être décrite par l’interfeétion de la regltf GL, & du plan rettilignc GNKL » dont le côté KNcft indefiniement prolongé vers C, & qui étant mû fur le plan de deflous en ligne droite, c’eft à dire en telle forte que fon diamètre K L fe trouve toujours appliqué fur quelque endroic de la ligne B A prolongée de part & d'autre, fait mouvoir circulaiceraenr cette règle GL autour du point G, à eau fe qu’elle luy eft tellement join» te qu’elle pa^c tot3j°urs par le point L.. Je choifi6ime ligne droite, comme AB» pour rapporter a fes divers points tous ceux de cette ligne courbe EC, & en cette ligne A B je choifis un point, comme A, pour commencer par luy ce cal- DE M. D F. S C A R T E S. JJ Cul. Je dis quejechoifis & l’un& l’autre, à caufe qu’il eft libre de les prendre tels qu’on veut; car encore qu’il y ait beaucoup de choix pour rendre l’équation plus courte & plusaifée, toutefois en quelle façon qu’on les prenne, on peut toujours faire que la ligne pareille de même genre, ainfi qu’il eft aifé à démontrer. Apres* cela prenant un point à diferetion dans la courbe, comme C, fur lequel je fuppofe que l’inftrument qui fert à la décrire eft appliqué, je tire de ce point C la ligne C B parallèle à G A, & par ce que C B & B A font deux quantitez indéterminées & inconnues, je les nomme l’un y & l’au- B vj B vj quantirez connues qui déterminent la deferiprion de cette ligne courbe, comme G A que je nomme a, KL que je nomme b, 8c N L parallèle à G A que je nomme c; puis je dis: comme N L eft à L K, ou c à b, ainfi C B s ou y, cft à B K, qui eft par confequent ~ y: eft à L A, ou x -+- -£-y — b -, de façon que multipliant la féconde par la troifiéme on produit ~y — a b > qui eft égale à xy -+- —yy — b y qui Ce produit en multipliant la première par la dernière; & ainfi l’cquation qu’il falloir trouver cft de laquelle on connoît que la ligne E C eft du premier genre, comme en effet elle n’eft autre qu’une Hyperbole.
Que fi en l’inftrument qui fért à la DB M. D ESC A RT! S. 37 décrire on fait qu’au lieu de la ligne droite C N K, ce foie cette Hyperbole, ou quelque autre ligne courbe du premier genre, qui termine le plan CNKL > l’interfedlion de cette ligne & de la réglé G L décrira, au lieu de l’Hyperbole E C, une autre ligne courbe, qui fera du fécond genre. Comme fi C N K eft un cercle, dont L foit le centre, on décrira la première Conchoide des anciens -, & fi c’eft une Parabole donc le diametre foit K B, on décrira la ligne courbe, que j’ay tantôt dit être la première, & la plus fimple pour laqueftion de Pappus, loifqu il n’y a que cinq lignes droites données par pofirion. Mais fi au lieu d’une de ces lignes courbes du premier genre, c’en eft une du fécond, qui termine le plan C N K L, on en décrira par fon moyen une du troifiéme, ou fi c’en eft une du troifiéme, on en décrira une du quatrième, & ainfi à l’infini, comme il eft fort aife à connoître par le calcul. Et en quelque autre façon, qu’on imagine la defeription d’une ligne courbe, pourvu qu’elie foit du nombre de celles que je nomme Géométriques, on pourra toujours trouver une équation pour déterminer 38 La Ge om et ri g tous fcs points en cette forte.'
Au refte je mets les lignes courbesr\ qui font monter cette équation jufques au quarré de quarré, au même genre que celles qui ne la font monter que jufques au cube; & celles dont 1 équation monte au quarré de cube, au même genre que celles dont elle ne monte qu’au furfolide, 8c ainfi des autres. Dont la raifon eft, qu’il y a réglé generale pour réduire au cube toutes les difhcultez qui vont au quarré de quarré » 8c au furfolide toutes celles qui vont au quarré de cube, de façon qu’on ne les doit point eftimer plus compofées.
Mais il eft à remarquer qu’entre les? lignes de chaque genre, encore que la? plufpart foient également compofées enforte qu’elles peuvent fervir à déterminer les mêmes points, & conftruire1 lés mêmes Problèmes, il y en a toutes fois aufll quelques unes, qui font plusfîmples, & qui n’ont pas tant d’ étendue en leur pui (Tance *, comme entre celles du premier genre outre I’Ellipfe, l’Hyperbole 8c la Parabole qui font également compofées, le cercle y eft: aufti compris, qui manifeftement eft plus (impie >■&.entre celles du fécond D E M. De S CARTE S. Jt) genre il y a la Conchoide vulgaire, qui a fon origine du cercle -, &ii y en a encore quelques autres, qui bien qu’elles n'ayent pas tant d’étendue que la plufpart de celles du même genre, ne peuvent toutefois être mifes dans le premier.
Or apres avoir ainfi réduit toutes les Suite Je lignes courbes à certains genres, il m’eft l’explicaaifé de pourfuivre en la demonftration tlon 1* de la réponfe que j’ay tantôt faite à la jePappuî queftion de Pappus. Car premièrement m;fc au.ayant fait voir cy-deflus que lorfqu’il livre prén’y a que trois ou quatre lignes droites cedent. données, l’équation qui fert à déterminer les points cherchez, ne monte que jufques au quarré; il eft évident que la ligne courbe où Ce trouvent ces points eft neceflairement quelqu’une de celles du premier genre: à caufe que cette même équation explique le rapport qu’ont tous les points des lignes du premier genre à ceux d’une ligne droite. Et que lorfqu’il n’y a point plus de huit lignes droites données, cette équation ne monte que jufques au quarré de quarré tout au plus, & que par confequent la ligne cherchée ne peut être que du fécond genre, ou au dcl- 4 o La Geo mïtiui 4 o La Geo mïtiui fous. Et que Iorfqu’il n’y a point plus de douze lignes données, l’équation '. ne monte que jufques au quatré de cube, & que par conlequent la ligne cherchée n’eft que du troificme genre, ou au deifous, & ainfî des autres. Et même à caufe que la pofition des ligne» droites données peut varier en toutes fortes, & par confequent faire changer tant les quantitez connues, que les lignes -+• & — de l’équation, en tou»-tes les façons imaginables; il eft évident qu’il n’y a aucune ligne courbe 4 du premier genre, qui ne foie utile à cette queftion, quand elle eft propofee en quatre lignes droites; ny aucune du fécond qui n’y foit utile, quand elle eft propofee en huit j ny du troifiéme*. quand elle eft propofée en douze, SC ainfi des autres. En forte qu’il n’y a pasune ligne courbe qui rombe fous le calcul &r puifle êtte receuc en Geometrie » Solution qui n’y foit utile pour quelque nombre de cette de lignes.
queftion M ais il faut icy plus particulièrement Clue Ie détermine, & donne la façorv propofee de trouver la ligne cherchée, qui fert qu’en ). en chaque cas, lorfqu’il n’y a que trois ou 4. li- ou quatre lignes droites données > & gnes.
de M. Des carte s. 41 on verra par même moyen que le premier genre des lignes courbes n’en contient aucunes autres, que les trois ferions coniques, & le cercle.
Reprenons les quatre lignes AB, AD, E F, & GH données cy-delïus, & qu’il faille trouver une autre ligne, en laquelle il fe rencontre une infinité de points tels que C, duquel ayant rire les quatre lignes CB, CD, CF, & CH, à angles donnez, fur les données, C B multipliée par C F, produit une fornme égale à C D, multipliée par C H, c'eft à dire La Ghomîtri'î 4* _ —dtkzz~\ yyx+cfgiJ y J O -hfgxx.
(tîl — C g Z Z.
au moins en fuppofant e z. plus grand que c g, car s’il étoit moindre, u faudrait changer tous les lignes -t- & — *. Et fi la quantité jr fe trouvoit nulle, ou moindre que rien en cette équation, lorfqu’on a fuppofé le point C en l’angle D A G, il faudrait lefuppoferaulfi en l’angle D A E, ou E A R > ou R A G, en changeant les lignes -t- & — fe^on qu’il feroit requis a cet effet. Et fi en toutes ces quatre pofitions la valeur à' y fe trouvoit nulle, la queftion ferait im- {(olïibleau cas propofé. Maisfuppofons» à icy être polfible, 8c pour en abréger les termes, au lieu des quantités — écrivons im, 8c au tZi — cgzz lieu de Jezz écrivons bcfgl x — b efg x x 1 n txj e Zi — c g z z dont la 2 mn x tzi — c g zz ' b cfg l,.., j*.n n — btfg,. p ces quantitez.étant toutes données 9 nous les pouvons nommer comme il nous plaift, & ainfi nous avons y m n +/ • x •+- y m m -*r<>x x x, qui 1*11 m ^ doit être la longueur de la ligne BC, en laiflant AB, ou x indéterminée. Et il eft évident que la queftion n’étant propofée qu’en trois ou quatre lignes, on peut toujours avoir de tels termes, excepte que quelques uns d’eux peuvent être nuis, & que les lignes -+■ & — % 44 La GïoMitiIip peuvent diverfement être changer.
Après cela* je fais Kl égale & parallèle à B A, en forte Qu’elle Coùppe de B C la partie B K égale à' m, à caufe qu’il y a icy -t- m & je l’aurois ajoutée en tirant cette ligne IR de l’autre côté, s’il y avoit eu • — m •, Sc je ne l’aurois point du tout tirce, fi la quantité m eût été nulle. Puis je tire aufii I L, en forte que la ligne I K eft à K L comme Z eft à n\ c’eft à dire que I K étant x y K L eft —.v. Et par même moyen je connois aufii la proportion qui eft tre K L j & I L, que je pofe comme entre eft JLx y Et je fais que le point K foit entre L & C, à caufe qu’il y a icy — • —x’y au lieu que j’aurois mis L entre fe point tiré cette ligne I L, fi -^-x eût été nulle.
Or cela fait, il ne me refte plus pour la ligne L C, que ces termes, LC 30 ce M. De sc art es. 45 s’ils étoient nuis, ce point C fe trouveipit en la ligne droite I L j Ht que s’ils croient tels que la racine s’en pût tirer, c’eft à dire que mm Ht — x x étant 1 m marquez d’un meme ligne -+- ou —, termes mm Ht o x, ou ox Sc —x x m fuflent nuis, ce point C fe trouyeroit en une autre ligne droite qui ne feroic pas plus mal-aifée à trouver qu’l L. Mais lorlque cela n’eft pas, ce point C eft toujours en l’une des trois feétions coniques, ou en un cercle, dont l’un des diamètres eft en la ligne I L, & la ligne L C eft l’une de celles qui s’appliquent par ordre à ce diamètre; où au contraire L C eft parallèle au diamètre, auquel celle qui eft en la ligne I L eft appliquée par ordre. A fçavoir fi le terme — x x, eft nul, cette feétion m conique eft une Parabole; Ht s’il eft marqué du figne •+-, c’eft une Hyperbole; Ht enfin s’il eft marqué du figne —.c’eft une Ellipfe. Excepté feulement fi la quantité à a m eft égale à f z. z & cjue l’angle 1 L Ç foit droit: auquel ca* 46 La Geometrï!
on a un cercle au lieu d’une Ellipfe.'
Que fi cette fe&ion eft une Parabole, Ton côté droit eft égal à —, & Ton diamettre eft toujours en la ligne IL & pour trouver le point N, qui en eft le fommet, il faut faire I N égaie à ——; & que le point 1 foit entre L & N, fi les termes font -+- m m •+■ a x; ou bien que le point L foit entre I & N, s’ils font -h m m — o x i ou bien il faudrait qu’N fût entre I & L, s’il y avoit — mm ■+. ox. Mais il ne peut jamais y avoir — m m » en la façon que les termes ouc icy été pofcz. Et enfin le point N ferait le meme que le point I fi la quantité mm écoit nulle. Ati moyen dequoy DE M. Descartes. 4? îl eft aifé de trouver cette Parabole par le premier Problème du premier Livre d’Apollonius.
Que fi la ligne demandée eft un cercle, ou une cliipfe, pu une hyperbole, il faut premièrement chercher le point M, qui en cft le centre, 5c qui eft toujours en la ligne droite IL, où on le A 0 W T \ trouve en prenant Pour IM en forte que fi la quantité o cft nulle, ce centre cft juftement au point I. Et fi la ligne cherchée eft un cercle, ou une ellipfe -, on doit prendre le point M du meme côté que le point L, au refpeét du point I, lorfqu’on a -+- o x, & lorfqu’on a — o x, on le doit prendre de l’autre. Mais tout an contraire en l’Hyperbole, fi on a — o x, ce centre M doit être vers L.; & fi on a -t- ox, il doit être de l’autre côté. Après cela le côré droit de la figure doit être a a 4 * 1 ôc que la ligne cherchée eft un cercle, ou une ellipfe; ou bien lorfqu’on a — mm, 5c que c’eft une Hyperbole } & il doit être ±ÜÉi5, fi la a a * a 48 La Giomitru ligne cherchée étant un cercle ou une ellipfc, on a — mm-, ou bien fi étant une Hyperbole & la quantité o o étant plus grande que 4 mp, on a -+- mm. Que fi U quantité m m eft nulle, ce côté droit eft —,8c ft.0x.eft nulle, il 6b eft V H——. Puis pour le côté traver- U x 1 Tant, il faut trouver une 1 gne, qui foit à ce côté droit comme a a m eft à p z z., à fçavoir fi ce côté droit eft et a. H * — — — J y -t- Et en tous ces PP P*- *, cas le diamètre de la feétion eft en la ligne I M, & L C eft l’une de celles qui luy eft appliquée par ordre. Si bien que faifant M N égale à la moitié du côté traverfant 8c le prenant du même côté du point M, qu’cft le point L, on a le point N pour le fommet de ce diamètre, en fuite de quoy il eft aifé de trouver la feétion par le fécond 8c troifiéme Problème du premier Livre d’Apollonius.
Mais quand pette fe&ion étant une Hyperbole, on a -1 - mm -, 8c que la quantité Digitized by'Google bïM, Descartis. 49 quantité o o eft nulle ou plus petite que 4f>m, on doit tirer du centre M la ligne MOP parallèle à L C, & CP parallèle à L M, & faire M O égale à <9/ mm — i ou bien la faire égale > + P & a m fi la quantité 0 x eft nulle. Puis confiderer le point O, comme le fommet de cette Hyperbole, dont le diamètre eft O P, & C P la ligne qui lujr eft appliquée par ordre, & fon côté droit £ft V & fon côté PP*"4 P* **4 traverfant eft V 4 m m — Excepté quand 0 x eft nulle -, car alors le c<' té droit eft ”, & le traver&nteft fti, 5« La GeOMîTRIB i»: & ainfi il eft aifé de la trouver paf le troifiéme Problème du premier Livre d’Apollomus.
Démon- ^ ^cs démonftrarions de tout cecy ftration f°nr évidentes; car compofant un efpa- «le tout ce ce des quantitez que j ay aflignées pour qui vient Je côté droit, & le traverfant, & pour pli uV** ^ kgment du diamètre N L, ou O P, *>1<^ C‘ fuivant la teneur de l’n, du 12, & du J 3 Théorèmes du prenver Livre d’Apollonius, on trouvera tous les mêmes termes dont eft compofé le quatre de la ligne C P, ou CL, qui eft appliquée par ordre à ce diamètre. Comme en cet exemple ôtant 1 M, qui eft H- +, & cecy étanp multiplié par S_V 0 0 + mp 3 qui eft le côté droit de la figure, il vient yv tr* • / » • h- -+-2 mm: pour le re&angle, duquel il faut ôter un efpace qui foie B F. M. DE S CARTES. 51 au quarré de N L comme le côté droit eft au traverfant, & ce quarré de N L Z z pzz pzz 1 P X P P Z Z y o o ■+■ qu’il faut divifer par a a m & multiplier par p:^7, à caufe que ces termes expliquent la proportion qui eft entre le côté traverfant & le droit; o o m om -, i o »• p 1 ce qu’il faut ôter du reétangle prccep m pour le quarré de CL, qui par corfequenteft une ligne appliquée par o-.dre dans une Ellipfc, ou dans un cercle, au fegment du diamètre N L.
Et Ci on veut expliquer toutes les quantitez données par nombres, eu faifant par exemple EA^oj, A G Do 5, ABdoBR,BS *iBE, GBdoBT, CDdo|CR,CF ^oaCS^CHDOy C T, & que l’angle A B R (oir de 60 degrez; & enfin que le reétang’ e des deux C B, &c C F, foit égal au uûaa- 5i LaGeombtrii gle des deux autres C D & C H i car il faut avoir toutes ces choies afin que la queftion foit enfin déterminée, & avec cela fuppofant AB 3o*v, & C B 30 y, on trouve par la façon cy-defl'us expliquée, y y %> xy — x y >4- 5 x — xx 5c Æ' lUIUMMUil»*)*"** P/*" étoit tantôt nommée £ eft r, celle qui étoit a eft V -i» cc^c (îu* étoit »» eft 1, celle qui étoit 0 eft 4, & celle qui étoic Digitized byjGoogle DE M, Desêartes. 55 p ed -, de façon qu’on a V pour I M, & y pour N M, & parce que a dm qui eft i eft icy égal à p &c que l’angle I L C eft droit., on trouve que la ligne courbe NC eft un cercle, te on peut facilement examiner tous les autres cas en même forte.
Au refte à caufe que les équations, Quel* qui ne montent que jufques au quarté, fonTiëi font routes comprifes en ce que je viens lieux d’expliquer i non feulement le Problè- P*anî • & me des anciens en trois & quatre lignes eft icy entièrement achevé; mais auffi dc tout ce qui appartient à ce qu’ils nom- trouver, moient la compofition des lieux fol ides j & par confequenr auffi à celle des lieux {dans, à caufe qu’ils font compris dans es folidcs. Car ces lieux ne font autre chofe, finon que lors qu’il eft queftion de trouver quelque point auquel il manque une condition pour erre entière- * ment déterminé, ainfi qu’il arrive en cet exemple, tous les points d’une même ligne peuvent être pris pour ccluy qui eft demandé. Et fi cette ligne eft droite ou circulaire, on la nomme un lieu plan. Mais fi c’eft une parabole, ou une hyperbole, ou une ellipfe, on la nomme un lieu folide. Et toutefois C iij 54 La Geomitris & quante^que cela eft, on peut venil à une équation qui contient deux quantitez inconnues, & eft pareille à quelqu’une de celles que je viens de réloudrc. Que fi la ligne qui détermine ainfi le point cherché, eft d’un degré plus compofée que les feétions coniques, on la peut nommer, en meme façon, un lieu furfolide, & ainfi des autres. Et s’il manque deux conditions à la détermination de ce po nt, le lieu où il fe trouve eft une fuperficie, laquelle peur être tout de même ou plate, ou fpherique, ou plus compofée. Mais le plus haut but qu’ayent eu les anciens en cette matière a été de parvenir à la compofition des lieux folides: 8c il fcmblc que tour ce, qu’Apollonius a écrit des ferions coniques n’a été qu’à deffein de la chercher.
Quelle eft j}e p|u$ on vojc ]Cy qUe ce qllC j’ay e &ClT'C Pr‘s Pour Prem'cr genre des lignes plus fim- -courbes, n’en peut comprendre aucuplc de nés autres que le cercle, la parabole, l’hytoutes les perbole & 1’ellipfe, qui eft tout ce que j’avois entrepris de prouver.
Cui fer- *'Qu? 6 k queftion des anciens eft ▼ent en la propofée en cinq lignes, qui foient tou-«picftion tes parallèles, il eft évident que le point NtpxjÇft de M. Descartes. jj cherché fera toujours en une ligne droi- ante. Mais lî elle eft propoféc en cinq li- ciens gnes, dont il y en ait quatre qui foient?ua^dc|)" parallèles, & que la cinquième les couppe à angles droits, 8c même que toutes çinq les lignes tirées du point cherché les gnc6, rencontrent aufli à angles droits, 8c enfin que le parallelepipede compofé de trois des lignes ainfi tirées fur trois de celles qui font parallèles, foit égal an parallelepipede compofé des deux lignes tirées l’une fur la quatrième de celles qui font parallèles, 8c l’autre fur celle qui les coupe à angles droits, 8c d’une troifiéme ligne donnée, ce qui eft ce femblc le plus fimple cas qu’on puifle imaginer après le precedent; le point cherché fera en la ligne courbe, qui eft décrite par le mouvement d’une parabole en la façon.cy-deffiis expliquée.
Soient par exemple les lignes cherchées AB,IH,ED,GF,&GA, & • qu’on demande le point C, en forte que tirant CB, CF,CD,CH, &CM à angles droits fur les données, le parallelepipede des trois CF, C D, 8c C H foit égal à celuy des deux autres C B, & l ‘Il 5 S La GioMîtrii \ /; j.
V j \ l.4=] < n V * - Â* “■’î f - ESSE mm / parl’aiitrë, j’ay V — iayi — **y •+■ 2 43 égal au produit des trois autres qui eft axy. Après cela je confidere la ligne courbe C E G, que j’imagine être décrite par l’interfe&ion de la Parabole Ç K N j qu’on fait mouvoir en telle forde M. Descartes. 57 fe que Ton diamenc K L eft toujours fur Ja ligne droite A B, & de la réglé G L qui tourne cependant autour du point G en telle forte qu’elle pafl'c toujours dans le plan de cette Parabole par le point L. Et je fais KL y> a, 8c le côté droit principal, c’eft à dire celuy qui fe rapporte a l’aifficu de cette parabole, aufll égal à4,&GA,3oi*, & C B ou M A yo y, & CM ou AB Do x. Puis à caufe très triangles femblablcs G M C & CBL, GM qui eft la — ^,eftà MC qui eft x, comme C B qui eft y, eft à B L qui eft par cônfequent Et parce L K eft 4, B K eft 4 =*L, ou bien Lif Et 1 — y r n y enfin parce que ce même B K étant un fegment du diamètre de la Parabole, eft à B C qui luy eft appliquée par ordre, comme celle-cy eft au côté droit qui eft a, fe calcul montre que y 3 — myy — 4 a y 1 4*, eft égal à a x y, & par confequcnt que le point C eft celuy qui étoit demandé. Et il peut être pris en tel endroit de la ligne C E G qu’on veuille choifir, ou aulfienfon adjointe e E G c qui fe décrit en même façon t C v excepté que le Commet de la parabole eft tourné vers l’autre côté, ou enfin en leurs contrepofées N I o, n I O, qui (ont décrites par l’interleétion que fait la ligne G L en l’autre côté de la p bole K N.
parat»eM- Descartes. 5$ les lignes nrées du point C vers elles y ce point C ne laifleroic pas defe trouver toujours en une ligne courbe, qui feroit de cette même nature. Et il s'y peut auffi trouver quelquefois, encore qu’aucune des lignes données ne foient parallèles. Mais fi lorfqu’il y en a quatre ainfi parallèles, & une cinquième qui les traverfe: &c que le parallelepipede de trois des lignes tirées du point cherché, l’une fur cette cinquième, & les deux autres fur deux de celles qui f, nt parallèles; foit égal à celuy, des deux fîrées fur les deux autres parallèles, & d’une autre ligne donnée. Ce point cherché efï en une ligne courbe d’une autre nature, à fçavoir en une qui eft telle, que toutes les lignes droites appliquées par ordre à Ion diamètre étant égales à celles d’une fe&ion conique, les fegmens de ce diamètre, qui font entre le fommet & ces lignes, ont mê-r me proportion à une certaine ligne donnée, que cette ligne donnée a aux fegmens du diamètre de la fe&ion conique, aufquels les pareilles lignes font appliquées par ordre. Et je ne fçaurois véritablement dire que cette ligne foit moins fimple que la precedente, laquel- Cvj Cvj le j’ay ciu toutefois devoir prendre pour la première, à eaufe que la defeription & le calcul en font en quelque façon plus faciles.
Pour les lignes qui fervent aux autres cas, je ne m’arrêteray point à les diftinguer pat efpeces, car je n ay pas entrepris de dire tout; &c ayant explique la façon de trouver une infinité de points par où elles paflent, je penfe avoir aflez donné le moyen de les décrire.
O.elles Meme 11 eft à ProPos de remarCIuer » foncTcs qu’il y a grande différence entre cette lignes façon de trouver plufieurs points pour courbes tracer line ligne courbe, & celle dont qu on dé- on fe ferr pour ia ppiralc } & fes fcmblatrouvant blés, car par cette derniere on ne trouve plufieurs pas indifféremment tous les points de la de leurs Jjgne qu’on cherche, mais feulement points, ceux qUj. peuvent être déterminez par ▼enc^trc quelque mefure plus fimple, que celle icceucîs qui eft requife pour la compoler, &C en Geo- ain(J à proprement parler on ne trouve pas un de fes points -, c’eft à dire pas un de ceux qui luy font tellement propres, qu’ils ne puiffent etre trouvez que par elle: Au lieu qu’il n’y a aucun point dans les lignes qui fervent a la queftion propofée j qui ce. fe puifîe rencontrer de M. Descar. t a s. 6t entre ceux qui fe déterminent par la façon tantôt expliquée. Et parce que cette façon de tracer une ligne courbe, en trouvant indifféremment plufîcurs de fes points, ne s’étend qu’à celles qui peuvent auiH être décrites par unmouvement régulier & continu, on rre ✓ la doit pas entièrement rejetter de la Geometrie.
Et on n’en doit pas rejetter non plus Qudiai celle où on fe fert d’un fil, ou d’une font aufE corde repliée, pour déterminer l’éga- celle» Iité ou la différence de deux ou plufieurs ^u.on lignes droites qui peuvent ette tirces unc cor_ de chaque point de la courbe qu’on dt, qu» cherche à certains autres points, ou fur peuvent certaines autres lignes à certains an-yéircre* gles, ainfi que nous avons fait en la ’ Dioptrique pour expliquer l’ellïpfe & Fhyperbole: car encore qu’on n’y puifTe recevoir aucunes lignes- qui femblent à des cordes, c’eft à dire qui deviennent tantôt droites 2c tantôt courbes, àcaufe que la proporrion qui eft entre les droites & les courbes n’étant pas connue, & même je croy ne l'e pouvant être par les hommes, on ne pourroit rien conclure de là qui fut exAQ 8c afluré. Toutefois à caufc qu’on ne fi: (Si La GEOMETRIE fert de cordes en ces conftruétions, que pour déterminer des lignes droites, dont on connoît parfaitement la longueur, cela ne doit point faire qu’on les rejette.
Que pour Or ce*a **eu^ qu,°n fçait k rapport, trouver qu’ont tous les points d’une ligne courtouics les be à tous ceux d’une ligne droite, en proprie- ]a faç0n qUe j’ay expliquée > il eft aifé eiks CS ' trouver au® Ie rapport qu’ils ont à courbes, tol,s lcs autres points & lignes données: il lufSt de & enfuite de connoître les diamètres fçavoir le les aiflîeux, les centres, & autres licm’on” £ncs oa P°'nts a «chaque ligne courtous leurs ‘3e aura quelque rapport plus particitpoints à lier ou plus Ample qu’aux autres: &C ceux des ainfi d’imaginer divers moyens pour les droites & c^cr‘re » & d’en choifir les plus faciles, la façon ^t m^me on Peut auflî Par Cela feul de tirer trouver quafi tout ce qui peut être déd'autres terminé touchant la grandeur de l’efpalef c” CC cîu,c^es comprennent, fans qu’il foie pcnt'cif" ^ef°in que j’en donne plus d’ouverture, tous ces Et eufîn pour ce qui eft de toutes les points à autres proprietez qu’on peut attribuer angles, aux lignes courbes, elles ne dépendent «ous. qlic ja grancieur des angles qu’elles font avec quelques autres lignes. Mais lorfqu’on peut tirer des lignes droites -Bigitized by Googl -Bigitized by Googl DH M. Discart^. 6$ qui les couppent à angles droits, aux points où elles font rencontrées par celles avec qui elles font les angles qu'on veut mefurer, ou ce que je prens icy pour le même, qui couppent leurs contingentes; la grandeur de ces angles n’eft pas plus mal-aiféeà trouver, que s’ils étoient compris entre deux lignes droites. C’eft pourquoy je croiray avoir mis icy tout ce qui eft requis pour les clemens des lignes courbes, lorfque j’auray generalement donné la façon de tirer des lignes droites, qui tombent à angles droits fur tels de leurs points qu’on voudra choifir. Et j’ofe dire que c’eft cecy le Problème le plus utile, 6c le plus general non feulement que je fçache, mais même que j’aye jamais de -firé de fçavoir en Geometrie.
F A M P Çr Soit C E la ligne courbe, & qu’il fail- Façon le tirer une ligne droite par le point C, gc‘>eralc qui failè avec elle des angles droits. Je“j^rvcr des lignes droiccs, qui coup, pent les courbes données, - ou leurs contingentes, à angles droits.
<?4 Ia GeomitRië fuppofe la chofc déjà faite, & que la ligne cherchée eft CP, laquelle je prolonge jufques au point P, où elle rencontre la ligne droite G A, que je fuppofe être celle aux points de laquelle on rapporte tous ceux de la ligne C E: en forte que faifant MA ou CB Do y,Ôc C M, ou B A 3o x, j’ay quelque équation, qui explique le rapport, qui eft entre x Ôc y. Puis je fais PC Do r, Sc P A Do ^ > ou P M Do v — y, & à caufedu triangle reétangle P M C j’ay s s% qui eft le quarré de la bafe égal à x x vv — iv y -y- yj, qui font les quar* rez des deux cotez \ c’eft à dire j’ay x y) y s s- — vv -y- z v y. — y y, ou bien yy>v~y-yss^-~xx, & par le moyen de certc équation, j’ôte de l'autre équation qui m’explique le rapport qu’ont tousdes points de la courbe C E à ceux de la droite O1 A, l’une des deux quanritez indéterminées x ou y, ce qui eft aile à faite en mettant par tout y s s — vv -y- xv y — yy au lieu tfx, Ôc le quarté de cette fomme au lieu <$’*• *■, & fon enbe au lien d’x*, Sc ainfi des autres, fi c’eft x que je veuille ôter} en bien.fi ce {ty, en mettant en fon lien cube, &c. de certe fomme, au lieu d 'yy> ou y 5 &c. De façon qu’il refte toujour* après cela une équation, en laquelle il n’y a plus qu’une feule quantité indéterminée, x ou y.
i Comme fi CE efl: une Ellipfe, & >qne M A foit le fegment de fon diamètre, auquel C M foit appliquée par ordre, & qui ait r pour fon côté droit, & ej pour le rraverfant, on a par le ij theor. du r. liv. d’Apollonius, x x ¥> ry -y J j d’où ôtant xx, il refte ou bien y y — égal à rien j car il eft mieux en cet enr droit de confiderer ainfî enfemble toute la fomme, que d’en faire une partie égale à l’autre.
Tout de même fi CE eft la ligne 44 La Géométrie courbe décrue par le mouvement d’une Parabole en la façon cy-defliis expliquée, Sc qu’on ait pofé b pour GA, c pour K L, & d pour le côté droit du diamètre K L en la parabole: l’équ tioa -t-iv y — y y, & remettant en ordre ces termes par le moyen delà multiplication, — i c d'y 7J — dd s if dd v vJ Même encore que les points de la ligne courbe ne fe rapportaftênt pas en la façon que jray dite à ceux d’une ligne droite, mais en toute autre qu’on fçauroit imaginer, on ne laide pas de pouvoir toujours avoir une telle équation. Comme fi CE eft une ligne, qui ait tel rapport aux trois points F, G, 8c A, que les lignes droites tirées de chacun de fes points comme C, jufque» au point F, furpadênt la ligne F A d’une quantité qui ait certaine proportion donnée à une autre quantité dont G A furpade les lignes tirées des mêmes points jufques à G. Faifons G A y> b, A F jo c, 8c prenant à diferetion le point C dans la courbe, que la quantité dont C F furpade F A, foit à celle dont G A furpade G C, comme d à e, çn forte que fi cette quantité qui eft int €% La GEOMETRIE déterminée fe nomme ^,FCeftf + ^t t i tft ~,zxh — yy puis ôtant le quarré de F M du quarté de F C, on a encore le quarre de C M en d’autres termes, à fçavoir ^,7 te a — icy — y y, 8c ces termes étant égaux aux precedens, ils font connoître y, ou MA qui eft *T Ta 8c fubftituant cette fomme au lieu d’y dans le quat re de C M, on trouve qu’il s’exprime en ces termes: bdazz -4- ceezz -4- î beddz — ibrdez, •Dtgitized t>ïM. Discarti!. €f lieu d’y fubftitué la fomme qui luy eft égale, il vient ^±4 ~ 1 tiïlZ que nous cherchions.
Or après quon a trouvé une telle équation, au lieu de s’en fervir pour connoître les quantitez X ou y ou t, qui font déjà données, puifque le point C eft donné, on la doit employer à trouver v ou s, qui déterminent le point P, qui eft demandé. Et à cet effet il faut confiderer que fi ce point P eft tel qu’on le defire, le cercle dont il fera le centre, & qui palïèra par le point C, y touchera la ligne courbe C E, fans la coupper: mais que fi ee point P, eft tant (oit péu plus proche ou plus éloigné du point A, qu’il ne doit, ce cercle coupera la courbe, non feulement au point C, mais auffi necefi. fairement en quelque autre. Puis il faut auflî confiderer que lorfque ce cercle couppe la ligne courbe C E, l’équation par laquelle on cherche la quantité x ou y, ou quelque autre femblable, en fupr pofant P A & P C être connues > cpn-