nous les pbuuons nommer comme il nous plàift. & ainfi nous auons longe ur de la ligne BC, en laidànt A B, ou x indeter- Livre Second.
*«7 minée. Et ileft èuident que la queftion n'eftantpropofee qu’en trois pu quatre lignes, on peut toufîours auoirdetels termes, exceptcque quelques vns d'eux peuuent ellre nuis, &queles lignes + & — peuuent dn uerfement eltre changés. * Après celaie fais K I cfgalc & parallèle a B A, en forte qu'ellecouppedeBClapartieBK efgale à m, à caufe qu’il y a icy -+- m * & ie laurois adioufta: en tirant ccte ligne I K de l’autre collé, s’il y’aubit eu — ic ne l'anrois point dn tout tirée, H là quantité' m eu lie Ile nulle. Puis ie tire auiïy I L } en forte que laligne iKeftaKL, comme Zeft art. c’eft adire que I K eftant^, KL dit Dm # ■ -jr. Et par raefmc moyen ie connais aufly la proportion • La GsowETRtfi qui eftentre K L, & I L, que ie pofe comme entré n & al n'a* 9 • Æbienque K L eftant - at, l L eft ~ Et ie fais que lé & ie n’eufle point tiré' cete ligne IL, fi \ x euft efténulle. Or cela fai t, il ne me refte plus pour la ligne LC, que.
• p que s'ils eftoient nuis, ce poiot C fe trouueroit en la ligne droite I L;& que s’ils eftoient tels que la racine s’en queles termes mm&o a;, ou ox* xx fufient nuis, ce point C Ce trouueroit en vue autre ligne droite qui ne lèroit pas plus màlayfée a trouuer qu* I L. Mais lorfque celan’eft pas, ce point C. eft toufiours enl’unedes trois lêâions coniques, ou en vn cercle, dontlvn desdia. mefres eft én la ligne IL, & la ligne LC eft l’vne de celles qui s’appliquent par ordre à ce diamètre; ou au contraire LC eft parallèle au diamètre, auquel celle qui eft •en la ligne I L eft appliquée par ordre. A fçavoir fi le teN .. 'b r • ’ * mc mxx» 11 cete fc&ion conique eft vne Parabele; & s’il eft marqué du ligne -h * c'eft vne Hyperbole } & enfin s’il elt marque' du ligne -- çeft vneEllipfe. Excepté' feulement fi la quantité aam eft efgale à que l’angle ILC foit droit; auquel cas on à vn cercle au lieu d’vne ♦. « d'vne Ellipfe. Que fi cete fe&ion eft vne Parabole, fon coft é droit eft efgal à & fon diamètre eft toufiours en la ligne IL. & pour trouuer le point N, qui en eft le (bmrnet, il faut faire I N efgale à & que le point I (bit entreL & N,fi les termes font H-mm-ho xi oubien que le point L foitentrel&N, s’ils font -+- mm — oXi oubien il fapdroit qu’ N fufi: entre I & L, s'il y auoit •• w/n + oï. Mais il ne peut iamais y auoir — m m, en la façon que les termes ont icy cftcf pofes. Et enfin le point N fèroit le mefme que le point I fi la quantité mm eftoit nulle. Au moyen dequoy il eft ayfé de trouuer cete Parabole par le.ier. Problefme du ier. liurc d’Apollonius.
, Tt Que Que fi la ligne demâdée efc vn cercle,ou vne ellipfe, ou vne Hyperbole, îlfaut premièrement chercher le point M, qui en eft le centre, & qui eft toiifiours en la ligne nom ■ droite 1 L, ou on le trouue en prenant — pour IM. en forte que fi la quantité o eft nulle, ce centre eft iuftement au point I. Et fi la ligne cherchée eft vn cercle, ou vne Ellipfe; on doit prendre le point M dumefme cofté qûe IepointL,aurefpe<ft du point I, lorfqu’on a -+- o*. Sc lorfqu’qp à — o x, on le doit prendre de l’autre. Mais tout au contraire en l'Hyperbole, fi on a — o x, ce centre MdoiteftreversL;&fiona-t-o#, il doit eftre del'autre cofté. Après cela le cofté droit de la figure doit eftre oo* z ^ 4 rnpzz, MM M M lorfqu’on a^-t- m m, & que la ligne cherchée eft vn cercle, ou vne Ellipfe; oubien lorfqu’ou à — mm, 8c que c’cft vne Hyperbole. & il doit eftre “ aM fi la ligne cherchée eftant vn cercle, ou vne Ellipfe, on à — m m-y oubien fi eftant vne Hyperbole & la quantités o eftant plus grande que 4 m p, on à -h mm. Que fi la quantité*» m. eft nulle, ce cofté droit cft^, & fi «a; eft nulle, il eft Puis pour le cofté traverfant, il fâuttrouuer vne ligne, qui foita ce cofté droit, corne A4 meftkp ^àfçauoir fi ce cofte' droit eft ** ppa p*-*~ Et en tous ces cas le diamètre de la fe&ïon eft en la ligne I M, & L C eft 1 vne de celles qui foy eft applique^ par ordre. Sibicnque faifont M N efgale a la moitié du cofté trauer- Livre Second; 531 trauerfant & le prenant du mefme cofté' du point M, qu eft le point L, on a le point N pour le fommet de ce diamètre.en fuite dequoy il eft ayfé de trouuer la feftion par le fécond de jprob.du rct. liu. d'Apollonius* -f- m m-} & que la quantité 0 0 eft nulle ou plus petite que 4 p m, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallèle a LC, & C P parallèle à L\I. & faire MO efgale a eft nulle.’ Puis confiderer le point O, côme de cetc Hyperbolej dont le diamètre eft Tt 2 H* La Geombtrie.
ligne qui luy eft appliquée par ordre, & fou cofté droit eft 4 mlti-r-—- Exceptéquand o x eft nulle.car alors le eofto droit cfc ' trouuer par le 3 prob.du icr.liu.d\Apollonius.
UrtTion Et lés de m on ft rat ions de rouccecy fonteiiidenj-es.car '«“‘f^rorhpofant vn efpace des quantités que iav a riïgnces 3“cft«CDt pour le cofte droit, & le trauerfant, & pour le fegment * Mpi'q^.dudiaraetreNL,ouOP,fuiuâtIateneurdcrii,du n,& • du 13 theorefmes du i«. liured’ApoIlonii^, on trouuera tous les mefmes termes dont eft compolc le quarré de la ligne C P, ou C L,qui eft appliquée par ordre a ce diamètre. Comme en cet exemple oftant IM, qui eft Mom ■. mm * z. «/" - oo-h^mp, qui eft le cofté droit de la figure, il vient r 9 m ’ ■ ■ mot pour.le re&angle. duquel il Faut ofter vn efpace qui foit au quarré de N L comme le coftédroit eft au trauerfant.
, & le trauer(ânt-eft 1 m. & ainfi il eft ayfé de la.
/ Livre Second.
"* "\pfT{^ ^ oo-i- tmp qu’il faut diuifcr par a a m &. multiplier par^ç^, a caulê que ces termes expliquent la proportion qui cft entre le cofttf traucrfànr & le droit, & ..LIT / 00-4-40» p -H mwKcequ’il faut ofter du redtanglc precedent, & on trouue m m -H o x £ xxpour le quarréde C L, qui par conléquent eft vne ligne appliquée par ordre dans vne Elliplè,oudans vn ccrcle,au fegmenc du diamètre N L. • Et fi on vent expliquer toutes les quantités donnéfef parnombres, en faifant par exemple E A 30 3, A G oo y,. A B 30 B R, B S 30 ï B E, G B 30 BT.CDoo |CR,CF 3oa CS, CH30 fCT, & qucl'angle ABR Toit de 6o degrés; & enfin que le rc&angle des deux CB, & C F, (bit efgal au re<ftangle des deux autres C D ScC Hj car il faut auoir toutes ccs choies affin que la queftionfbit entièrement déterminée. & aoec cela fuppolànt A B 30 a.% &CB30^, on trouue par la façon cy deflus expliquée y'i -F-4X-- |.vx: fi bienqueB K dbit eftre j,& KL doit eftre la moitié de Kl, Scpourceque l’angle I KL ou A B R eft de 6o degrés, & K I L qui eft la moitié” de KIBouIKL, de 30, 1 L K eft droit. Et pouréeque IK. ou A B eft nomme x, KL eft ^x, & IL eftxf''' J,&la. quantité qui eftoit tantoft nomraéfe \ eft 1, celle qui eftoit <reft Y ^ celle qui eftoit m eft 1, celle qui eftoit 0 eft 4, & celle qui eftoit p eft ~,de façon qu’on k Y - pour.
XA GEOMETRIE * Qnels font les lieux Îilans, 6c blides: 6c .la façon de les .trouuer.
cft | eft icy efgal à & que l’angle IL C eft droit, on trouue que la ligne courbe N C eft vn cercle. Et on peut facilement examiner tous les autres cas en mefme forte.
Au relie acaufo que les équations, qui ne montent que iniques au quarrd, font toutes comprifos en ce queie viens d’expliquer j non feulement le problelme des anciens en 3 & 4 lignes eft icy entièrement adieu mais aufly tout ce qui appartient à ce qu’ils nommoient la compolition des lieux folides j & par confequenr aully a elle des lieux plans, a caufe qu’ils font compris dans les folides. Car ces lieux ne font autre choie, lînon quelors qu'il eft queftion de trouuer quelque point auquel il manque Livre Second. 33J manque vqwe condition pour eftre entièrement déterminé', ainfi qu’il arriue enceteêxemple>tous les poins d'vne mefme ligne peuuent eftre pris pour celuy qui eft de-’mandd. Et fi cete ligne eft droite, ou circulaire, on la nomme vn lieu plan. Mais fi ceft vne parabole, ouvne hyperbole^u vne cllipfe, on la nomme vn lieu folide. Et. toutefois & quaûtes que eda eft, on peut venir a vne Equation qui contient deux quantités inconnues, & eft pareille a quelqu’vne de celles que ie viens de refoudre.
Que fi la Kgnc qui détermine ainfi lé point cherché, eft d’vndegrépluscorapofdequeles ferions coniques, on la peut nommer, en raefme façon, vn lieu fiirfolide, & ainfi des autres. Et s’il manque deux conditions a la détermination de ce point, le lieu ou il fe trouue eft vne fuperficic, laquelle peut eftre tout de mefme ou plate, on fpherique, ou plus compofée. Mais le plus haut but qu’ayent eu les anciens en cete matière a efte de parueniralacorapofition des lieux folides: Et il femble que tout ce qu Apollonius a eferit des ferions coniques n'a efte'qu’à deflein de la chercher. Qaeilecft De plus on voit icy que ceque iay pris pour le premier ’raep££ic" genre des lignes courbes,n’en peut comprendre aucunes plus fimautres que le cerclé, la parabole, l*hyperbole,& l'ejlipfc.,cs qui eft tout ce quci’auois entrepris de prouucr. lignes Que fi la queftion des anciens eftpropofee en cinq Ügnes, qnifoient toutes parallèles $ il eft euident que le uenten U point cherche fera toufiours en vne ligne droite. Mais fi 33*™-" elle eft propofeeen cinq lignes, dont ilyetfait quatre c'cns qui foient parallèles, & que la cinquiefme les couppe a ^ proangles droits, & mefme que toutes les lignes tirées du P°f“.ctv point gnes.
La G EOMETR IS.
point cherche' les rencontrent auffÿ a angles droits, & enfin que le parallelepipede compofé de trois des lignes oinfi tirées fur trois decelles qui font parai leles,foir efgal au parallelepipede compofé des deux lignes tirées l’vne fur la quatriefine de celles qui font parallèles & l'autre fur celle qui les couppe a angles droits, & d Vne troifie£ me ligne donnée, ce qui eft ce femble le pins fim-. pfo cas qu’on puifle imaginer apres le precedent. le point cherche fera en la ligne courbe, qui eft dderite par le mouuementd'vne parabole en la façon cy deflbs r Livre Second.
autres qui eft a xy. Après cela ic confidereda ligne courbe C E G, que i’imaginc eftre deferite par l’interfcdion, de la Parabole C K N, qu'on fait mouuoir en telle forte que fon diamètre KL eft toufiours fur la ligne droite A B, & de la reigle G L qui tourne cependant autour du point G en telle forte quelle paflè toufiours dans le plan de cete Parabole parle point L. Et ie fais K L oo a, & le cofte' droit principal, c’eft a dire celuy qui fe rapporte a l’aiflieu de cete parabole, auflyelgalàtf, & GA 302*, & CB ou M A 00 y^ & C M ou A B no #. Puis a caufc des triangles fcmblables G M C & C B LtG M qui eft 2 a - yt eft à M C qui eft x, comme C B qui eft v, eft à B L qui eft par confequent Et poureeque LKefta, BKefta 7^^,»dbien Et enfin poureeque ce met me B K eftant vn fegment du diamètre de la Parabole, eftà BCquiluy eft appliquée par ordre, comme cellecyeft au cofté droit qui eft 4, le calcul monftrc que 1 i quent que le point C eft celuy qui eftoitdemandé. Et il: peut eftre pris en tel endroir de la ligne.C E G qu’on veuille choifîr, ou auflÿ en fonadiointe c E G c qui fe deferi t en meftne façon, excepté que le fbmmet de laParabole eft tourne" vers l'autre cofté, ou enfin en leurs contrepofées N I o, n 1 0,qui font deferires par l'intérfe&ion. que fait la ligne G L en l’autre cofté de la Parabole KN.
Or encore que les parallèles données A B, PH, ED,, & G F ne fuflent point également distantes, & que G A. ne les couppaft pointa angles droits, ny aufîy les lignes.
tirées Livre Second. 33$ tiréfcs du point C vers elles, ce point C ne laiffèroit pas de fe trouuer toufiours en vne ligne courbe, qui feroit de cete mefme nature. Et il s’y peut aufly trouuer quelquefois, encore qu’aucune des lignes données uefoient parallèles. Maisfi lorfqu’ilyena 4ainfi parallèles, & vne ciuquiefme qui les trauerfê: & que le parallelepipede de trois des lignes tirées du point cherché, l'vne fur cete cinquiefme, &les 2 autres fur 2 de celles qui font parallèles; fait efgalaceluy, des deux tirées fur les deux autres parallèles, &d’vne autre ligne donnée. Ce point cherchéeften vne ligne courbe d’vne autre nature, a fçauoiren vne qui eft telle, que toutes les lignes droites appliquées parordre a fon diamètre eftant cigales a cel-— les d’vne fedfcion conique, les fegmens de ce diamètre, qui font entre le fommet & ces lignes, ont mefme proportion a vne certaine ligne donnée, que cete ligne donnée a aux fegmens du diamètre de la fo&ion conique, aufquels les pareilles lignes font appliquées par ordre. Et ie ne fçaurois véritablement dire que cete ligne foie moins fimple que la precedente, laquelle iay creu toutefois deuoir prendre pour la première, acaufequeia defeription, & le calcul en font en quelque façon plus faciles.
Pour les lignes qui feruent aux autres cas, ie ne m’arefteray point aies diftinguer par cfpcces. car ie n’aypas entrepris de dire tout * & ayant expliqué la façon de trouuer vne infinité de poinspar ou elles pa(Tent,ie pénfc auoir alTés donné le moyen de les deforire.
Meftnc il eft a propos de remarquer, qu’il y a grande différence entre cete façon de trouuer plufieurs poius * Vv 2 pour Qnerie* La Geometrii.
Il font ic$ pour tracer vne ligne courbe, & celle dont on fe fert pour' J'g"” la fpirale, & fes femblables. car par ccte demie re on ne •courbes 1 au'on de- trouue pas mdiffercment tous les poius de la ligne qu oa (critcn cherche, mais feulement ceux qui peuuent eftre de'terpiuficuts mines par quelque mefure plus Ample, que celle qui eft requifepourlacompofer, & ainfi a proprement parler uic Quelles VN pcuucnt on ne trouue pas vn de fes poins. c’eft a dire pas vn de ccucscn ceux qui hiy font tellement propres, qu’ils ne puiflent \ Gcomc- eftre trouu es que par elle: Au lieu qu’il ny a aucun point dans les lignes qui feruent a la queftion propose, qui ne fe puifle rencontrer entre ceux qui fe déterminent par la façon tantofl expliquée. Et poureeque cete façon de tracer une ligne courbe, en trouuant indifferêment plufleurs de lès poins, ne s’eftend qu’a celles qui peuucne auffy eftre deferires par vnmouuement régulier & continu, on ne la doit pas entièrement rcietter delà Géométrie.
font aufiÿ Et on n’en doit pas reietter non plus, ceiïeouonfe" «lies fert d vn fil, ou d’vnc chordc replide, pour déterminer ieîitnaucc légalité’ ou la différence de deux ou plufieurs lignes imcchor- droites quipeuuent eftre tirees de chafque point de la pcuucnt courbe qu’on cherche, a certains autres poins, ou fur-' certaines autres ligues a certains angles, ainfi que nousanons fait en la iJioptriqüte pour expliquer.l’ÉIlipfe tC l’Hyperbole, car encore qu’on n’y puifTe reçeuoir au- • canes lignes qui femblent a des c hordes, c’eft a dire qui-; * deuienenttantoft droites & tantoft courbes, acaufè que laproportion, qui eft entre les droites & les courbes * a’eftant pas connue, & mefrne ie croy ne le pouuant eftre, parles hommes, oanepoürroitrien conclure de là qui' . ” foft.
tcccucs.
I é ■çy > ’ • N*.
Livre Second». J ft fuft exadfc & afliïré. Toutefois a caufe qu’on ne le fort de çhordcs en ces conftrn&ions, que pour déterminer o des lignes droites, dont on connoift parfaitement la longeur, cela ne doit point foire qu’on les reictte.
Orde cela fêul qu'on fçait le rapport, qu’ont tous les Que poarpoins d’vne ligne courbe a tous ceux d'vne ligne droite, “°““*rlcs, ec la façon que iay expliquée; il eft ayfé de trouuer aufly proprie-. le rapport qu’ils ont a tous les autres poins, & lignes don- “scdscs k’, nées: & en fuite de connoiftre lés diamètres, les aifïieux, courbe», les centres, & autres lignes, ou poins, a qui chaïquc h- defeauoir • gne courbe aura quelque rapport plus particulier *, ou^e «fPP0" plus fîmple, qu’aux autres: & aiofi d’imaginer diuers?ousîcur* moyens pojjr les defcrirc, & d’en choifir les plus faciles.
Et mefme on peut aufly par cela feul trouuer quafi tout lignes cequi peut eftre déterminé touchant la grandeur de l’c- ^r^*’oji fpace quelles compreuent, fons qu’il foit befoin que i’en de ruer donne plus d’ouuerture. Et enfin pour cequi eft de tou- ^g“"cs tes les autres propriétés qu’ou peut attribuer aux lignes qui les courbes, elles ne dépendent que de la grandeur des angles qu’elles font auec quelques autres lignes. Mais lorf* «es poinsqu on pent tirer des lignes droites qui les couppent a an- droits, gles droits, aux poins ou elles font rencontrées par cellesauec qui elles font les angles qu’on veut mefurer, ou*. cequeie prensicy pour le méfme, qui couppent leurs contingentes; la grandeur de ces angles ifeftpas plus ■ malayfée a trouuer, que s’ils eft oient compris entre deux, lignes droites. Ceftpourquoyiecroyray auoir mis icy. tout ce qui eft requis pour les elemens des lignes courbes, lorfquei’auraygeneralement donné la foçon de tirer des lignes droites, qui tombent a angles droits fiiV V? 3?
têtsf $4* I/A GEOMETRIE, tels de leurs poins qu'on voudra choifir. Et i’ofe dire que c’eft cecy le problefme le plus vtile, & le plus general non feulement que iefçache, mais.mefme que i*aye iamais déliré de Içauoir en Geometrie.
Soit C E la ligne courbe, & qu'il faille tirer vne ligne droite par le ioecsi, t.. pointe, quifaîcuit ce auec elle des angles droits. le foppofo la choie délia .Façon gcnciale pour trouucr des lignes droites, qui couppenc les ..courbes données, ou contingences,» fa,te»& que la ligne cherchée eftC P, laquelle ie pro* angles’ longe iufques au point P, ou elle rencontre la Jignedroi-.droits. te G A, que ie fuppofe eftre celle aux poins de laquelle - on rapporte tous ceux de la ligne C E: en forte que faifant M A ou C B 30y, & C M, ou B A 30 ar, iay quelque équation, qui explique le rapport, qui eft entre x 6cy* Puis ie fais PC oos, &P Aoot/, ou P M no t/ —y, & a caufo du triangle reétangle P M C iay //, qui eft le quarrc de la baze efgal à xx m>trvv—xvy ~hyy, qui font les quarrés des doux coftcs. c’eft a dire iay x » ss— vv-t- ivy-yy, oubien y x> v ~h V~ss — xxtSc par le moyen de cete équation, i’ofte de l’autre équation qui m’explique 1e rapport qu’ont tous les poins de la courbe C E a ceux de la droite G A,l’vne des deux quantités indéterminées x ou y. ce qui eft ayfô a faire en ' mettant partout V~ss -- v v-h 2 vy ~ y y au lieu dV, & le quarré de cete fomme au lieu d’xx, & fon cube au lieu d'x, & aiufî des autres, fi e’cft x que ie veuille ofter; ou- - •, uï - * bie n r Livre Second) 3% bien fi c’efty, en mettant en fon lieu * -+. fa i~xx, $e v le quarré, ou le cube,&c. de cete fournie, au lieu d^,ou , j y &c. De façon qu’il rcftetoufiours après cela vne équation, en laquelle il ny a plus qu’vne feule quantité' indéterminée, x,ouy.
Comme fi C E eft vne Elliplè, &que M A foit lefegment de fon diamètre, auquel G M foit appliquée par ordre, & qui ait r pour fon coftc droit,5c q pour le trauerfant,onàparlei)th.; du i liu. d' Apollonius y y rien, caril eft miens en» cet endroit de confiderer ainfi enfemble toute la fomme, que d’en faire vne partie elgale a l’autre.
Toutdemefme fi C E eft la ligne courbe defcrite par le mou—' ucment d Vne Parabole* en la façon cy defliif. expliquée, & quon ait pofé b pour G A, r pour KL, & d pour le coftd droit du diamètre KL en la parabole: Tequatid qui explique le rapport qui ^ * i 344 La Geometuzi.
Mefme encore que les poins de la ligne courbe nefè rapportaient pas en la façon que iay ditte a ceux d’vne ligne droite, mais en toute autre qu’on fçauroit imaginer, on ne laifle pas de pouuoir toufiours auoir vne telle équation. Comme fiCEeft vne ligne, qui ait tel rapport aux trois poins F, G, & A, que les lignes droites tirées de chalcun de les poins comme C, iulques au point F, furpaflent la ligne F A d vne quantité, qui ait certaine proportiôdonnée a vne autre quantité' dont GA furpafle les lignes tirées < des mefmes poins iufques à G. Faifons GA3oi,AF»f, & prenant àdifcretionlepoint C dans la courbe, que la quantité dont C F furpafle F A, foit à celle dont G A furpafle G C, comme dàe,en forte que li cete quantité qui eft PuispofantM A oo y, G M eft b— y, & FM eft c-t-y,#, a caufe dn triangle re&angle CM G, oftant le quarré de de G M du quarrcf de G C, on a le quarré de C M, qui eft -i.By-'-yy. puis oftant le quarté* de F M ou M A, qui eft xbdd* Cm & fubftituant cete fomme au lieu d 'y dans le quarréde C M, on trouue qu'il s’exprime en ccs termes. *. • “* ÏTJTcdd ~ ~~J )' Puis fuppofimt que la ligne droite P C rencontre la courbe a angles droits «au point C, &failant PC 00 /, & . P A 30 y comme deuanr, PMeb-|j‘&a caule du triangle reétangle P C M,on à s s — w -4- 2 vy—yy pour lé quarré de C M, ou derechef ayant au lieu d'y fubflitué la fomme qui luy eft efgale, il vient -- cddss <j> eddw. yy 0 pour l’equation que nous cherchions.
•.
Or apres qu'on à trouue vne telle équation, au lieu. des’enferuir pour connoiftre les quantités at.ou/, ou qui font défia données, puifque le point C eft donné, ôn la doit employer a trouucrv, ou s, qui déterminent le point P, qui eft demande*. Et a cet effe& il faut confiderer,que fi ce point P eft tel qu’on le defire, le cercle dont il fera le centre, & qui paflera par le point C, y touchera la ligne courbe G E, làns la çoupper: mais que fi ce point P, eft tantfoit peu plus proche, ou plus eiloigué du point Xx A, qu’il Xx A, qu’il pps La Gbometrie.
A, qu’il ne doit, ce cercle couppera la courbe, non feulement au point C, mais aufly neceflairement en quelque autre. Pois il faut aufly confiderer, que lorfque ce cercle couppe la ligne courbe C E, l’équation par laquelle on cherche la quantité" x, ou 7, ou quelque autre lèmblablc, en fuppofànt P A & P C eftre connues, contient neceflairement deux racines, qui font inelgales. Car par exemple fi ce cercle couppe la courbe aux poins C & E, ayanttirc'EQjJaralÉelea CM, les noms des quantités indéterminées x conuiendront aufly bien aûx lignes EQ^ &Q A, qu’a CM, & MA; puis PEeft elgale a PCjacaufeducercle^ bien que cherchant les lignes EQ & Q,A, par P E & P À qu’on fuppofe comme données, on aura la mefme équation, que fi on chercboit C M & M A par P C, P A. d’off il fuit euidemment,que la valeur d’x, ou d’/, ou de telle autre quantité qu’on aura fuppofee, fera double en cete équation, c’eft a dire qu’il y aura deux racines ineL gales entre elles; & dont l’vne fera CM, l’autre EQ, fi c'eft x qu’on cherche; oubien l'vne fera M A, & l'autre QA,fic’efty. &ainfi des autres. Il eft vray que fi le point Ene fis trouue pas du mefme cotte7 de la courbe que le point C; il n'y auraque l'vne de ces deux racines quifoit vraye, & l’autre fera renuérfeyc, ou moindre que rien: mais plus ces deux poins, C, & E, font prochesl'vn de l’autre, moins il y a de différence entre ces deux racines; • Livre Second. 347 • Livre Second. 347 nés- & enfin <ües font entièrement efgales, s'ils font tous deux ioins en vn, c'eft adiré fi le cercle, qui pafle par C, y touche la courbe C E fans la coupper. v De plus il faut confiderer, que lorfqu’U y a deux racines elgaîes en vne équation, elle a necefïairement la mefme forme,que fi on multiplie par foy mcfme la quantité'qu’on y fuppofe eftre inconnue moins la quantité connue qui luy eft cfgale,& qu’aprés cela fi Cete derniere fommen’apas tant de dimenfions que la precedente, onia multiplie par vne autre fournie qui en air autant qu'il luy en manque; affin qu’il puifle y auoir foparement équation entre chafcun des termes de l’vne, & chafcun des termes de l’autre.
Comme par exemple ie dis que la première équation trouuée cy deflus, a fçauoir j * tyjîZVL dojt auoir la mcfinc (orme que celle qui fe produift en faifânt e efgala/, & multipliant j — e par foy mefme, d’où il vient jj^xey H- * e,ca forte qu’on peut comparer foparement chafcun de leurs termes, & dire que puifque le premier qui eft j y eft tout le mefme en l’vne qu'en l'autre, le fécond qui eft en i’vne 3 ry- 2-*—‘ eft çfgal an fecôd de l’autre qui eft — a ey,d’où cherchant la quantité' v qui eft la ligne P A, on à a caufo que nous auons fuppofé * efgala/,ona vZ°1 r* *.L * ^ Et ainfi ort pourroit trouuer / par le troifiefme terme et 30 9 ~ ^ ' —‘.mais pourceque la quantité v détermine affés le point P, qui eft le feul que nons cherchions,op n‘» pas befora de paffer outre.
Tout de mefme la fécondé équation trouuée cy de£ fus, afçauoir, *i>ddvv^ doit auoir mefme forme, que la fotnmequifeprodnift lorfqu'on multiplie jj — iey-î-ee par y quieft • de façon que de ces deux équations i en tire fix autres, qui feruent a connoiftre les fix quantités ft g, h, J^v,8cr. D'où il eft fort ayfé a entendre, que de quelque genre, que puifle eftre la ligne courbe propofee, il vient toujours par cete façon de procéder autant d’eqùatiônr, qu’on eft obligé de fuppofer de quantités, qui font in* connue'*. Mais pour demefler par ordre ces équations; & trouuer enfin la quantité v, qui eft la feule dont on a befoin,& à l’occafion de laquelle on cherche les autres: Il faut premièrement parlefeconft terme chercher/, la première des quantités inconnues de la derniere fomme, & on trouue/oo z e — z b.
Puis par le dernier il faut chercher ^Ja derniere des quantité* inconnues dé la mefme fomme, 8c on trouue ’tt Livre Second. • 349 Puis par le troifiefme terme il faut chercher ç la fécondé quantité, & on agg 30 3 ee-\ be~ z cd^r bb-hdd. Puis par le pcnultiefme il faut chercher h la penultiefme quantité, qui eftÆ’so — — — Et ainfi il faudrait continuer fuiuant ce mefme ordre iufques a la dernière, s’ily en auoit d’auantage en cete fpmme -t car c’eft choie qu’on peut toufiours faire en mefme façon.
Puis par le terme qui fuit en ce mefme ordre, quieft icy Ic quat ri cfme, il faut chercher la quantité v, U on a IV*" ibet bb tct xbc. btc II i'+'f et.
IL pour la ligne A P.
Et ainfila troifiefme équation, qui cil Xx 3 Jfo La Geomstrïe.
bdd a la mcfme forme que — 4dv en fuppofant f efgal a fi bienque il doù 0° coouolft que \h quantité » eft Ceftpourquoy compofànt la ligne AP, de cete fomme e£ gale à v dont toutes les quantités font connues, & tirant du point P ainfi trouué, vne ligne droite vers C, elle y couppe la courbe G £ a angles droits, qui eft ce qu'il falloit faire. Et ie ne voy rien qui empefche, qu'on n'eftendc ce problefme en mefîne iâçon a toutes les lignes courbes, qui tombent fous quelque calcul Géométrique.
Mefme il eft a remarquer touchant la derniere fom-•me, qu'on prent a difcretion, pour remplir le nombre ■des dimenfions de l'autre fomme, lorfqu 'il y en manque comme nous auons pris tantoft y'Hrfy 'rhggjy-trh'y-bkyÿ que lesfignes -f ypeuuent eftrefuppofés tels, qu’on veut, fans que la ligne v, ou A P, le trouue diuerfe pour cela, comme vous pourre's ayfemcnt voir par expérience, car s’il falloit que ie m’areftalfe a demonftrer tous les theorefmes dont ie fois Livre Second. jji fus quelque mention, ie ferois contraint d’eicrire vn volume beaucoup plus gros que ie ne defire. Mais ie veux bien en pafTant vous auertir que l’inuention de fuppofer deux équations de mefme forme, pour comparer feparfement tous les termes de l’vne a ceux de l'autre, & ainfi en foire naiftre plufieurs d'vne feule, dont vous aués vû icy vn exemple, peut fcruir a vne infinité d'autres Problefmes, & n'eft pas l'vne des moindres de la méthode dontie me fers* le n'adioufte point les conftrnftions, par lefquelles on * peut defcrireles contingentes ou les perpendiculaires cherchées, en fuite du calcul que ie viens d’expliquer, a caufe qu'il eft toufiours ayfede les trouuer: Bienque fouuenton ait befoin d’vn peu d’adrefie, pour les rendre courtes &fimples.
B H\ \ \ \ \ w 10- ‘ A le, & B H la réglé: |>,errac*cn . en forte que tou- choidc. tes les lignes droites qui regardent vers A, & font compri fès entre la courbe CD, &Ia droite B H, comme DB &C E, fbientefgales: Et qu’on veuille trouuer la ligne C G qui la couppe au point C a angles droits.
On pourrait en cherchant, dans la ligne B H, le point par où cete ligne CG doit palier, félon la méthode icy.
Explica* tton de 4 nouucaux genres d'Oualcs, qui feruent a TOpriflc.
3 ji La GEOMETRIE, expliquée, s’engager dans vn calcul autant ou plus long qu'aucun des precedens: Et toutefois la conftru&ion,qui deuroit apres en eftrededuite,eft fort fîmple. Car ilne faut que prendre C F en la ligne droite C A, & la faire efgale à C H qui eft perpendiculaire fur H B; puis du pointFtirerF G, parallèle à B A, & efgale à EÀ: au moyeu de quoy on a le point G, par lequel doit palier C G la ligne cherchée.
Au refte affiu que vous fçaehiées que la confidcration des lignes courbes icypropofée n’cft pas fans vfâge, & quelles ont diucrfès propriétés, qui ne cedent en riert a celle&des fé&ions coniques,ie veux encore adiouftericy l’explication de certaines Ouales, queveusverrés eftre très vtiles pour la Théorie delà Catoptrique, &dela Dioptriquc. V oycy la façon dont ie les deferis.
Premièrement ayant tiré les lignes droites F A, & A R, qui s’entrecouppent au point A, fans qu’il importe a quels.angles, ie prens en l’vnc le point F a diferetion, c’eft a dire plus ou moins elloigné du point A félon que Livre Second. 3T5 ie veux faire ces Onales plus ou moins grandes, &dece point F comrtie centre ie deferis vn cercle, qui pafle quelqaepeu au delàdu point A, comme par le point r, puis de ce point j ie tire la ligfie droite f 6, qui cooppe l'autre au point 6, en forte qu* A 6 foit moindre qu* A j-, félon telle proportion donnée qu'on veut, a fçauoir félon celle qui mefure les Réfractions fi on s’en veut feruir pour la Dioptrique. Après celaie prens aûfly le point G, en la ligne F A,dupoftèoù eft le point j-,a di/crction, c eft a dire en faifant que les lignes A F & G A ont entre elles telle proportion donne'e qu’on veut. Puis ie fais R A efgalc à G A en la ligne A 6. & du centre G deferiuant vncercle, dont le rayon foit elgal à R 6t il couppe l’autre cercle de part & d’autre au point x, qui eft l’vn de ceux par où doit pafler la première des Ouates cherchées. Puis derechef du centre F ie deferis vn perde, qui pafle vn peu au deçà, ou au delà du point r, comme par le point 7, & ayant tire’ la ligne droite 7 3 parallèle a $ 6, du centre G ie deferis vn autre cercle, dont le rayon eft efgalala figne R 8. & ce cercle cooppe ccluy qui pafle.par le point 7 au point 1, qui eft encore l’vn de cemc delamefme Ouale. Èt ainfi on en peut troiHier jutant d'autres qu’on voudra, en tirant derechef dai^-tres lignes parallèles à 7 8, & d’autres cercles des centre* F, & G.; Pour la fecopde Ouale il n’y a point de diflfereoce, finon qu’au lieu d* À R il faut de l’autre coflé du point A preudre A Sefgalà A G, &que le rayon du cercle defcrit du centre G, pour coupper cçlyy qui eft deferit dp centre F St qui: pafle par le point 7 * foit efgafafo ï, * Yy ligne KgneStf; ou qu’il fait cfgal à S 8, fi c’cft ponr coupper celuyqui pallèpar le point 7. & ainlî des autres, au moyen dequoy ces cercles s’entrecouppent anx poins marqués 2. z, qui font ceux de cete fécondé Ouale Pôdr la troifiefme, & là quatrieûne,un fieu de la ligne A G il faut prendre A H de l’autre cofté du point A, à ‘ fçauoir du mefme qu’eft le point F. Et il y a icy de plàs • a obfêruer que cete ligne A H doit eftre plus grande que A F: laquelle peut mefme eftre nulle, en forte que le point F fe rencontre où efHe point A, en la defeription detoutescesouales. Apres cela les lignes A R, & A S cftant efgales à AH, pour deferire la troifiefme ouale A3 Y, refais vn cercle du- centre H„ dopt le rayon eft -V** ■ X*. -. efgal Livib Secono.
■ t Hf efgal à S (S, qui couppe au point 3 ccluÿ du centre F, qui pafle par le point r} & vn autre dont le rayon eft efgal a $ 8, qui couppe celuyqui pafle par le point 7, au point aufly marque' y, Scainfi des autres. Enfin pour la derniere me A j àA G. c'eftà dire qu'elles ayent la proportion,, qui mefure les refra&ions. Puis ayant diuiftf A L en deux parties efgales au point K, qu'on face tourner vne reigle, comme F E, autour du point F, en prefFant du doigt C, la chorde E C, qui eftant attachée au bout de cete reigle vers E, fo replie de C vers K, puis de K derechef vers C, & de C vers G,oufbn autre bout foit attaché, en forte que la longeur dè cete chorde fbit compofée de celle des ligues G A plus AL plus PE moins AF. & ce fera lemouueraentdu point C, qui deferira cete ouale, a l’imitation deeequi aefte'diten laDioptriq; de l’Elliplè, s!st o - L -. * » / & 3f6 La GEOMETRIE.
ouale ie Eus des cercles du centre H, dont les font efgaux aux lignes R é,*R 8, & femblables, qui couppertt les autres cercles aux poins marqués 4.
On pourrait encore trouuer vne infinité d'autres moyens pourdeferire ces mefmes ouales. comme par exemple, on peut tracer la première AV, Iorfqu'on fuppofè les lignes F A & A G eftre efgales, fi on diuife la toute F G au point L, en forte que F L Voit a L G, com- Livre Second: * ffj' & de l’Hyperbole, maisie ne veux point m’arefter plus longtems fur ce fuiet.