angle, iufques a O, en forte qu’N O foit efgale a N L, la toute O M eû:^ la ligne cherchée. Et elle s’exprime en cete forte Que lî iay y y co — a y -f -b b, &rqu’y (oit la quantité qu’il faut trouuer, je fais le mefme triangle reôangle NLM, & de fa baze M N i’ofte N P efgale a* N L, & le relie P M elt^ la racine cherchée. De façon que iay y X) - j a -t- if jaa -f ~bb. Ettout de mefme li i’a- 4 * ». ’*• - ' * .-U \ N Enfin fi i’ay 1 *,, * * £00 d\ — b b: ie fais N L efgale à \ a, & LM efgale à b côme cfeuât, puis,au lieu de ioindre les poins M N, ie tire MQJl parallèle a L N. &ducen- .tre NparL ayant Hefcrit vn cer- • cle qui la couppe aux poins Q & 4 R, la ligne cherchée ^eftMQ» oubiê M R, car en ce cas elle s'exprime en deux façons, a fçauoir ^co^eH- V \aa—b bt Et fi le cercle, qui ayant fon centre au point N, pafle * par le point L, ne couppe ny ne touche.la ligne droite MQR, il n'y a aucune racine en l'Equation r <fe façon qu’on peut aflurer que la cooftru&ion du probleline propofé eft impoffible. ^ 'Exemple tiré de .Puppus.
J04 La Geombteie.
Au refie ces mefmes racines fe peuuent trouuer par ^vne infinité d'autres moyens, & i'ay feulement voulu.mettre ceux cy, comme fort fimples, affin défaire voir qu'on peut conftruire tous les Problefmes de la Géométrie ordinaire, fan s faire autre chofe que le peu qui eft compris dans les quatre figures que i’ay expliquées. Ce queie ne croy pas que les anciens ayent remarqué, car autrement ils n’euflent pas pris la peine d’en efcrire tant degrosliures, ou le fcul ordre de leurs propofitions nous fait connoiftré qu'ils n'ont point eu lavraye méthode pour les trouuer toutes, mais qu’ils ont feulement ramaC fécelles qu’ils ont rencontrées.
Et on le peut voir aufly fort clairement de ce que Pappusamis au commencement de fonfeptiefme Iiure, ou. après s’eflre arefté quelque- tems a dénombrer tout ce quiauoit elle' efçjiten Geometrie par ceux qui l'auoient précédé7, il parle enfin d' v ne queft ion, qu'il dit que ny Euclide,ny Apollonius, ny aucun autre n'auoient iceu entièrement refoudre. 8c voycy fès mots.
Quemautem dicit ( Apollonius) in tertio liiro locum ad '■vlr [Un U- ires* & quatuor lineas ab Euclide perfeBum non ejje, ne que tmt que U jpj'g perficere peterat, neque aliqujs aîius fed neque pauafpn que lulum quid addere iis, quai Euelides fcripfit,per ea tantum \ tnttndt am*ca » 9ute ufyue a(l Eue li dis tempera pramonftratt* Et vn peu apres ilexpliqu© ainfi qu’elle eft ceüe queftion.
At locus adtres^ & quatuor li tiens } in quo ( Apollonius ) magnifiée fciaBat, oJlentat,nulla habita gratia ei, qui prias feripferat, cfibujufmodi. Si pefitione datif tribut ' ' reBis le cite ment.
t f »i I /*.'
Il Livré Premier. 3«r re$is lifte îs ab nrio & eodem punBo, adirés line ai in doits àn- > gui? s reïhe line te ducantur, G? data Jit p report io rectanguli contenti duabus duBis ad quadratum reliqua: punclum ton -tingit pojitione datum folidum locum, hoc ejl unam etc tribut font ci s feRiontbus. Et J? ad quatuor reïïàs lineas pojitione datas in datis angulis line a ducantur; & reclanguli duabus du cii s contenti ad contentum duabus reliquis proportio data Jit: Jimiliter punftum datum coni feBionem pojitione contint get. Si qui dent tgiturad duos tantum locus p la nus ofiènfus' efi. Quod fi ad plures quam quatuor, pun&um continget htcos non adhuc cognitos,fed lineas tantum di&as; quaüs autem Jint, tel quam habeant proprietatem, non confiât: earum unam, neque primam, & quæ manifeflijfima videtur, campa - • Juerunt ofien dentés uttlemefie. propofitionés autemipf art/m ha funt.
Si ab aliquo punBo ad pojitione datas reBas lineas quinque ducantur reBa linea in datis angulis, G? data fit proportio [olidiparallelepipedi reBangnlii quod tribus duBis htieis contineturad folidum parallelepipedum reBangulum, quod continetur reliquis duabus, G? data quapi am linea, punftum pojitione datam lineam continget- Si autem ad fax, tÿdatafit proportio Jolidi tribus lineis contenti ad folidum, quod tribus reliquis continetur; rarfus punftum continget pojitione datam lineam. Quod fi ad pliires quam fex} non adhuc habent • dicere,an data fit proportio cuiufpiâ contenti quatuor lirreis ad id quod reliquis continetur, quaniam non efi aliquid contentumpluribus quam tribus dimenfionibus.
Ou ie vous prie de remarquer en pafTant, que lefcra-; pule, qpefaifoient les anciens d’vfer des termes del'Arrft metique en-la Geonietrie, qui ne pouüdit- procéder, ■V...olq qae je* i La Gbombtrie.
que de ce qu’ils ne voyoient pas aflVs clairement leur rapport, caufoit beaucoup d'obfcurité, & d’embaras, en* la façon dont ils s’expliquoient. car Pappus pourfûit en. cete forte* • •, JÎcquiefcunt a ut cm bis, qui paulo ante talia interpretati funt. ne que unum aliquo patio comprehenfibile fignificantes quodhis continetur. Li cebit autë per coniunBas p roportiones hatytâ dicere, (3 demonftrare univerfe in diBis proportionibus, at que hisinhuncmodum. Si ab aliquo punBo adpofi -tione datas reBas lineas ducantur reBte line ce indatis angulis, (3 data fit proportio coniunBa ex ea, quam habet una du -Barum adunam, (3 altéra ad alteram,(3 alla ad ali am,(3 reliqua ad datam lineam, fi fini feptems fi vero 0B0 1 (3 reliques: ad reliquam: punBum continget pofitione datas lineas. Et Jimiliter quotcumque fint impares vel pares multitudine, cum hceCy ut dtxi3locoad quatuor lineas refyondeanty.nullum igiturpojuerunt ita ut linea nota fit, (3 c.
La queftion donc qui auoit efté commença; a refoudreparEuclide, & pourfuiuie par Apollonius, fans auoir eftc’achenée parperfoone, cftoit telle. Ayant trois ou quatre ou plus grand nombre de lignes droites données par pofition; premièrement on demande va point, duquel on puifle tirerautant d’autres lignes droites, vnc fur chafoune des données, qui façent aucc elles des angles donnés, & que le rcéfcangle contenu en deux de celles,, qui feront ainfî tirées d'vn mefme point, ait la proportion donnée auec le quarjé de la troifiefme, s'il n’y en-a* que trois^oubien auec lereétangle des deux autres, s'il y en a quatreiOubien,s’il y en a cinq.que le parallclepipedo cojnpoféde trois ait la proportion donnée auec leparalr i j lelepipedc.
ÏJïVftË Premier.
ior 'Selepipede compofé des deux qui relient, dVne outre ligne donnée. Ou Vil y en a fix, que le paraWelepipedo; côpofd de troft ait là' proportion donne'e auec le parallelepipçde des trois autres. Ou s’il y eu a fept.que ce qui fé produilk lorfqu’on en.multiplie quatre i’vne par l'autre, ait la raifon donnée auec ce qui fe produift par la mult> plication des trois autres, & encore d’vne autre ligne donnée; On s’il y en a huit, que le produit de la mulqa plication de quatre.ait la proportion donnée auec le produit des quatre autres. Et ainli cete queftion fe peut eftendre a tout autre nombre de lignes. Pensa caufe qu’il va touftours vneâufinitc’de dîners poius qui péuuent fatisfaireaeequi eft icy demaudé,.il eft auflfy requis de > ^. connoiftne, Si de tracer la ligne.dans laquelle ils^oiuént v tous fe trouuer. & Pappus dit que lorfqlfil n'y a que trois ou quatre lignes droites données, c’eft en vne des * % trois fc&ions coniques, mais il n’entreprend point de la déterminer, nyde la deferire. non plus que d’expli -k quer celles ou tous ces poins fc doiuent trouuer, lorfque > ^ la queftion eft propofce en vn plus grand nombre de lignes. Seulement il aioufte que les anciens en auraient; ’ imaginé vne qu’ils monftroiént y eftrevtile, mais qui fembloit la plus manifefte, Si qui n eftoit pas toutefois la - première. Ce qui m’a donné occafion d’effàyer li par la méthode dont ie me fers on peut aller auffy loin qu’ils f jk. ont efté.. * ’ * v** ■ toufiours trouuer les poins cherches par la Geometne Pappus. ürnple; c’eft adiré en ne feferuant que de la reigle &du « . 0.9 1 compas.
30?./I>A GEOMETRIE, compas, ny ne faifant autre chofe, que ce qui a défia efté dit; excepte feulement lorfqu’il y a ciDq lignes données, fi clics font toutes parallèles. Auquel cas * comme aufly lorfquela queftioneft propofee en fix,ou7, ou S, ou 9 lignes, on peut toufiours trouuer les poins cherchés par la Georaetrie des folides* c’eft a dire en y employant quelqu’vue des trois ferions coniques. Excepte' foule-. ment lorfqu’il y aneuf lignes donnefes, fi elles font toutes parallèles. Auquel cas derechef, & encore en 10,11,12, ou 1 3 ligues on peut trouuer les poins cherchés par le moyen d’vue ligne courbe qui foit d’ vn degré plus compose qué les ferions coniques. Excepte" en treize fi elles font toutes parallèle s, auquel cas, & en quatorze, 1 y, lé, & 17 il y faudra employer vne ligne courbe encore d’vn degré plus compofée que la precedente. & aiufi a l’infini.
m Puisiay trouué aufly, que lorfqu’il ny a que trois ou * quatre lignes données, les poins cherchés fo rencontrent tous, non feulement en l’vnedes trois fe&ionsconi-^ ques, mais quelquefois aufly en la circonférence d’vn cercle, ou en vne ligne droite. Et que lorfqu’il y en a çinq,oufix, oufopt,ouhuit, tous ces poins fe rencontrent en quelque vne des lignes, qui font d’vn degré plus « corapofées que les feûions coniques, & il eft impoffible ' d’en imaginer aucune qui ne foit vtile a cetc quefliçn- ’ i mais ils peuuent aufly dcrecheffe rencontrer en vne fedion conique, ou en vn cercle, on en vne ligne droit& Et s’il y en a neuf, ou io,ouii,ou 12, ces poins fe rencontrent en vne ligne, qui ne peut eftrc que d’vn degré plus compofée que les precedentes • mais toutes celles qui Livre Premier. féf qui font d’vn degré" plus compofées y peuuent foruir, & ainfi a l'infini.
Au refte la première, & la plus (impie de toutes après les ferions coniques, eft celle qu’on peut defcrirepar l'interfe&ion d’vne Parabole, &d’vne ligne droite, en la façon qui fera tantoft expliquée. En forte que ie penfe auoir entièrement fatisfait a ceque Pappus nous dit auoir eftécherchéencecy par les anciens. &ietafcheray d’en * mettre la demonftration en peu de mots.car il m’ennnie défia d’en tant eferire.
&que ce qui eft produit par la multiplication d’vnepartie de ccs lignes, foit efgal a ce qui eft produit par la multiplication des autres, oubien qu’ils ayent quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la queftion plus difficile-. 1P Commet Premièrement ie fuppofe la chofe comme défia faite, polir les &Pour me demefler de la côfufion de toutes ces) lignes, termes ie confidere l’vnedes données, & l’vne ift celles qu'il VE- feuttrouuer, par exemple A B, &: C B, comme lesprinqoation cipales, & aufquelles ie tafehe de rapportçr ainfi toutes eiemplc. les autres. Qfte le fogment de la ligne A B, qui eft entre Jes poins A & B, foit nommé x. & que B C foit nommé “ y. & que toutes les autres lignes données foient prolongées, iufques a ce qu’elles couppenfces deux, aully prolongées s’il eft befoin, &fi elles ne leur font point paral-•> leles. comme vous voy es icy qu’elles couppent la ligne A B aux poins A, E, G, & B C aux poins R,S,T. Puis a g. caufe que tous les angles du triangle A R B font donnés, la proportion, qui eft entre les coftés A B, & B K, eft aufi lÿ donnée, & ie la pôle comme de ç à b, de f%çon qu’ A B y x y g g que le point B tombe entre C & R; car fi R tomboit enb X ^ CR ferait -y- Tout de mefine les trois angles du triangle D R C font donnés, & par confequent auflÿ la proportion qui eft entre les coftés C R, & C D, que ie y* poiè comme deçà*: de façon que C Reliant y ■+• - » CD lava e Ekemie».
v « 4T-* • I j ' & G D fera ^ -H* Après cela ponrceque les lignes A B, A D, & E F font données par pofition, la diftance qui eft entre les poins A&E eft aufTy donnée, & fi on la nomme K, on aura E B efgal a X; mais ce feroit 4r- x, fi le point B tomboit entre E & A \x,fiE tomboit entre A & B. Et ponrceque les angles du triangle ESB font tons donnés, la proportion de BE a BS eftaulTy donnée, & ie Ta pofe comme {k d, fibienque BS eft , & la toute C S eft -’**-**-*. mais ce feroit ppjuf g tomboit entre B & Cj& ce feroit — — — —, fi C tomboit entre B & S. De plus les trois angles du triangle FSC font donnés, & en faite là prof jti La GEOMETure.
toute CF fera'"' **' * *- *-*, En mefme façon" AG que ie nomme / eft donnée, & B G eft / -- x\ & a caufe du triangle B G T la proportion de B G a B T eft auflÿ C T 30 ■,y *{- 'Sx. Puis derechef la proportion de TC a C H eft donnée, a caufe du triangle TCH, & la pofant Etainfi vousvoye's, qu’en tel nombre de lignes donnécsparpofition qu'on puifleauoir, toutes les lignes tirées deflus du point C a angles donné» fuiuant la teneur delà queftion,fepeuuent toufiours exprimer chafcune par trois termes; dont l'vn eft compofé de la quantité inconnue y, multipliée } ou diuifée par quelque autre connue; & l’autre de la quantité inconnue x\ auflÿ multipliée ou diuifc'e par quelque autre connue, & le troliefme dVne quantité' toute connue. Excepte feulement fi elles font parallèles; oubien a*la ligne A B, auquel cas le terme compofe'de la quantité# fera nul; oubien a laligne C B, auquel cas celuy qui eft compofe’de la quantité' y fera nul; ainfi qu’ileft trop manifefte pour que ie m are* fte a l’expliquer. Et pour les fignes -f-, 8c —, qui fe ioignent à ces termes, ils peuuent eftre changes en toutes les façons imaginables.
Puis vous voyésaufly, que multipliant plufieurs de ces lignes i’vne par l’autre, les quantités xôcy, qui fe trouuentdans le produit, n’y peuuent auoir que chafcn-' ueautantdedimenfions,qu’ily aeu de lignes, al’explii ^ i. -? cation cation defquellesellesferuent, qui ontefté ainfi multipliées: enibrcc qu'elles n'auront jamais plus de deux dimenfions, en ce qui ne fera produit que par la multiplication de deux lignes* ny plus de trois, en ce qui ne fera produit que par la multiplication de trois,. & ainfi a l’infini.
De plus, a caqfe que pour déterminer le point C, il n’y a qu’vue feule condition qui foit requife, à fçauoir que ce que ce qui eft produit par la multiplication d*vn certain nombre de ces lignes foit efgal, ou ( cequi n’eft de riçn plan, lorfplus malayfc') ait la proportion donnée, à ce qui eft pro-, J“j‘ntn cl duit par la multiplicatjpn des autres; on peut prendre a propofe diferetion l’vne des deux quantitésinconnues *oby*,.& joignes.* chercher l’autre parcete Equation, en laquelle il eft euident que lorfque la queftion n'eft point propofc'e en plus de cinq lignes, la quantité x qui ne ferc point a l’cxpreffion de la première peut toufiours n’y auoir que deux dimenfions. de façon que prenant vne quantité connue poury, il ne reftera que x x 00 -f- ou « a x H- on — b b. & ainfi on pourra trouuer la quantité x auec la reigle &Ie compas, en la façon rantoft expliquée. Mefme prenant fqcceflSuement infinies diuerfes grandeurs pour la ligne y y on en trounera aufly infinies pourla ligne a;, & ainfi on aura vue infinité'dediuerspoins / tels que celuy qui eft » marqué C, par le moyen defquels on deferira la ligne courbe demandée. * 11 fe peut faire aufly, la queftion eftant propofc'e en fix, ou plus grand nombre de lignes; s’il y en a entre les données, qui foient parallèles a B A, ou BC, quelvnc des deux quantités x ou y n'ait que deux dimenfions en. ' J. Rr ' l'Equa- J. Rr ' l'Equa- 3 La G'E'OATET RTE. l’Equation, & ainfi qu'on puifle trouuuer le point Cauec la reigle &le compas. Mais au contraire fi elles font toutes parallèles, encore que la queftion ne foit propoféo qu’en cinq lignes, ce point C ne pourra ainfi eftre trouué, a caufè que la quantité x ne fe trouuant point en tonte l’Équation,il ne fera plus permis de prendre vnc quantité connue pourcelle qui eft nommdçy, mais ce fera elle qu’il faudra chercher. Et pource quelle aura trois dimenfions,on ne la pourra trouuer qu'en tirant la racine d’vne Equation cubique, cequi ne fe peut generalement foire fans qu’on y employé pour le moins vne fe&ion conique. Et encore qu’il y ait iufqyes a neuflighes données,pourvûqu’elles ne foient point toutes parallèles, on peut toufiours faire que l’Equ^tionne monte que iufqucs au quarréde quarré. au moyen dequoy on Iapeut aufly toufioursrefoudre parles ferions coniques, en la-façon que i’expliqueraycy apres. Et encoraqu’il venait iuf ques a treize,on peut toufiours faire qu elle ne monte que iufques au quarré de cube, en fuite de quoy on la peut refoudre par le moyen d’vne ligne, qui n’eft que d’vn degré plus compoféequf lés ferions coniques, en la façon que i'expliquerayauffycy après. Et cecy cftla première partie de cequei auois icy a demonftrer; mais auantqueic pafTé a la. fécondé- il eft befoin que ie die quelque chofe en. general de la nature, des ligues courbes..
'De la nature des lignes courbes.
•T E s anciens ont fort bien remarque, qu'entre les •^-'Problcfmes de Geometrie, les vns font plans, les au- Quelles très folides,& les autres linéaires, c’efta4ire,quelesvns peuuent eftre conftruits, en ne traçant que dçs ligpes co“rbcs droites, & des cerclesj au lieu que les autres ne le peu- ^“u°nre. uent eftre, qu’on n’y employé pour le moins quelque le- ceuoir 6,1 étion conique j ni enfin les autres, qu'on n’y employé «'c°mc quelque autre lignepluscompofce. Mais ie m’eftonne de ce qu’ils n’ont point outre cela diftiugué diuers degrés entre ces lignes plus composes & ie ne Içaurois comprendre jxmrquoy ils les ont nommées mechaniques, plutoftqueGeometriqnes. Carde dire que ç’ait • efté', a caule qu’il eft beloin de le feruir de quelque machine pour les deferire, il faudrait reietter par mefme railbn les cercles & les lignes droites^vû qu’on ne les de-,. ferit fur le papier qu’auec vn compas, & vne rcigle, qu'on peut aufly nommer des machines. Ce u’eft pas non plus, a caufe que les inftruinens, qui fe/uent a les tracer,eftant plus compofés que lareigle & le compas, ne peuuent eftre fi iuftes;car il faudrait pour cete railbn les reietter des Mechaniques, où la iuftefte des ouurages qui lortent '* de la main eft defircej plptoft que de laGeometrie, ou c’eft feulement la iuftefle du railbnnemët qu’ourccher->v_. ' * Rr 2 chc, jt 6 ' La Geomet&u.
che, & qui peut (ans doute eftre aufly parfaite touchant ceslignes, que touchant les autres. le ne diray pas aufly, que ce foit a caufe qu’ils n’ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, & qu’ils le font contentés qu’on leur accordait, qu’ils puflent ioindre deux poins donnés par vne ligue droite, &defcrirevn cercle d’vn.
centre donne' qui paflaft par vn^oint donne' car ils n’ont point foit de fcrupule defuppofer outre ce!a,pour traiter des ferions coniques, quon puft coupper tout cône donnéparvn plan donné. &iln’eft befoin de rienfuppofer pour traçer toutes les lignes courbes, que ie pretens icy d’introduire j linon que deux ou plufieurs lignes puiflent eftre meuës l’vne par I autre, & que leurs interférions en marquent d’autres,* ce qui ne me paroift en rien plus difficile. 11 eft vray qu’ils n’ont pas aufly entièrement receu les ferions coniques en leur Geometrie, & ie ne veux pas entreprendre de changer les noms qur ont eft éapprounés par l’vfagej mais il eft, ce me femble, tresclair, que prenant comme on foit pour Géométrie que ce qui eft précis & exar, & pour Mcchanique ce quinel’eft pas; & conflderant la Geometrie comme vne foience, qui enfeigné generalement a connoiftre les mefures de tous les cors, on n’en doit pas plutoft exclure les lignes les pluscompofcés que les plus Amples, pourvû qu’on les puifleimaginer eftre deforites par vn mouue* ment continu, ou par plufieurs qui s'entrefuiuent & dont les derniers foient entièrement regleà par ceux qui les precedent, car par ce moyen on peut toufiours auoir vne connoiflance exare de leur mefure. Mais peuteftre que ce qui a empefehé les anciens Geometres de reçeqoit i Livre Second. 317 uoir celles qui eftoient plùs corapofces que lesfêCtions coniques, c'eftqueles premières qu’ils ont conliderees, ayant par hafard eftc la Spirale, la Quadratrice, & femblabfes, qui n’appartienent véritablement qu'aux Mechaniqiiesr& ne font point du nombre de celles que^e penle deuoir icy eftre receues, a caülè qu'on les imaginé delcrites par deux mouuemens feparés, & quin’ont entre eux aucun raport qu’bn puifle mefuTer exactement, bienqu'ils ayent apres examiné la Conchoide, la CilToide, & quelque peu d’autres qui en font, toutefois a caufe qu’ils n’ont peuteftre pas afles remarqué leurs propriétés', ils n’en ont pas fait plus d’eftat que des premières. Oubien c'eft que voyant, qu’il^neconnoifloient encore, que peu dechofes touchant les fe&ions coniques, & qu'il leur en reftoitmefme beaucoup, touchant ce qui fe peut faire auec la reigle & le compas, qu’ils ignoroient, ils ont creu ne deuoir point entamerde matière plus difficile. Maispourceque i’efpercquc d’orenanant ceux qui auront i’adreflfe de fe feruirdu calculGeometrique icÿ propofé', ne trouueront pas aflés dequoy s’arefter touchant les problefmes plans, ou folidesj ie* croy qn’il eft a propos que ie les inuite a d’antres recherches, où ils ne manqueront iamai s d’exercice.
Voyés les lignes A B, A D, AF, & femblables queie fuppofe auoir efté deferites par l’ayde de.l’inftrument 'Y Z, qui eft compofé de plufieurs reigles tellement ioin» tes, que celle qui eft marquée Y Z eftant areftée fur la ligne A N, on peut ouurir & fermer l’angle X Y Z; & que lorfqu’ileft tout fermé,les poins B, C, D, F, G, H font tous aflemblés au point A; mais qu'a mefure qu’on Rj 3 l’ouure,.
Xa Géométrie dâ môins que des ferions coniques^ ny ce qui peut em- -pefcher,(qu’on ne concoiue la fécondé, & la troifiefme; & toutes les autres, qu’on peut defcrirc, auiïÿ bien que ' la première j ny par conséquent qu'on ne les recoiue » toutes en mefme façon, pourlèruirauxfpeculations de * Geometrie.
le pourrois mettre icy plufieurs autres moyens pour La façon tracer &conçeuoir des lignes courbes, <Jbi feroieut dedJc^J* plus en plus compofées par degrés a l’infini, mais pour tes les iîcomprendre enfemble toutes celles, qui font en la natu» j*"$cscc°ur' re, & les diftinguer par ordre en certains genres * ie ne^tains fçache rien de meilleur que de dire que tous Iespoins.de^on’ C celles qu'on peut nommer Géométriques, c’eft a dtreno'ftrc Ie’ qui tombent fous quelque mefüre preciié & exaéte, oüe ^onT neceflaireinent quelque rapport a tous les poins d’vne ’ ligne droite, qui peut eftre exprime' paf quelque equa-ccuxdes * tion, en tous par vnc mefme. Et que lorfque ceteequation ne monte que iufques au reétangfode deux quanti* tés indéterminées, oubien au quarré d ’vne mefiîie, la li-' gne courbe eft dû premier & plus fimple genre, dans lé-. '; qnelilnyaqnele cercle, la parabole, l'hyperbole,.&> l’Elhpfé qui foienfeoraprifos. mais que lorfque l’equation monte iufques a la trois ou quatriefme dimenfîoi? des deux, ou de Pvne des deux quantités indéterminées,, car il en faut deux pour expliquer icy le rapport d’vnpointa vn autre, elle eft du fecond:& que lorfque l’equation monte iufques a la f ou fixiefme dime’nfioni ello *'* eft du troifiefme,- &ainfi des autres a l’infini.
.Comme fi ie veux fçauoir de quel genre eft' là ligno BC„que i’imagineeftredefcrite par l’interfeétion de la reigle G L, & du plan re&iligne C N K L, dont le coftc K N eft indefiniement prolongé vers C, & qui e franc meu fur le plan dé deflous en ligne droite, c'eft a dire en telle forte que fon diamètre K L fe trouue toujours appliquéTur quelque endroit de la-ligne B A prolongée de part & d^utre, fait mouuoir circulairemenc cete reigle G L autour du point G, a caulè quelle luy eft tellement iointe quelle pafte toujours par le point L • le choilis vne ligne droite, comme A B,pour rapporter a lès diue« poins tous ceux de cete ligne courbe H C, &en ^:ete ligne A B ie choilis vn point, comme A, pour commencer par luy ce calcul. le dis que iechoilîs & l'vn & l’autre, a caufe qu’il eft libre de les prendre tels qu’on veult. car encore qu’il y ait beaucoup de choix pour rendre l’équation plus courte, & plus ayféej toutefois en quelle façon qu'on les prene, on peuttoufiours faire que la ligne paroifle de mefme genre, ainli qù’il eft ayfc a demonftr er.
Apr<& LivRi Second i» « i \ ' ', ' j; y \ v/j / <m b '■/ ■■ ' sT/ l L B - rt. iHKd / * *’ ‘ » • 3» La Gêo-metris» Mb i ’ tipliant la fécondé par la troifiefme on produit -yy - abK qui eft efgale ~~yy — by qoi fe produit en multipliant la première par la 'dernière. 8c ainfi l'equation qu'il falloittrpuuereft ex de laquelle on counoift que la ligue EC eftrdu premier genre, comme en effeâ elle n’eft autre qu'vne Hyperbole.
Que fi en l’inftrument qui fèrt a la deferire on qu’au lieu de la ligne droite C N K, ce foit cete Hyperbole, ou quelque autee ‘ligne courbe du premier genre, qui terminée plan C N KL; lmterfe&ion de cete ligne & de lareigle G Ldefcrira, au lieu de l’Hyperbole EC, vne autre ligne courbe, qui fera du fécond genre. Comme fi C N K eft vu cercle, dont L foit le centre, on dèferira la première Conchoide des anciens;& fi c eft vne Parabole dont le diamètre foit K B, on deferira la ligne edurbe, que i'ay tantôfl dit eft re k première r& la plus fîmple pour la queftion dcPappus,Iorfqu’il n’y a que cinq lignes droites données par pofîtion. Mais fi an lieu d’vne «le ces lignes courbes clïi premier genre, c’en eft vnè dü fécond, qui termine le plan C N K L, on en deferira pas fon rpoyerf vne du troifiefmc, ou fi c'en eft vne dii troifiefine, ou en deferira vne du quatriefme, & ainfi a l'infini, edrame il eft fortayfca connoiftrepar le calcul. Et en quelque autre façon, qu’on imagine la deferiptioo d'vue ligne courbe, pourvilqu'elle foit du nombre «fe celles que ic nomme Géométriques f ou pourra toufiours trou* ' uer J».
f fAk 4, ♦ . Livre Second.. ‘. ‘ jij ocr vue équation pour déterminer tous fes poios en ccto forte.
• # • i Au refte ie mets les bgnes.courbes qui fout monter Gete équation iufquesaucfdarrc'de quarrc, au mcfmo genre que celles qyi ne la font monter que iufques au cube. & celles dont4equation monte au quatre de cube,au mefine genre que celles dont elle ne monte qu'au furfolidc. &ainfi des autres. f)ont la raifoneft, qu'il y a reigle generale pour réduire au cube toutes les difficultés qui vont au quarrc de quarrc, & auTurfoHde toutes celles qui vont au quarré decube, de façon qu'on ne les doit point eftimer plus compof&s.
Mais il eft a remarquer qu'encre les lignes de chafquc genre, encore que la plupart foicnt.efgalement compofees, en forte qu’elles peuuënt fcruir.a dcccnuinecles nnefmès poins, &conftruire les mefmes problcfmes,il y en.a toutefois auffy quelques vnes, qui fout plus (impies, &qui n’ont pas tant d’eftcnduecu leur puiflince. coinmeentre celles du premier genre outre l'EUiplè l’Hyperbole 8c la Parabolp qui font également compofdes,lé cercle y eft aufly compris, qui mauifeftemenc eft plus ümple. 8c entre celles du fécond genre il y ala Conchoi-*de vulgaire, qui afon origine du ce rdej Ôc il y en a encore quelques autres, qui bien qu’elles n’ayent pas tant d’eftendue que la plus part de celles du raefme genre, ne peuuent toutefois eftre mifès dans le premier.
Or apres auoiraiûfi réduit toutes les lignes courbes a certains genres* il mqft ayfe" de pourfuiure en la de- [ion de la monftrationde larefpgnfe,quei’ay tantoftfaite alaqoe- JJpîppws (lion de Pappus, Car premièrement ayant tW voir cy au 3 liuro — *3 sf deflfus, «dent . La Gbombtrië.
défias, que lorfqu’il n'y a que trois ou 4 lignes droites données, l’equation quifert a déterminer les poins cher* chés, ne monte queiufques au quarré; il eft euident.que la Hgne courbe ou fe trouuent ces poins, eft necefiairement quelqu’vne de celles du premieçgenre-.a caufe que cete mefme équation e^lique le rapport, qu’ont tous les poins des lignes du premier genre a ceux d'vne ligne droite^t que lorfqu’il n'y a point plus de 8 lignes droites données, cete equatioù ne monte que iufques au * quarréde quarre tout au plus, & que par confequent la ‘ ligne cherchée ne peut eftre que du fécond genre, ou au deflous.Et que lorfqu’il n'y a point plus de 1 2 lignes don* nées, l’equation ne monte que iufques au quarre'de cube^ que par confequent la ligne cherchée n'cft quédu troifiefme genre, ou au defious. & ainli des autres.. Et mefme a caufe que la pôfition deslignes droites donnais peut varier en toutes fortes, & par confequent faire châ-, ger tant les quantités connuës, que les lignes -h & — de l’equation, eu toutes les façons imaginables; il eft euidentqu’jln’y a aucune ligne courbe du premier genre,, qui ne l'oit vtile a cete queftion, quand elle eft propoféfe en 4 lignes droites; ny aucune du fécond qui n’yfoit vtile, quand elle eft propofée en huit; ny du troifiefme, quand elle eft propofée en doüze: & ainfi des autres. En forte qu’il n'y a pas vne ligne courbe qui tombe fous le soTonon calcul &puifle eftre receiie en GcOmetriè, qui n’yfoit queftion v£^e Pour quelque nombre de lignés, quandcile Mais il faut icyplus particulièrement queiedetermi-;:«r ne, & donne la façon de trouuer la ligne cherchée, qui qu en i fert cn chafque cas, lorfqu’il ny aque 5 ou 4 lignes droi- Reprenons les lignes AB; A D, EF, & GH données cy deffiis, & qu'il faille trouuer vue autre ligne, en laquelle ilfe rencontre vue infinité de poinstels que C, duquel ayant tiréles 4' lignes C B> CD, C F, & C H « a angles donnés, fur les données,. C B multipliée par G F, produift une fomme efgale a CD, multipliée par C H.
r. ♦ czy*bcx.
Ltvnk Second. î*r tes données; Si on verra par mefme moyen que le premier genre des lignes courbes n'en contient aucunes autres, que les trois fc&ion* coniques, & le cerclé.
3*6 If A ÔEOMETRIE.
an moins en fuppofànt t ^plas grand que cg.car s’il eftoit moindre, il faudrait changer tous les lignes -f- & — Et fi la quantité^ fe trouuoic nulle, ou moindre que rien en cete équation, lorfqu’on a fuppofc le point C en l'angle D A G, Il faudrait le fuppofér aufly en l'angle D A E, on E A R, ou R A G, en changeant les lignes •+• & — félon qu'il ferait requis a*cet f ffeft. Et fi en toute%ces 4 positions là valeur d'y fe trouuoit nulle, la quefiionieroit impoffible au cas propofé. Mais fuppofons la icy eftrfe poffible, 8c pour en abréger les termes, au lieu des quansons • t-tgzz ne eft * *• Z ^ Z7 I.
tz-cgzz Zc derechef pour abréger, au lieu de xmn t tz-tgz^ • m P efcriuons -; car ces quantités eftant toutes donnefes.