73 La Geomeui! tient neceflairement deux racines qui font inégales. Car par exemple fi ce cercle couppe la courbe aux points C & E, ayant tiré E Q. parallèle à C M, les noms des quantitez indéterminées * 6c y, conviendront auflï bien aux lignes E Q^, & Q_A, qu a C M, & M A; puis PE dl égale à PC, à caufe du cercle, fi bien que cherchant les lignes E QJk Q_A, par P E & P A qu’on fuppofe comme données, on aura la même équation, que fi on chcrchoit CMK MA par PC, P A; d’où il fuit évidemment que la valeur d'x ou d’y, ou de telle autre quantité qu’on aura fjppofée, fera double en cette équatio i, c'eft à dire qu’il y aura deux racines / inégales entre el’es -, & donc l’une fera CM, l’autre E Q^, fi c’eft a: qu’on cherche -, on bien l’une fera M A, 8c l’autre QJV, fi c'eft y, & ainfi des autres. Il eft vray que fi le point E ne fe trouve pas du même côté de la courbe que le point C » il n’y aura que l’une de ces deux racines qui foit vraye, & l’autre fera renverfée ou moindre que rien: mais plus ces deux points C & E font proches l’un de 1 autre, moins il y a de différence entre ces deux racines •, & enfin elles font entièrement égales, s’ils font tous deux joints en un; c’eft à dire fi le cercle qui paffe pat C, y louche la courbe C E fans la couper.
De plus, il faut confiderer que lorfqu’il y a deux racines égales en une équation, elle a neceftairement la même forme que fi on multiplie par foym&ne la quantité qu’on y fuppofe être inconnue moins la quantité connue qui luy eft égale, &c qu’aprés cela fi. cette dernière fomme n’a pas tant de dimenfions que la precedente, on la multiplie par une autre fomme qui en ait autant qu’il luy en manque, afin qu’il puifiê y avoir fcparcment équation entre chacun 4cs termes de l’une, & fi La Giomitru m chacun des termes de l’autre.
Comme par exemple, je dis que la première équation trouvée cy-deffus, à doit avoir la même forme que celle qui fe produit en faifant e égal à y, & multipliant y — e par foy même, d’où il vient y y — iey*-eete n forte qu’on {îeut comparer feparément chacun de eurs termes, & dire que puifque le premier qui eft y y eft tout le même en l’une qu’en l’autre > le fécond qui eft q — 9 cond de l’autre qui eft — iey, d’ou cherchant la quantité v qui eft la ligne ?
à caufe que nous avons fuppofé e égal i^onavjoy^^ + jr. Et ainû du M. Dïscartiî. 75 «ipfi on pourroit trouver s par le troifiéme terme e e y> —, mais ? — J parce que la quantité v détermine affez le point P, qui eft le feul que nous cherchions, on n’a pas befoin de palfer outre.
Tout de même la fécondé équatio» trouvée cy-delfus, à fçavoir, — l c d~) H- d dv "tO -H k 4 e ck de façon que de ces deux équations j’en tire fix autres, qui fervent à connoître les fix quanticez f, g, h,l^>vSc r. D’où il eft fort aifé à entendre que de quelque genre que puifl'e êcre la ligne D * « 74 LaGeometri* courbe propofée, il vient toujours par cette façon de procéder autant d’équations, qu’on eft obligé de fuppofer de quantitez qui font inconnues. Mais pour démêler par ordre ces équations, & trouver enfin la quantité v, qui eft la feule dont on a befoin, & à l’occalion de laquelle on cherche les autres: il faut premièrement par le fécond terme chercher/, la première des quantitez inconnues de la derniere fomme, &c on trouve/;» i e — i b.
Puis par le dernier il faut chercher ^ la derniere des quantitez inconnues de la même fomme, tk on trouve b 2o bheedd. e e Puis par le troifiéme terme il faut chercher g la fécondé quantité, & on a g g 20 $ee' — 4 be — icd-+- bb -+- d d. Puis par le pénultième il faut chercher h la pénultième quantité, qui eft y y>, Et ainfi il «3 il faudtoit continuer fuivant ce même ordre jufques à la derniere, s’il y en avo’t davantage en cette fomme; car c’eftehofe qu’on peut toû.ours faire en même façon.
©I M. DîSCARTfl l\ 'Puis par le terme qui luit en ce même ordre, qui eft ici le quatrième, il faut chercher la quantité v, & on a a eeeî lieu d’f qui luy eft égal, on a d d d d ad d J / yy y* r AP.
Et ainfi la troifîcme équation, qui eft D ii 7 6 La Geometrih d’où on connoîc que la quantité v eft C’eft pourquoy compofant la ligne ï A JM P O A P de cette fomme égale à v dont toutes les quantitez font connues, & tirant du point P ainfi trouvé une ligne droite vers C j elle y coupe la courbe C E i angles droits, qui eft ce qu’il falloir faire; & je ne voy rien qui empêche ?[u’on n’étende ce problème en même açon à toutes les lignes courbes, qui tombent fous quelque calcul Géométrique.
Même il eft à remarquer toucha^j^a xr de M, Descartes. 77 dcrmerc femme qu’on prend à difcrecion pour remplir le nombre des dimenfions de l’autre fommedorfqu’il y en manque, comme nous avons pris tantôt -+■ fyi -+- ggyy -+■ fa y ky; que les lignes -+- 6c — y peuvent être fuppofez tels qu’on veut, fans que la ligne v ou A P fe trouve diverfe pour cela, comme vous pourrez aifément voir par expérience; car s’il falloit que je m’arrètaflè à démontrer tous les Théorèmes dont je fais quelque mention, je feroi» contraint d’écrire un volume beaucoup plus gros que je ne defire. Mais je veux bien en paflant vous avertir que l’invention de fuppofer deux équations de même forme, pour com- Farer feparément tous les termes de une à ceux de l’autre, ainfi en faire naître plufieurs d’une feule, dont vous avez vû icy un exemple, peut fervir à une infinité d’autres Problèmes > & n’eft pas l'une des moindres de la méthode dont je me fers.
Je n’ajoute point les conftruébions par lefquelles on peut décrire les contingentes ou les perpendiculaires cherchées, enfuite du calcul que je viens d’expliquer, à caufe qu’il eft toujours D üj 7? La Geomhtrii arfé de les trouver, bien que Couvent o* ait befo n d’un peu d’adreflè pour le» rendre courtes 6c fimples.
Comme par exemple fi D C eft la Exemple première conchoïde des anciens » dont de la con- A Coit le pôle, 6c B H la réglé j en ftruaion furte que routes les lignes droites qui decepr°- rdent vers A, 6c font coraprifes la con-' entre la courbe CD, 6c la droite B H-, choïdc. comme D B 6c C E foient égales, 8c qu'on veuille trouver la ligne C G qui la coupe au point C a angles droits. On pourroit en cherchant dans la ligne B H le point par où cette ligne CG doit pafTer, félon la méthode icy expliquée, s’engager dans un calcul autant ou plus long qu’aucun des ptecet> £ M. Descartes. 79 tiens; & toutefois la confttudion qui di’vioic après en être déduite eft fort fimple. Car il ne faut que prendre CF en la ligne droite CA, & la frire égale à CH qui eft perpendiculaire fur H B; puis du point F tirer F G, parallèle à B A, & égale à E A, au moyen de quoy on a le point G, par lequel doit pafter C G la ligne cherchée.
Au refte afin que vous fçaehiez que Explicala conftderation des lignes courbes icy tion «le {•ropofée n’eft pas fans ufaee, 8c quel- 4 nou~ es ont diverfes proprietez qui ne ce- rcs dent en rien à celles des fedions coni- d’Ovales, ques je veux «jouter encore icy l’explica- qui fertion de certaines Ovales que vous ver- v,cm rez être tres-utilcs pour la Théorie de la 1 Caroptrique & de la Dioptrique. Voicy la façon dont je les décris.
Premièrement ayant tiré les lignes D iiij To La GEOMETRIE s droites F A &: A R qui s’entrecoupent au point A, Tans qu’il importe à quels angles, je prens en l’une le point F à difer tion, c’tft à-dire plus ou moins éloigné du point A félon -que je veux faire ces Ovales plus ou moins grandes,, & de ce point F comme centre je décris un cercle qui pafle quelque peu au delà du point A, comme par le point 5, puis de ce po;nt 5 je tire la ligne droite s 6, qui coupe l’autre au point 6, en forte qu’A 6 (oit moindre qu’A 5, félon telle proportion donnée qu’on veut, à fçavo r (don celle qui melure les Refractions fi on s’en veut fervir pour la Dioprtique. Apiés cela je prens auflîle point G en la ligne F A du côté où eft le po:nt 5 à discrétion, c’eft-a-dire en fafant que les lignes AF & G A ont entre elles telle proportion donnée qu’on veut. Puis je fais R A égale à GA en la ligne A 6, & du centre G décrivant un cercle, dont le rayon foit égal à R 6 y il coupe l’autre cercle de partfic d’autre au point 1, qui eft l’un de ceux par où doit pafter la première des Ovales cherchées. Puis derechef du centre F je décris un cercle qui j>a£Te un peu au deçà, ou au delà du de M. Descarths. Si de M. Descarths. Si point 5, comme par le point 7, de ayant tiré la ligne droite 7 8 parallèle à 5 6, du centre G je décris un autre cercle, dont le rayon eft égal à la ligne R 8, 5c ce cercle coupe celuy qui pafl'e par le point 7 au point 1, qu eft encore l’un de ceux de la même Ovale. Et ainfi on en peut trouver autant d’autres qu’on voudra, en tirant derechef d'autres lignes parallèles à 7 8, & d’autres cercles des centres F 5c G.
Pour la féconde Ovale il n’y a point de différence, ftron qu’au lieu d’AR il faut de l’autre côté du point A preneeluy qui eft décrit du centre F & quf pall'e par le point 5, foit égal à la ligne S 6, ou qu’il foit égal à S 8, fi c’dfc pour couper eeluy qui pafle par le point 7, 5c ainfi des autres; au moyen de quoy ces cercles s’entrecoupent aux points marquez 1, 2, qui font ceux de cecrc fécondé Ovale A z X.
Pour la troifiéme & la quatrième, au, lieu de la ligne A G il faut prendre A H de l’autre côté du point A, à fçavok du même qu’eft le point F. Et il y a icy déplus à obferver que cette ligne AH doit être plus grande que A F, laquelle peut même être nulle, en forte que le point F fe rencontre où eft le point A en la deferiprion de toutes ces ovales j après cela les lignes AR &, A-S étant v* M. Dbscartïs. Sj égales à A H, pour décrire la troifiéme ovale A 3 Y, je fais un cercle du centre H, dont le rayon eft égal à S 6, qui coupe au point 3 celuy du centre F qui palTe par le point 5; 5c un autre donc le rayon eft égal à S 8, qui coupe celuy qui paftc par le point 7 au point aulfi marqué 3, 5c ainfi des autres. Enfila pour la derniere ovale je fais des cercles du centre H, dont les rayons font égaux aux lignes R 6 R 8 & femblables, qui coupent les autres cercles aux points -marquez 4.
On pourroit encore trouver une infinité d’autres moyens pour.décrire ces memes ovales, comme par exemple, «n peut tracer la première A V, 1er* D vj $4 L A GEOMETRIE qu'on fuppoie les lignes FA 8c A G être égales, fi on divife la c ute F G au point L, en forte que F L foit à LG comme A s à A <î, c’eft à dire qu’elles ayent la proportion, qui mefure les refra&ions. Pins ayant divifé A L en deux parties égales au point K, qu’on faiTe tourner une réglé comme F E autour du point F, en prefiant du doigt C la chorde E C, qui étant attachée au bout de cette réglé vers E » fc replie de C vers K, puis de K derechef vers C, & de C vers G, ou foa autre bout foit attaché? en f rte que Ja ’ongueur de cette chorde foit compoiée de celle des lignes G A plus A L plus F E moins AF, èc ce fera le mouvement du point C, qui décrira cette $>yale, à l’imitation de cc qui a été dit de M. Descartes. Î5 en la D oprriqiie de l’Ellipfe fk de l’Hyperbole; mais je ne veux pont m’arrêter plus long-temps fur c< fuet.
Or encore que toutes ces ovales femblent être prefque de même nat ure, elles font neanmoins de quatre divers genres, chacun defquels cont ent fous loy une infinité d’autres genres, qui derechef contiennent chacun autant de diverfes efpeces que fait le genre des Eilipfes, ou ctluy des Hyperboles; car fc/on que la proportion qui eft entre les lignes A 5, A 6 ou fembl b'es eft differente: le genre fubalttrne de ces ovales eft different. Puis félon que la proportion qui eft entre les lign s AF & A G ou A H eft: changée, les ovales de cha-*que genre fùbalterne changent d efpece; Sc le Ion qu’A G ou À‘H eft plus ou moins grande, elles font diverfes en grandeur. Et fi les lignes A 5 8c A 6 font égales, au litti des ovales du premier genre ou du troifiéme, on ne décrit que des lignes droites; mais au lieu de celles du fécond on a tou es les Hyperboles pofïibles 8c au lieu de celles du dernier touresles Ellipiés.
Outre cela en chacune d ces ovales il faut confiderer deux parties qui ont Les pro pncicx de cesovales couchant les reflexions, & les refraâious.
diverfes proprietez; à fçavoir en la pi «2 miere la partie qui eft vers A, fait que les rayons qui étant dans l’air viennent du po-nt F, fc retournent tous vers le point G, lorsqu’ils icncontrent là Superficie convexe d’un verre, dont la Superficie eft i Ai, & dans lequel les refraétions Se font telles que. Suivant ce qui a été dit en la Dioptrique, elles peuvent toutes être mefurées par la proportion qui eft entre les lignes A $ & A 6 ou Semblables, par l’aide de(^ quelles on a décrit cette ovale. • Mais là partie qui eft vers V, fait que les rayons qui viennent du point G fe r^fléchiroient tous vers F, s’ils y rencontraient la Sup -rficie coricave d’un miroir, dont la figure fût i V », & qui fût de telle matière qu’il diminuât la force de ces.raygus, Selon fa propoi- B *• M. D X S C A R. T E S. tf tïon qui< eft entre les lignes A 5 & A 6» car de ce qui a été démontre en 1b Dioptriquc, il eft évident que cela pofe les angles de la refléx’on feroient inégaux, aufli-bien que font ceux de la refraéVion, 8c pourroient être mefures en même forte.
En la féconde ovale la partie 2 A t fert encore pour les réflexions dont on fuppofe les angles être inégaux > car étant en la fuperficic d’un miroir compofé de même matière que le precedent, elle féroit tellement réfléchir tous les rayons qui viendraient du point G, qu'ils fembleroient après être réfléchis venir du point F i & il eft à remarquer qu’ayant fait la ligne A G beaucoup» plus grande que A F, ce miroir feroit convexe au milieu vers A, & concave aux extrêmitez: car telle eft la figure de cet-e ligne, qui en cela reprelente plûtô’ un cœur qu’une ovale.
. Mais 'on autre partie X z fert pour les refra&ions, & fait que les rayons qui étant dans l’air tendent vers F fe détournent vers G, entraverfanr lafùpetficie d’un verre qui en air la figure..
ba rt oifiémeov ata fert toute aux réfractions, 8c fait que les rayons qui c ant dans l’air tendent vers F » Ce vont rendre vers H dans le verre, après qu’ils ont trave.-fé fa fuperficie, dont la figure eft A 3 Y 3, qui efl convexe par tout, excepté vers A où elle eft un oeu concave, en forte qu’elle a la figure d un cœ ir aulfi bien que la precedente. Et la difFerence qui eft entre les deux parties de cette ovale, co fifte en ce que le point F eft plus proche de l’une que n’eft le point H, 6c qu'il eft plus é(0!gné de l’autre que ce même poiry. H.
En même façon la derniere ovale ferc toute aux réflexions, & fait que fi les. ravons qui viennent du point H renconrio’Vnt la fuperficie concave d’un * miroir de même matière que les précédée, 6c dont la figure fut A 4 Z 4, ils fe refl chiroienr tous vers F.
De f, çon qu’on peut nommer les poinrs F & G ou H, les points brûlans de ces ovales à l’exemple de ceux des Eüipfes 3c des Hyperboles qui onr été ainfi nommez en la Dioptr que.
J’obmets quanriré d’aut es refraétions 6c réflexions qui font réglées par ces mêmes ovales-, car n’étanr que lesconverfes ou les contraires de celles cy, elles en peuvent facilement être déduj-t à dï M. Descartes. $9 tes. Mais il ne faut pas que j’obmette Ja démonftration de ce que j’ay dit*, & à cer effet prenons par exemple le point C à difcretion en la première partie de la première de ces ovales *, puis tirons la ligne droite C P qui coupe la tourbe au point C à angles droits, ce Dcmonftration de* proptietczdc ces ovales touchant les réflexions & réfractions.
3 ni eft facile par le Problème preceent; car prenant b pour A G, c pour AF, c -t- z pour F C; & fuppofant que la proportion qui eft entre d & t que je prendray icy toujours pour celle qui mefure les refraétions du verre propofé, defigne aufli celle qui eft entre les lignes A 5 & A 6 ou fcmblables, qui ont fervi pour décrire cette ovale, ce qui donne b '—z pour GC:on trouve que ainfi qu’il a été montré cy-deflus. De plus du point P ayant tiré P Qà anfo La Geometrti gles droits fur 1a dioite F C & P N anflT à angles droits fur G C, confiderons que fi P Q_eft à P N, comme </eftàr, c eft à dire comme les lignes qui mefurent les réfractions du verre convexe A C, le rayon qui vient du point F au ' point C, doit tellement s'y courber en enrrant dans ce verre, qu’il s’aide rendre après vers G, ainfi qu’il eft tresévident de ce qui a été dit en la Dioptrique. Puis enfin vovons par le calcul s’il eft vray que P Qjoit à P N, comme d eft à e j les triangles rettangle* C M G font femblables, d’où il fuir que G P multipliée par CM & divifée par C G eft égale à P N. Puis à caufc que les multiplications ou divifions qui iê font de deux quantitez par une même, ne changent point la proportion qui eft entre elles, fi F P multipliée par C M divifee par C F eft à GP multipliée suffi par C M & divifee par C G» comme d eft à e, en divifant l’une 5t Di I Di I M M. Descartis. 9S Tautrc de ces deux Tommes par CM, puis les multipliant toutes deux par C F & derechef par CG, il refte F P multipliée par C G, qui doit être à G P multipliée par C F,< comme d eft à e. Or par la conftruétion F P eft r - OU JO ' ■.
Puis G P eft b,,, ou bien GP 30 £i (te CF eft c -+• a. -, fi bien que multipliant G P par C F, il vient ~d.’—l,r.cdf.
Et parce que la première de ces Tommes diviTée par d eft la même que la fécondé diviTée par e, il eft maniTefte que F P multipliée par. C G eft à G P multipliée par CF, c’eft à dire que ¥ Q^cft à P comme d eft à e, qui eft 1)1 LaGeombtrie tout ce qu’il falloir démontrer.
E (çachz que cette même démott^ ftratio i s’étend à iout ce qji a été Hic ' des au res rcfraétions ou réflexions qui fe fgnt d.ms les ovales propolées, fans qu’il y faille changer aucune choie que les Agnes Sc — du calcul * c’elt pour» quoy chacun les peut aiiétnent examiner de foy même, fans qu’il foit bcfoin que je m’y ariête.
Kl.is *1 Lut maintenant que je làris^ fafle à ce que j’ay obmis en la Dioptrique, lorfqu’aprés avoir remarqué qu’il peut y avoir des verres de pluficurs diverfes figures qui fiflent aufli-bien l’un que l’autre, que les rayon» venans d’un même point de l’objer, s’aflemblenr tous en un aurre pomr après les avoir traverfez, & qu’entre ces verres, ceux qui font fort convexes d’un côté & concaves de l’autre ^ ont plus de force pour bmler que ceux qui font également convexes des deux cotez, au lieu que tout au contraire ces derniers font les meilleurs poup les lunetes. Je me fuis conrenté d’expliquer ceux que j’ay cru être les meilleurs pour la pratique j en fuppofant ja difficulté que les asrifans peuvent avoir à les tailler; ç’eflr r> î M. Dfscartîs. 9$ pourquoy afin qu’il ne rcfte rien à fouhaiter touchant la théorie de cette feitnce, je dois expliquer encore icy la figure des verres, qui ayant l’une de leurs Tuperfices autant convexe ou concave qu’on voudra, ne laifl’cnt pas de faire que tous les rayons qui viennent vers eux d’un même point ou parallèles, s’afiemblenr après en un mime point; ôc celle des verres qui font le femblab!e étant egalement convexes des deux coftez, ou bien la convexité de l’une de leurs fuperficies ayant la proportion donnée à celle de l’autre.
C C Pofons pour le premier cas, que les Compoints G, Y, C, & F étant donnez, les mcnt °.n rayons qui viennent du point G, ou J£utfaire bien qui font parallèles à G A fe doi- au Jn"* vent affemblcr au point F, apres avoir convexe traverfé un verre fi concave, qu’Y OUCOnca~ étant le milieu de fa fuperficie inre- *c c,n 1 r " rieure, 1 extrémité en foit au point C, fupe'fi-'* £n forte que la chorde CMC & la cicsqu on icrablc^' <lue^^on va ^ ’ <luc premièrement il un point ^auc confidcrer de laquelle des ovales <kmuc, expliquées la fuperficie du verre Y G tous les doit avoir la figure, pour faire que rayons tous jCs ray0ns qUÎ eftant dedans tenqui vien-. « 1 nent d'un <*ent vers un meme point, comme vers autre H qui n’eft pas encore connu, s’aillent poiut tendre vers un autre, à fçavoir vers F, donné, après en être fortis j car il n’y a aucun effet touchant le rapport des rayons changé par rcfléxion ou refraéfcion d’un point à un autre, qui ne puiffe être caufé par quelqu’une de ces ovales; & on voit aifément que celuy-cy le peut être par la partie de la troifiéme Ovale, qui a tantôt été marquée $ A $, ou par celle de la même qui a été marquée 3 Y j, ou enfin par la partie de la féconde qui a été marquée i X z. Et parce que ces trois tombent icy fous même calcul, on doit tant pour l’une que pour l’autre prendre Y pour leur fbmmet-i C pour l’un des points de leur circonférence, & F pour l’un de leurs points brnlans, après quoy il ne refte plus à chercher que le point H, qui doit être l’autre point brûlant; & on le trouve en.confiderant que la différence DEM. DlSCARTfS.
DEM. DlSCARTfS.
«Jui jeft enire les lignes F Y & F C doit être à celle qui eft encre les lignes H Y & H C, comme d eft à t, c’eftà dire comme la plus grande des ligues qui me furent les refra&ions du verre propofé eft à la moindre, ainfi qu’on peut voir manifeflement de la defcription de ces ovales; Sc parce que les lignes F Y &: F C font données, leur différence 1 eft auffi, & enfuite celle qui eft entre H Y & H C, parce que la proportion 3ui eft entre ces deux différences eft otinée. Et de plus à caufequc YM eft donnée, la différence qui eft entre MH & H C l’eft auffi -, & enfin parce que C M eft donnée, il ne refte plus qu’à trouver M H le côté du triangle C coïc C M, 8c on a auffi la différence qui eft entre C H la bafc, & M H le ico é demandé, d où il eft aifé de le -trouver; çat fj Pd prend ^ pour l’ej-' cfS La Geoms tîlii cés de C H fur M H j & « pour la longueur de la ligne C M, on aura n~ — 1 ^ pour M H; & apres avoir ainfi le point H, s’il Ce trouve plus loin du point Y que n'en eft le point F, la ligne C Y doit être la première partie de l’ovale du troifiéme genre, qui a tantôt etc nommée j A $; mais fi H Y eft moindre que F Y » ou bien elle furpafle H F de tant, que leur différence eft plus grande à raifon de la toute F Y, que n’eft e la moindre des lignes qui mefurent les refraétions comparée avec d la plus grande, c’eft à dire que faifant HF^o c,8c H Y Do c, d h eft plus grande que zc e -+• e h, & lors C Y doit être la féconde partie de la même ovale du troifiéme genre, qui a tantôt été nommée j Y 3, ou bien dh eft égale ou moindre que ice-+- eh, & lors C Y doit être la fécondé partie de 1 ovale du fécond genre qui a cy-defius été nommée 2X2. Et enfin fi le point H eft le même que le po nt F, ce qui n’arrive que lorfque F Y & FC font égales, cettejigne Y C eft un cercle.
Apres cela il faut chercher CAC l’autre fuperficie de ce verre, qui doit être Dï M. De § c ARf t$ï 97 eftre une Ellipfe, dont H foie le point brûlant, fi on fuppofe que les rayons qui tombent deffus foient parallèles, & lors il eft aife de la trouver; mai* fi on fuppofe qu’ils viennent du point G > ce doit être la première partie d’une ovale du premier genre, dont les deux points biûlans foient G & H, ôc qui parte par le point C, d’où on trouve le point A pour le fommet de cette ovale, en confiderant que G C doit être plus grande que GA d’une quantité qui foit à celle dont HA furparte H C, comme d à e; car ayant ‘pris ^ pour la différence qui eft entrfc ‘CH Sc HM, fi on fuppofe x pour A M, on aura x — k. » pour la différence qui eft entre AH Sc CH, puis fi on prend g pour celle qui eft entre G C & G M qui font données, on aura g -+- x pour celle qui eft entre G C & GA, &c parce que cette dernière g •+• * eft à l'autre x — k_> comme d eft à e, on à ge-+-exy>dx — di^t ou bien pour la ligne x, ou AM, par laquelle on détermine le point A qui étoit cherché.
Pofons maintenant pour l’autre cas Comment on peut faire un verre qui ait le même effet que le precedent, 8e que la convexité de l’une de Tes fuperficics ait la proportion donnée avec celle de l’autic.
’çS T'a Geomethié qu’on ne donne que les points GG éc F, avec la proportion qui cft entre les lignes A M & Y M, 8c qu’il faille trouver la figure du verre A C Y * qui fafie que tous les rayons qui viennent du point G s’afl’emblent au point F.
: On peut derechef icy fe fervir de deux ovales, dont l’une AC ait G & H pour fes points brûlans, 8c l’autre CY ai£ F & H pour les fiens j & C pour les trouver, premièrement fûppofant le point H qui cft commun à toutes deux être connu, je cherche A M par les trois points G C H en la façon tout maintenant expliquée, à fçavoir prenant k pour la différence qui ett entre CH&HM; 8ç g pour celle qui eft entre G C Sc GM.&AC étant la première partie de l’Ovale du première genre, j’ay ' pour A M: puis je cherche auffi M Y par les trois poinrs F C H, en forte quç fi* M. DïSCAnft^ 99 C Y fbit la première partie d’une oval® du troiüémc genre j & prenant y pour MY Se f pour la différence qui eft entre C F 3c FM, j’ay /-+- y pouc çelîe qui eft entre GF & F Y; puia ayant déjà é. P°ur celle qui eft entre • CH & HM, j’ay k+y pour celle qui eft entre CH,& HY que je lçay devoir ctre i f-*~ y comme e eft à à, à caufe de l'Ovale du troifîéme genre, d’où je trouve que y ou M Y eft puis joignant cnfcmble les deux quantitez trouvées pour AM & M Y, je trouve pour la toute A Y: d’où il fuit que ce quelque côté que Toit fuppofé le point H, cette ligne A Y eft toujours çompofée d’une quantité qui eft à celle dont les deux enfemble G C & C F furpaffènt 1a toute G F comme e, la 4 moindre des deux lignes qui fervent à mefurer les refraétions du verre propofé eft à d — e, la différence qui eft entre ces deux lignes, ce qui eft un affez beau theorême. Or ayant ainfi la toute AY, il la faut couper félon la proportion que doivent avoir lès parties AM & MY, au moyen de i®0 La Geometrîé quoy parce qu’on a déjà le point #. oii trouve auflî les points A 6c Y, ÔC enfuite le point H par le problème ptc<* cedent *, mais auparavant il faut regarder fi la ligne A M ainfi trouvée, eft plus grande que ou plus petite, ou égale •, car fi elle eft plus g-ande, on apprend de- là que la courbe A C doit être la première partie dune ovale ■* du premier genre, & C Y la premier» d’une du troifiéme, ainfi quelles ont etc icy fuppofées; au lieu que fi elle eft plus petite, cela montre que c’eft CY qui doit être la première partie d’une ovale du premier genre, & que A C doit être la première d’une du troifiéme: enfin fi A M eft égale à les deux courbes AC & CY doivent être deux hyperboles.
On pourroit étendre ces deux problèmes à une infinité d’autres cas que je ne m’arière pas à déduire, à caufe qu’ils n’ont eu aucun ufage en la Dioptrique.
On pourroit auflî paflèr outre, & dire lorfque l’une des fupcrficies du verre eft donnée, pourvu qu’elle np Î5Ï M. DbSCàXTES. ÏÜ* foit que toute.plate ou compofée de ferons coniques ou de cercles, continent on doit faire fon autre fuperficie, afin qu'il tranfmetre tous les rayons d’un point donné à un autre point auffi donné j car ce n’eft rien de plus difficile que ce que je viens d’expliquer, ou plutôt c’eft chofc beaucoup p!us facile, à caufe que le chemin en eft ouvert \ mais j’aime mieux qut d’autres le cherchent, afin que s’ils ont encore un peu de peine à le trouver, cela leur fafle d’autant plus eftimer l’invention des chofes qui fon$ icy démontrées. cou- Au refte je n’ay parlé en tout ccd mcilt oa que des lignes courbes qu’on peut peut âpdécrire fur une fuperficie plate; mais il planer c* eft aifé de rapporter ce crue j’en ay *}!“.*.
dit a toutes celles qu on lçauroit ima- j,-gnei ’ gincr être formées, par le mouve- courbe* ment régulier des points de quelque décrite» corps, dans un efpacc qui a trois di-£ur u^c.
menfions $ à fçavoir en tirant deux per- pjf" pendiculaires de chacun des' points de ccuc, ^ui la ligne courbe qu’on veut confiderer fe décrifur deux plans qui s’entrecoupent à an- vent dans gles droits l’une ûr l’un, Sc l’autre fur q^iatrois J’autre -, car les exjremitez de ces per- Himen- E iij fions.
I IOÎ- Là GïOMITXIf pendiculaires décrivent deux autrfi lignes courbes, une fur chacun de ces plans, defquelles on peut, en la façon cy-deflus expliquée, déterminer tons les points, & les rapporter à ceux de la ligne droite qui eft commune 4 ces deux plans, au moyen dequoy ceux de la couibe qui a trois dimensions, font entièrement déterminez. Meme fi on veut tirer m e ligne droite qui coupe cette courbe au point donne à angles droits, il faut feulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun, qui coupent à angles droits les deux ligne* courbes qui y font aux deux point*, cù tombent les perpendiculaires qui viennent de ce point donné; carayani élevé deux autres plans, un fur chacune de ces lignes droites qui coupc à arig'es droits le plan où elle eft, on aura l’in crle&ion de ces deux plans pour Ja ligne droite cherchée. Et ainfi je penfe n’avoir rien obmis des élemens oui font neceflaires pour la connoilfance des ■lignes courbes.
LIVRE TROISIEME.
De la conjlruftion des Problèmes qui font Solides, oh pins que Solides.
EN c o r ï que toutes les lignes <p** combes qui peuvent être de cri tes par quelque mouvement régulier >onpCUtft doivent être reçues en la Geometrie, fcxTÎr es ce n’eft pas à dire qu’il foit permis de la confie fervir indifféremment de la premiere qui fe rencontre pour la conftru&ion prôde chaque problème \ mais il faut tlcmc. avoir foin de choifir toujours la plus fimplc, par laquelle il foit poffible de le refoudre» & même il cft à remarquer que par les plus fimplcs on nt doit pas feulement entendre celles qui peuvent le plus aifément être décrites, ny celles qui rendent la conftruetion ou la dcmonftration du Problème propolé plus facile, mais principalement celles qui font du plus fimplc genre qui puiffe fervir à déterminer la quantité qui eft cherchée.
Comme par exemple je ne croy ' pas qu’il y ait aucune façon plus fa- E iiij 104 X À GïOMITHJ!
Exemple cile pour trouver autant de moy£fiÏÏé£ touchant proportionnelles qu’on veut, ny dont tion^de a démonftration fort plus évidente plufîcurs *luC y employer les lignes courbef moyen- qui fe décrivent parl’inftrumenc XYZ ccs pro- cy-deflbus expliqué j car voulant trou* Sr VC* woyenûçs proportionnelle*