d’Arith- rations, qui font l’Addition, la Souftramecique étion, la Multiplication, la Divifion, le rap- & l’Extra&ion des racines, qu'on peut o°r-a dès P endfc pour une cfpece de Divifion: de Geo- ^'nfi n’a-r’on autrechofeà faire en Geomcrric. metrie touchant les lignes qu’on cherche, pour les préparer à être connues, que leur en ajouter d’autres, ou en ôter j Ou * b;en en ayant une, que je nommeray l’unité pour la rapporter d’autant mieux . aux nombres, 6c qui peut ordinairement être prifè «à difcrecion, puis en I ayant encore deux autres, en trouver une quatrième qui foit à l’une de ces . deux, comme l’autre efl à l’unité, ce qui eft le même que la Multiplication; I ou bien en trouver une quatrième, qui loir à l’une de ces deux, comme l’unité 1 cft à 1 autre, ce qui eft le même que la Divifion; ou enfin trouver une, ou deux, ou p lu fleurs moyennes proportionnelles entre 1’unjté, & quelque an-| tre ligne; ce qui eft le même que tirer la racine quarrée, ou cubique, Sec. Et je ne craindra/ pas d’introduire ces termes d’ Arithmétique en la Gcometrie, afin de me rendre plus intelligible.
LaMuhi- Soi" par exemple AB l’unité, & qu’il plicatioa. faille multiplier BD par B C, je n’ay / t Ou bien s’il faut divifer BE par B D, La Divîayant joint les points E & D, je tire A fi°n.
Ou s’il faut tirer la racine quarrée de i/Extta_ G H, je luy ajoute en ligne droite F G, ^ion de qui eft l’unité, & divifant F H en deux la racine quarrée.
parties égales au point K, du centre K je tire le cercle F I H, puis élevant du point G une ligne droite jufques à I, Aij Commet on peut ufer de chiffres en Géométrie.
à angles droits fur F H, c’eft. G I la racine cherchée. Je ne dis rien icy de la ra -cine cubique, ny des autres, àcaufe que j’en parleray plus commodément cyaprés.
Mais fouvent on n’a pas befoin de tracer ainfi ces lignes fur le papier, & il fuffit de les défigner par quelques lettres, chacune par une feule. Comme pour ajouter la ligne BD à G H, je nomme l’une a 8c l’autre b, & écris a ■+■ b; Et a — b, pour fouftraire b d 'a; Et Abf pour les multiplier l’une par l’autre; Et-^- pour diviler a par b-, Et Où il eft à remarquer que par a 1 ou b î ou femblables, je ne conçoy ordinairement que des lignes toutes (impies, encore que pour me fervir des noms ufitez en l’Algebre, je les nomme des quarrez ou des cubes, 8cc.
Ilxft auffi à remarquer que toutes les . bigitized by GoogI DE M. Descartes. 5 parties d’une même ligne, fe doivent ordinairement exprimer par autant de dimenfions l’une que l’autre, lorfque l’unité n’eft point déterminée en la queftion, comme icy a 3 en contient autant cyciabb ou bi dont fecompofela ligne que j’ay nommée V C. a 3 — b 3 -h a b b: mais que ce n’eft pas de même lorfque l’unité eft déterminée, à caufe qu’elle peut être fous- entendre par tout où il y a trop ou trop peu de dimenfions: comme s’il faut tirer la racine cubique de a a b b — b, il faut penfer que la quantité a a b b eft divifée une fois par l’unité, £< que l’autre quantité b eft multipliée deux fois par la même.
Au refte afin de ne pas manquer à fe fotivenir des noms de ces lignes, il en faut toujours faire un regiftre fcparé, à mefure qu’on les pofe ou qu’on les change, écrivant par exemple: Ainfi voulant réfoudre quelque Problê- Comméc me, on doit d’abord le confiderer com- il faut vcme déjà fait, & donner des noms à tou- *** aux A iij I 6 La Giometrie T |U_ tes ^es lignes, qui femblent neceffaires lions cjai Pol,r k conftruire, aufli bien à celles qui Ici vent à font inconnues, qu’aux autres. Puis fans icfouJrc confiderer aucune différence entre ces waÜ'-0" ^oncs c°nnucs, & inconnues, on doit tnus‘ parcourir la difficulté, félon l’ordre qui montre le plus naturellement de tous en quelle forte elles dépendent mutuellement les unes des autres, jufques à ce qu’on ait trouvé moyen d’exprimer une même quantité en deux façons: ce qui fe nomme une Equation j car les termes de l’une de ces deux façons font égaux à ceux de l’autre. Et on doit trouver autant de telles Equations, qu’on a fuppofé de lignes, qui étoient inconnues. Ou bien s’il ne s’en trouve pas tant, &c que nonobftant on n’omettte rien de ce qui eft defiré en la queftion, cela témoigne qu’elle n’eft pas entièrement déterminée. Et lors on peut prendre àdifcrction des lignes connues, pour toutes les inconnues aufquelles ne correfpond au-/ cunc Equation. Après cela s’il en relie encore plufîeurs, il fe faut fervir par ordre de chacune des Equations qui retient auffi, foit en la confiderant toute feule, foit en la comparant avec les autres, pour expliquer chacune decesli- ■©igltizeitby Googlfl de M. Descartes. 7 gnes inconnues > & faire ainfi en les démêlant qu’il n’en demeure qu’une feule, égaie à quelque autre, qui foit connue, ou bien dont le quarré, ouïe cube, ou le quarré de quarré, ouïe furfolide, ou le quarré de cube, &c. foit égal à ce, qui fe produit par l’addition, ou fouftra&ion de deux ou plufieurs autres quantitez, dont l'une foit connue, Sc les autres foient compofées de quelques moyennes proportionnelles entre l’unité, & ce quarré, ou cube, ou quarré de quarré, &c. multipliées par d’autres connues. Ce que j’écris en cette forte.
Z JO b ou Z 1 + ou C’eft à- dire, ^ que je prens pour la quantité inconnue, eft égalé à b, ou le quarré de ^ eft égal au quarté de b moins a multiplié par ^, ou le cube de X eft égal à a multiplié par le quarré de ^ plus le quarré de b multiplié par 7 moins le cube de c, & ainfi des autres.
Et on peut toujours réduire ainfi toutes les quantitez inconnues à une feu- A ii'j Quels font les Problèmes plan fi La Geometrib Je, lorfque le E.oblême fe peut con~ ftruire par des cercles & des lignes droites, ou auflî par des ferions coniques, ou meme par quelque autre ligne qui ne foit que d’un ou deux devrez plus compofée. Mais je ne m’arrête point à expliquer cecy plus en détail, à caufe que je vous ôterois le plaifir de l’apprendre de vous-même, & l’utilité de cultiver vôtre efprir en vous y exerçant, qui cfl à mon avis la principale, qu’on puiffe tirer de cette Icience. Auflî que je n’y remarque rien de fi difficile, que ceux qui leront un peu verfez en la Géométrie commune, & en l’Algebre, & qui prendront garde à tout ce qui eft en ce traité, ne puiflent trouver.
C’efl: pourquoyje me contenteray icy de vous avertir, que pourvu qu’en démêlant ces Equations on ne manque point à fe fervir de routes les divifions, qui feront portables, on aura infaillible -ment les plus (Impies termes, aufqucls la queftion puiffe être réduite.
Et que fi elle peut être réfoluë par la Geomctrie ordinaire, c’ett à dire, en ne fe fervant que de lignes droires tk cir- ’ culaircs tracées fur une fuperficie pla'e, lorfque la dernière Equation aura etc dk M* Descartes. 9 entièrement démêlée, il n’y reliera tout au plus qu’un quarté inconnu, égal à ce qui fe produit de. l’Addition, ou fouftraélion de (a racine multipliée par quelque quantité connue, & de quel-, qu’autre quantité auflî connue.
Et lors cette racine, ou ligne inconnue fe trouve aifément. Car fi j’ay par exemple bb je fais le triangle re&angle N L M, dont le côté LMeft égal à b racine quarrée de la quantité connue b b, 6c l'autre L N eft ~ «, la moitié de l’autre % Comment ils fc rciolveat.
quantité connue, qui éroit multipliée par ^ que je fuppofe être la ligne inconnue. lJuis prolongeant MN la bafê de ce triangle, jufques à O, en forte qu N O foit égale à N L, la toute A v I io LaGbometriï O M eft £ la ligne cherchée. Et elle s’exprime en cette forte .4 & ainfi des autres.
Enfin fi j’ày *,x Do mz. — bb: je fais N L égale à i a, & L M égale à b comme devant j puis au lieu de joindre les points M N, je tire M QR parallèle à L N, & du centre N par L aïant décrit un cercle qui la couppe aux points R, la ligne cherchée z. efi M Q. ®u. bien M R., car en ce cas elle s’exr » Digilized by Google — b b.
Et fi le cercle, qui ayant fon centre au point N, paffè par le point L, ne couppe ny ne touche la ligne droite.
M QR, il n’y a aucune racine en l’Equation, de façon qu’on peut affiirer que la confiai étion du Problème proposé eft impoflible.
Au refte ces mêmes racines fe peuvent trouver par une infinité d’autres moyens, & j’ay feulement voulu mettre ceux-cy, comme fort fimplcs, afin de faire voir qu’on peut conftruire tous les Problèmes de la Geometrie ordinaire, fans faire autre chofe que le peu qui eft compris dans les quatre figures que j’ay expliquées. Ce que je ne croy pas que les anciens ayent remarqué, car autrement ils n’euflent pas pris la peine d’en écrire tant de gros livres, oùlefeul ordre de leurs propofitions nous fait connoîtrc qu’ils n’ont point eu la vraye méthode pour les trouver routes, mais qu’ils ont feulement ramaffe celles qu’ils ont rencontrées.
Et on le peut voir suffi fort clairement de ce que Pappus a mis au corn- p*ppas< Je cite plutoji la irfien 11 La GEOMETRIE.
mencement de Ton feptiéme livre, ou. apres s’être arrêté quelque temps à dénombrer tout ce qui avoir été écrit en Geometrie par ceux qui l’avoient précédé, il parle enfin d’une queftion, qu'il dit que ny Euclide, ny Apollonius, ny aucun autre n’avoient fçu entièrement réfoudre y Sc voicy Tes mots.
j Quem autem dicit ( Apollonius ) in tertio libro locurn ad très, & quatuor Une Ai ab Euclide perfiElum nonejje, ne - latine que que ipje perficcre p ter ai, neque ali qui S le texte a\ius: fed neque pauiulum quid addere que chu- 115 » cll<£ * ucltdcs jCrifJit, per ra tantum cun l’en- Conica, quA ufque ad Euclidis tempora ternie plus pramonfirata fttnt, &c. aifement. Et un pCU apr^s d explique ainfi quelle rit cette queftion.
At locus ad très, & quatuor lineas, in quo ( Apollonius ) magnifiée Je jaElat, & o fient at, ntt lia habita gratia ei, qui priu s fçr-pferat, t fi hujufmod'. Sipofitione datis tribus reflis liveis ab utto & eodem pttnElo, ad très Une as in datis angulis reELt line a ducantur, & data Jft proportso nElanguli contenti dttabus du-Elis ad quaetraium reliqua: pur.Ehtm contingit pofitione datum folidum locurn y, hoc efi u nam ex tribus conicis.Jeclionirvert tus. Et fi ad quatuor relias lire as pofitione datas in datis angults line a duc an -t;<r\ & rc B anguli duabus dnBis contenti ad contentum duabus reliquis propor - v tio data fit; f militer punBum datum eoni feBionem pofitione contingetr Si quidem igitur ad duas tantum locus planus ofienfus efi. Quod fi ad plures qu. m quatuor, punBum continget locos non adhuc cognitos, fed lineas tantum di-Bas j quales autem fint, vel qttam habeant proprietatem, non confiât: earum unam, neque primam, & qu a manifcfiijfima- videtur, compofuerunt ofienden * tes utilent ejfe. Propofitiones autem ipfit -rum hafunt.
Si ab aliqito punBo ad pofitione datas rcBas lineas quinque ducantur relia linca in datis angulis, & data fit pro -portio folidi parallelepipedi retlanguli, quod tribus du Bis lineis continetur ad jolidum parallelepipedum rcBangu'.um, quod continetur reliquis duabus, & data quapiam line a, punBum pofitione datam lintam continget. Si autem adjex, & data fit proportio folidi tribus lineis content i ad jolidum, quod tribus reliquis continetur; rurfus punBum continget pofitiane datam lincarn. Quod fi adpluress (• I i X " « ( # I f T4 La GEOMETRIE ejiia.ni [ex, non adhuc habcnt dicere, 4« y?/ proportio cujufpiam contenti quatuor lineis ad id quod rel'quis confine tur, quoniam non efl aliqu'd contentum plur bus quant tribus dimenfïombus.
Où je vous prie de remarquer en paflànt, que le fcrupule, que faifoient les anciens d’ufer des termes de l’Arithmetique en la Geomerrie, qui ne pouvoir procéder, que de ce qu’ils ne voyoient pas afllz clairement leur rapport, caufoit beaucoup d’obfcurité, Sc d’embaras, en la façon dont ils s’expliquoufnt, car Pappus pourfuit en cette forte: - AcqwtCcunt Autem his, qui paulo ante raiia interpretati funt; neque unum aliquo pafto comprehenfibtle fi gwficantes quod h s contin-’tur. Licebit autem per conjunüas proport'onts h*c, & dicere, & demonftrare univerfe in diflit proportiombus, atque h's in hune rnoaurn. Si ab aliquo punflo ad pofitione datas relias line as ducantur rt Sla line a in datis anfrulis, & data fit proportio conjunfta ex ea, quant hab.t una duftarnm ad ttnam, & altéra ad alteram, & alla ad aliam, & rtl'qua ad datarn l'neam,fi fini feptem; fi vtro ofto, & r cliqua ad.
• de M. Descartes. reliquat»: punflum continget pofitionc datas Une as. Et fi militer quotcumqut fint in/pares vel pares multitudinc, cum bac, ut dixi, loco ad quatuor lineas refpondcant, nullum igitur pofuerunt ita ut linea nota fit, &c.
La queftion donc qui avoir cté commencée à îéfoudre par Euclide, & pourfuivie par Apollonius, fans avoir été achevée par perfonne, étoit telle. Ayant trois ou quatre eu plus grand nombre de lignes droites données par pofition \ premièrement on demande un point, duquel on puifle tirer autant d’autres, lignes droites, une fur chacune des données, qui fartent avec elles des angles donnez, & que le reéfcangle contenu en deux de celles qui feront ainlî. tirées d’un même point, ait la proportion donnée avec le quarré de la troifiéme, s’il n’y en a que trois; ou bien avec le reébngle des deux autres, s’il y en a quatre; ou bien, s’il y en a cinq, que le parallélépipède compofé de trois ait la proportion donnée avec le parallelepipede compofé des deux qui reftent & d’ur.e autre ligne donnée. Ou s’il y en a fix, que le parallclepipede comporté de trois ait la proportion donnée iG La GEOMETRIE avec te parallelepipede des trois autres.- Ou s’il y en a lept, que ce qui fe produit lorfqu’on en multiplie quatre l’une par l’autre, ait la raifon donnée avec ce qui fe produit par la multiplication des trois autres, & encore d’une autre ligne donnée i ou s’il y en a huit, que i le produit d • la multiplication de quatre ait la proportion donnée avec le produit des quatre autres. Et ainfi cette queftion fe peut étendre à tout autre nombre de lignes. Puis à caufe qu’il y a toujours une infinité de divers points qui peuvent fatisfaire à ce qui eft icy demandé, il eft aullî requis de connoî- -tre, Sc de tracer la ligne, da.ns laquelle ils doivent tous fe trouver; 5c Pappus dit que lorfqu’il n’y a que trois ou quatre lignes droites données, c’eft en une des trois ferions coniques; mais il n’entreprend point de la déterminer, ny de la décrire, non plus que d’expliquer celles où tous ces points fe doivent trouver, lorfque la queftion eft propofée en un p]us grand nombre de j lignes. Seulement il ajoute que les anciens en avoient jmaginé une qu’ils montroient y etre utile, mais qui fembloit la plus manifefte, & qui n’éroit d e M. Descartes. 17 pas toutefois la première. Ce qui m’a donné occasion d’eifayer il par la méthode dont je me fers on peut aller auffi loin qu’ils ont été.
Et premièrement j’ay connu que ccr- Réponrc te queftion n’étant propofée qu’en trois, à!a gucou quatre, ou cinq lignes, on peut tou- ^io:’ jours trouver les points cherchez par i>aFPus* la Geometrie fimple; c’eft à dire en ne le fervant que de la réglé & du compas, ny ne faifant autre chofe, que ce qui a déjà été dit; excepté feulement lotfqu’il y a cinq lignes données, fi elles iont toutes parallèles. Auquel cas, comme aufli lorfque la queftion eft propolée en fix, ou 7, ou 8, ou 9 lignes, on peut toujours trouver les points cherchez par la Geometrie des folides -, c’eft à dire en y employant quelqu’une des trois feétions coniques.
Excepté feulement lorfqu’il y a neuf -lignes données, fi elles font toutes parallèles. Auquel cas derechef, & cncore en 10, 11, 11 > ou 1$ lignes on peut trouver les points cherchez par le moyen d’une ligne courbe qui foit d’un degré plus compofée que les ferions coniques. Excepté en treize fi elles font toutes parallèles, auquel cas, & en.
j8 LaGeometrie quatorze, 15 > 16, & 17 il y faudra employer une ligne courbe encore d’un degré plus compofée que la precedente, & aipfi à d'infini. - Puis j’ay trouvé auifi, que lorfqu’il n’y a que trois ou quatre lignes données, les points cherchez fe rencontrent tous, non feulement en l’une des trois ferions coniques, mais quelquefois aufli en la circonférence d’un cercle, ou en une ligne droite. Et que lorfqu’il y en a cinq, ou fix, ou fept, ou huit, tous ces points fe rencontrent en quelque une des lignes, qui font d’un degré plus compofées que les. ferions coniques, & il efl impoflible d’en imaginer aucune qui ne foit utile à cette queftion; mais ils peuvent aufli derechef fe rencontrer en une fcétion conique, ou en un cercle, ou en une ligne droite. Et s’il y en a neuf, ou 10, ou 11, ou 12, ces points fe rencontrent en une ligne, qui 11c peut être que d’un degré plus compofée que les précédentes; mais toutes celles qui font d’un degré plus compofées y peuvent fervir, & ainfi à l’infini.
Au refte la première, 8c la plus Ample de toutes après les ferions coniqucs, eft celle qu'on peut décrire par l’interfe&ion d’une Parabole, & d’une ligne droite, en la façon qui fera tantôt expliquée. En forte que je penfe avoir entièrement fatisfait à ce que Pappus nous dit avoir etc cherché en cecy parles anciens, & je tâchcray d’en mettre la démonftration en peu de mots > car il m’ennuie déjà d’en tant écrire.
Soient AB, AD, EF, GH, &c. pluficurs lignes données par pofition, & qu il faille trouver un point, comme C, duquel ayant tiré d’autres lignes droites fur les données, comme C B, CD, CF, & C H, en forte que les angles CBAsCDA,CFE, CHG,&c. io;ent donnez, & que ce qui eft pro- I Commet on <Joit poiér Jcs t; rmes ÎO La GEOMETRIE duit par la multiplication d'une partie de ces lignes, Toit égal à ce qui eft produit par la multiplication des autres, ou bien qu’ils ayent quelque autre proportion donnée, car cela ne rend point la queftion plus difficile.
Premièrement, je fuppofe la chofe comme déjà faite, 5c pour me démêler de la confufion de toutes ces lignes, je pour ve- confidere l’une des données, 5c l’une nir à I*E- de celles qu’il faut trouver, parexemquation pie A B, 5c B C, comme les principaen cet les, 5c aufquelles je tâche de rapporter mPc' ainfi toutes les autres. Que le fegment de la ligne A B, qui eft entre les points A 5c B, foit nommé x, 5c que B C foit nommé y, 5c que toutes les autres lignes données (oient prolongées, jufques à ce qu’elles couppent ces deux, auffi prolongées s’il eft befoin, & fi elles ne leur font point parallèles > comme vous voyez icy qu’elles couppent la - ligne A B aux points A, E,G,*&BC aux points R, S, T. Puis à caufe que tous les angles du triangle A R B font donnez, la proportion, qui eft entre les cotez AB, 5c BR, eft auffi donnée, 5c je la pofe comme de ^ à b, de façon b x b x Digîtized by GdQgffcT ' ^ ^ jy les trois angles du triangle D R C font donnez, & par confequent aulïi la proportion qui eft entre les tenez CR,& C D, que je pofe comme de \ * c: de façon que C R étant y + —,CD fera — Apres cela pource que les lignes A B A D, & E F font données par pofition » la diftancc qui cft entre les points A & E eft aulîi donnée, & fi on la nomme K, on aura E B égal à x > mais ce feroit ^ — x, fi le point B tomboit encre E & A -, &c — ^-r- x, fi E tomboit entre A & B. Et pource que les angles du triangle ESB font tous donnez, la proportion de BE à BS eft aufti donnée, & je la pofe comme z. à d, fi bien que B S eft J & la toute CS eft d k ■ ; mais ce feroit zy — dk — rl x , fi le point S tomboit Z fi C tomboit entre B & S. De plus les trois angles dn triangle FSC font donnez, & enfuirc la proportion de C S à C F, qui foie comme de ^ à e, & la route CF fera “2±£i!±±*. En Z. Z, même façon A G que je nomme / eft donnée, & BG eft / — x, &c à caufe du triangle B G T la proportion de B G à B T eft aufti donnée, qui foit comme Z Z Et ainfi vous voyez, qu’en tel nombre de lignes données par pofition qu’on puilTe avoir, routes les lignes tirées delfiîs du poinc C à angles donnez fuivant la teneur de la queftion, Te peuvent toujours exprimer chacune par trois termes; dont l’un eft compofé delà quantité inconnue y, multipliée ou divifée {>ar quelque autre connue; & l’autre de a quantité inconnue x, auflï multipliée ou divifée par quelque autre connue, & le troisième d’une quantité toute connue. Excepté feulement fi elles font parallèles, ou bien à la ligne A B; auquel cas le terme compofé de la quantité x fera nul; ou bien à la ligne C B, auquel cas celuy qui eft compofé de la quantité y fera nul; ainfi qu’il eft trop manifefte pour que je m’arrête à l’expliquer. Et pour les fignes -+•, & —, qui fe joignent à ces termes, ils peuvent être changez en toutes les façons imaginables.
Puis vous voyez auifi, que multipliant pluficurs de ces lignes l’une pat l’autre.
i4 La Geometrie les quantitez x &c y, qui fc trouvent dans le produit, n’y peuvent avoir que chacune autant de dimenfions, qu’il y a eu de lignes, à l’explication defquelles elles fervent, qui ont été ainfi multipliées: en forte qu’elles n’auront jamais plus de deux dimenfions, en ce qui ne fera produit que par la multiplication de deux lignes, ny plus de trois en ce qui ne fera produit que par la multiplication de trois, & ainfi à l’infini.
C rminct De plus, à caufc que pour determio» trouve ner ie pQ;nt C, il n’y a qu’une feule Problème condition qui foit requife, à fçavoir eft plan, que ce qui eft produit par la multiplilorfiju'il cation d’un certain nombre de ces lignes 11 fo t égal, ou ( ce qui n’eft de rien plus prôpofc mal-aifé ) ait la proportion donnée, à ce en plus I qui eft produit par la multiplication des i hgnes autres; on peut prendre à diferetion l’une des deux quantitez inconnues a* ou y, & chercher l’autre par cette Equation, en laquelle il eft évident que lorsque la queftion n’eft point propofée en plus de cinq lignes, la quantité x qui ne fert point à l’expreflïon de la première peut toujours n’y avoir que deux dimenfions; de façon que prenant une quantité quantité de M. Descartes. 15 quantité connue pour y, il ne reftera que x x y> -+- ou — ax -+- ou — b b, 5c ainfi on pourra trouver la quantité x avec!a réglé & le compas, en la façon tantôt expliquée. Même prenant fucceffivement infinies dsverfès grandeurs pour la ligne y, on en trouvera aufli infinies pour la ligne x, & ainfi on aura une infinité de divers points, tels que celuy qui eft marqué C, par le moyen defquels on décrira la ligne courbe demandée.
Il fe peut faire aufiî, la queftion étant propofée en fix, ou plus grand nombre de lignes -, s’il y en a entre les données, qui foient parellcles à B A, ou B C, que l’une des deux quantitez x ou y n’ait que deux dimenfions en l’Equation, & ainfi qu’on puifle trouver le point C avec la réglé & le compas. Mais au contraire fi elles font toutes parallèles, encore que la queftion ne foit propofée qu’en cinq lignes,ce point C ne pourra ainfi être trouvé, à caufe que la quantité* ne fe trouvant point en toute l’Equation, il ne fera plus permis de prendre une quantité connue pour celle qui eft nommée y, mais ce fera elle qu’il faudra chercher. Et pource qu’elle aura trois dimcnfions, on ne la pourra trouver qu'cn tirant la racine d’une Equation cubique; ce qui ne fe peut généralement faire fans qu’on y employé pour le moins une fedtion conique. Et encore qu’il y ait jufques à neuf lignes données, pourvu qu’elles ne l'oient point toutes parallèles, on peut toujours faire que l’Equation ne monte quejufqucs au quart é de quarré; au moyen de quoy onia peur auffi toujours réfoudre par les fedbions coniques, en la façon que j’expliqueray cy-aprés. Et encore qu’il y en ait jufques à tre ze, on peut toujours faire qu’elle ne monte que jufques au quarré de cube -, enfuite de quoy on la peut réfoudre par le moyen d’une ligne, qui n’eft que d’un degré pluscompofée que les ferions coniques, en la façon que j’expliqueray au(É cy-aprés. Et cecy eft la première partie de ce qucj’avoisicyà démontrer; mais avant que je paflé à la fécondé il eft befoin que je die quelque chofeen ge„ neral de la nature des lignes courbes."
• j LIVRE SECOND.
De la nature des lignes courbes.
LEs anciens ont fort bien remarqué. Quelle* qu’entre les Problèmes de Geome- *?nt 1« trie, les uns font plans, les autres folides, 8c les autres linéaires > c’eft à dire, CjU.0n que les uns peuvent êtreconftruits, en peut rêne traçant que des lignes droites, & des cevoir en cercles } au lieu que les autres ne le peu- G5°mc” vent erre, qu on n y employé pour le moins quelque fedion conique} ni enfin les autres, qu’on n’y employé quelque autre ligne plus compo fée. Mais je m’étonne de ce qu’ils n’ont point outre cela diftingué divers degrez entre ccs lignes plus compo fées, &jene fçaurois comprendre pourquoy ils les ont nommées Mechaniques, plutôt que Géométriques.
Car de dire que ç’ait été à caufe qu’il eft befoin de fe lèrvir de quelque utachine pour les décrire, il faudroit rejetter par meme raifon les cercles & les lignes ' 18 La Geometriï droites; vû qu’on ne les décrit fur Ip papierqu’avec un compas, 6c une réglé, qu’on peut aufli nommer des machines. Ce n’eft pas non plus, à caufe que les inftrumens, qui fervent à les tracer, étant plus compofcz que la réglé & le compas j ne peuvent être fi juftesj car il faudroit par cette raifon les rejer-ter desMéchaniques, où lajuftefle des ouvrages qui fortent de la main efl: defirée, filûtôt que de la Geometrie, ou c’eft feuement la jufteffe du raifonnemenr qu’on recherche, 6c qui peut fans doute être aufiï parfaite touchant ces lignes, que touchant les autres. Je ne diray pas aufli que ce foit à caufe qu’ils n’ont pas voulu augmenter le nombre de leurs demandes, & qu’ils fe font contentez qu’on leur accordât, qu’ils puflent joindre deux points donnez par une ligne droite, 5c décrire un cercle d’un centre donné, qui pafsât par un point donné; car ils n’ont point fait de fcrupule de fuppofer outre cela, pour traiter des ferions coniques, qu’on pût coupper tout cône donné par un plan donné: Sc il n’eft befoin de rien fuppofer pour tracer toutes les lignes courbes, que je prêtons icy d’introduire j finon que deux DE M. Di SCARTIS. îf> on plnficurs lignes puifl'enc être menés .l’une par l'autre, & que leurs interférions en marquent d’autres » ce qui ne me paroîc en rien plus difficile. Il cft vray qu'ils n’ont pas auffi entièrement receu les ferions coniques en leur Géométrie, & je tfe veux pas entreprendre de changer les noms qui ont été apprôuvez par l’ufage; mais il cft, ee me fem-..ble, très- clair, que prenant comme on fait pour Géométrique ce qui eft précis & exar, èc pour Mechanique ce qui ne l’eft pas; Sc confidcrant la Géométrie comme une fcicnce, qui enfeigne généralement à connoître les mefures de tons les corps, on n’en doit pas plutôt exefure les 1 gnes les plus compofées que les plus limples, pourvu qu’on les puifle imaginer erre décrites par un mouvement continu, ou par plufteurs qui s’entrefuivent & dont les derniers foient entièrement réglez par ceux qui Tes précèdent: car par ce moyen on peut toujours avoir une connoilfance exa&e de leur mefure. Mais peut être que ce qui a empêché les anciens Geometres de recevoir celles qui étoient plus compofées que les feétions coniques, c’cft que les premières qu’ils ont confiderées V 3© La GEOMETRIE V 3© La GEOMETRIE ayant par hazard cté la Spirale, la Qua* dratrice, &c femblables, qui n’appartiennent véritablement qu’aux Mechaniques, & ne font point du nombre de «elles que je penfe devoir ici être receues, à caufe qu’on les imagine décrites pat deux mouvemens feparez, & qui n’ont •entre eux aucun rapport qu’on puifle mefurer exactement, bien qu’ils ayent après examiné la Conchoide, la Cifloide, & quelque peu d’autres qui en font, toutefois à caufe qu’ils n’ont peut-être pas allez remarqué leurs proprietez, ils n’en ont pas fait plus d’état que des pre--mieres. Ou bien c’eft que voyant qu’ils ne connoiflbicnt encore que peu de choies touchant les ferions coniques, 6C qu’il leur en reftoit même beaucoup, touchant ce qui fc peut faire avec la réglé & le compas, qu’ils ignoroient, ils ont crû ne devoir point entamer de matière plus difficile. Mais pource que j’cfpere que d’orenavant ceux qui au-. sont l’adrelTc de fe fervir du calcul Géométrique icy propofé, ne trouveront pas allez dequoy s’arrêter touchant les problèmes plans, ou folides je croy qu’il eft à propos que je les invite à d’autres recherches, où ils ne manqueront jamais d’exercice.
I I dé M. De s carte s. ji Voyez les lignes A B, A D, A F, &c femblables, que je fuppofe avoir été décrites par l’aide de l’inftrument Y Z, qui eft compofé de plufieurs reigles tellement jointes, que celle qui eft marqué Y Z étant arretée fur la ligne AN» on peur ouvrir & fermer l’angle X Y Z; & que lorfqu’ileft tout fermé, les points B, C, D, F, G, H font tous aflbmblez au point A; mais qu’à mefure qu’oç* Fouvre, la reigle B C, qui eft jointe à angles droits avec X Y au point B, pouffe vers Z la réglé C D, qui coule fur Y Z en faifant toujours des angles droits avec elle, & C D poufle D E, qui coule rout de même fur YX en demeurant parallèle à B C, DE poufle E F, E F poufle FG, celle- cy poufle GH; & on Qigilized b/ Google La Gïometrii en peut concevoir une infinité d*autres; qui Ce pondent confecutivcment en meme façon, & dont les unes fadent toujours les mêmes angles avec Y X, & les autres avec Y Z. Or pendant qu’on ouvre ainfi l’angle XY Z, le point B décrit la ligne AB, qui eft un cercle, SC les autres points D, F, H, où fe font les interférions des autres réglés, décrivent d’aurres lignes courbes AD, AF, AH, dont les dernieres font par ordre plus compofées que la première, & celle- cy plus que 'e cercle; mais je ne voy pas ce qui peut empêcher, qu'on ne conçoive audi nettement, & audîdiftinélément la defeription de cette première, que du ccicle, ou du moins que des fcélions coniques •, ny ce qui peut empêcher qu’on ne conçoive la fécondé, & latroifiéme, & tontes les autres, qu’on peut décrire, audi bien que la Î>remiere -, ny par confequent qu’on ne es reçoive toures en même façon, pour fervir aux fpeculations de Geometrie. ^*rrr°n Je POLirro*s rnettre icy plufieurs augucr tou" tres m°ycns P0ur tracer & concevoir tes les li- des lignes courbes, qui feroienrde plus gnes en plus compofées par degrez à l’infini, courbes Mais pour comprendre enfemble toutes jitîzcïbyîXfü J jitîzcïbyîXfü J de M. Descartes. j$ celles qui font en la nature, Sc les di- en cerftinguer par ordre en certains genres, taiusgcnje ne fçache rien de meilleur que de dire res tt de que tous les points de celles qu’on peut foimoitrc nommer Géométriques, c eit a dire qui <jU.0nc tombent fous quelque mefure précife & tous leur» cxaéfce, ont neceftairemcnt quelque rap- points à port à tous les points d’une ligne droi- “ux clcs te, qui peut être expr.mp par quelque j^oiics» équation, en tous par une même. Et que lorfquc cette équation ne monte que jufques au reélangle de deux quantitez indéterminées, ou bien au quarré d’une même, la ligne courbe eft du premier & plus fimple genre, dans lequel il n’y" a que le cercle, la parabole, l’hyperbole, & l’Ellipfe qui foient comprifess mais que lorfque l’équation monte jufques à la trois ou quatrième dimenfion des deux, ou de l’une des deux quantitez indéterminées, car il en faut deux pour expliquer icy le rapport d’un point à un autre, elle eft du lêcond: & que lorfque l’équation monte jufques à la- cinquième ou fixiétne dimenfion, elle eft du troifîémc -, & ainfi des autres à l’infini.
Comme fi je veux fçavoir de quel genre eft la ligne E C, que j’imagine * B v