lignes droites 8c de quatre dicercles; mais je me contenteray ici de mcn(,on9* donner une réglé generale pour les trouver toutes par le moyen d’une parabole, à caufe qu’elle eft en quelque façon la plus fimple.
Premièrement il faut ôter le fécond F vj ijz La Géométrie t — q r < »E M. DlSCÀRTlSi ïj|' Après cela fuppofant que la parabole F A G eft déjà décrite, & que Ton atffieu eft ACDKL, 8c que Ton côtédroit eft a ou i, dont AC eft la moitié, & enfin que le point Ç eft au dedans de cette parabole, & que A en eft le fommet, il faut faire C D 2P ~ p, & la prendre du même côté qu’eft le point A au regard du point C, s’il y a t+- p en l'Equation; mais s’il y a — p s.
1J4 La GEOMETRIE il faut la prendre de l’autre côté } Sc du gpmt D » ou bien fi la quantité p étoit nulle, du point C il faut élever une ligne à angles droits jufques à E, en forte qu’elle foit égale à j ej; & enfin, du centre E il faut décrire le cercle F G, dont le demi diamètre foit A E, fi l’Equation n’eft que cubique, en forte que la quantité r foit nulle % mais quand il y a -+■ r, il faut dan* cette ligne AE prolongée, prendre d’un côté A R égale à r, £c de l’antre AS égale au côté droit de la parabole qui eft i y & ayant décrit un cercle » E M. D I S C A R T I S.!$$ dont le diamètre Toit R S, il faut faire A H perpendiculaire fur A E, laquelle A H rencontie ce cercle RH S au point H j qui eft celuy par où l’autre cercle F H G doit pafl'er. Et quand il y a — r y il faut apres avoir ainfi trouvé la ligne AH infcrire AI, qui luy foir égale dans un autre cercle, dont AE fo't le diamètre, & lors c’eft par le point I La Gîomîtr xi que doit palfer F I G le premier cer2 cle cherché. Or ce cercle F G peut couper ou toucher le parabole en i, ou 1, ou }, ou 4 poincs, defquels tirant dés perpendiculaires fur l’ailïreu, on a toutes les racines de l'Equation tant vrayes que fauiîès; à Fçavoir fi la' quantité q eft marquée du ligne -+•, lès vrayes racines feront celles de ces> perpendiculaires qui fe trouveront du> même côté de la parabole que E le centre du cercle, comme FL, & les autres, comme G K feront faillies y mais au conjraire li cette quantité q eft « marquée du ligne - — les vrayes feront celles de l’autre côté, & les faulfes ou moindres que. rien feront du côté ou; e# E le centre du cercle. Et enfin li ce cercle ne coupe ny ne touche là parabole en aucun point, cela témoigne ' qu’il n’y a aucune racine ny vraye ny faillie en l’Equation, & qu’elles font toutes imaginaires: en forte que cette'- regle eft la plus generale & Jâ plus accomplie qu’il foit pofîible de fouhaiter.
Et la démonftrarion en eft fort aifée; car fi la ligne G K trouvée par cette conftruétion fe nomme t, AK fera Zj Z-, à caufe de là Parabole en laquelle Digilized by Google Bî k Bï S CARTE s; 137 G K doit être moyenne proportionnelle entre AK, & le côté droit qui eft 1 5 puis (i de AK jote AC qui eft i & CD qui eft {p, il refte DK ou EM, qui eft £ -ï p —.i, dont le quarré eft: p.
q .
V deux quarrez, on a ^t+^+ÏM+i^ + ^ + J, pour le quarré de la ligne GE,a caule quelle eft la bafe du triangle rc&anglc EM G.
Mais à caufc que cette même ligne G E eft le demi diamètre du cercle F G » elle fc peut encore expliquer enl d’autres ternies, à fçavoir Ê D étant \ q, &c AD étant ~ p ~ E A eft ïp + ï»1 cauff de l’angle droit A D E 5 puis H A étant moyenne proportionnelle entre A S qui eft i & A R qui eft r, elle eft V r, ÔC à caufc de l’angle droit EAH, le quarré de HE ouEG eft Ci bien qu’il y a Equation entre cette Comme & la precedente; ce qui eft le meme que zA 20* p 7^ —? *• -+- r » Si par confequent la ligne trouvée G K qui a été nommée z eft la racine de cette Equation > ainfi qu’il falloir démontrer. Et fi vous appliquez ce meme calcul à tous les autres cas de cette réglé, en changeant les fignes -+- & — félon l’occafion, vous y trouverez vôtre conte en même forte, fans qu’il foit befoinqueje m’y arrête.
t>£ M. DeSC ART! S. 139 Si on veut donc, fuivant cette réglé, trouver deux moyennes proportionnelles entre les lignes 4 & q, chacun fçait que pofant z. pour l’une, comme 4 cft à ** 1 tion de F A G étant décrire, avec la partie de fon aiffieu A C, qui eft i 4 la moitié du côté droit, il faut du point C élever la perpendiculaire C E égale à f q, & du centre E par A, décrivant le cerî-a Va çon de dj'vifcr un angle cn trois.
140 La Geometri!
Jes deux moyennes cherchées.
Tout de même fi ori veut divifer* l’angle N O P ou bien l’arc ou portion7 de cercle N Q_J P en trois parties' égales, faifitnt NO ÿx, pour le rayon du cercle', Sc N P 30 cj, pour la fubrendue de l’arc dohné, & N Qjo z.,. pour la fubtenducdu tiers de cet arc, i’Equation vient zi 50 *?*. — 7; car ayant tiré les lignes N O Q, O T, & faifant Q^S parallèle à T O, on voit que comme N O eft à N airifi NQJ QR, & QR à RS, en forte que N O étant 1, & NCL.ctanc z.
DE M. DeSCARTES. 14* eft ^7, & R S cft; 5c à caufc qa’il s’en faut feulement R S ou que la ligne N P qui eft ej ne foit rri.- pie de N Qqui eft z., on a^ 30 ou bien jp * 5^ —?.
Puis la parabole F AG étant dér crite, 5c C A la moitié de fon côté droit principal étant ~, fi on prend C D y) ~, & la perpendiculaire D E 2P 7 q ■> 2>c que du centre E par A } on décrive le cercle F A g G > il coupe cette parabole aux trois points F, g, 5c G, fans conter le point A qui en eft le fommet: ce qui montre qu’il y a trois racines en cette Equation, à fçavoir les deux GK,& g qui font vrayesj Sc la troifiéme qui eft faufle, à fçavoir FL. Et de ces deux vrayes c’eft £^la Îlus petite qu’il faut prendre pour la igné NQ_,qui étoit cherchée; car l’autre G K eft égale à NV, la fubtendue de la troifiéme partie de l’arc M V P, qui avec l’autre arc N Q_P achevé le cercle j 8c la 'fauftë F L eft - égale à ces deux enfemble Qjq & FJ V, ainfi qu’il eft aifé à voir par le calcul.
Il feroit fuperflu que je m’arrêtafte Qjetous ♦ * I4t La GEOMETRIE foliées fe tous Problèmes qui ne font que peuvent folides fe peuvent réduire à tel point réduire à qU’on n a aucun befoin de cette réglé ces deux p0g»r jes conftrujfe, finon en tant